Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 10 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT Yên Phong số 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 10 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT Yên Phong số 2 (Có đáp án)

1. SỞ GD -ĐT B ẮC NINH ĐỀ THI CH ỌN HSG C ẤP TR ƯỜNG TR ƯỜNG THPT YÊN PHONG S Ố 2 NĂM H ỌC 2020 – 2021 Môn: Toán – Lớp 10 (Đề có 01 trang ) Th ời gian làm bài : 150 phút (không k ể th ời gian giao đề ) Thi ngày: 10/3/2021 Họ và tên thí sinh: . . S ố báo danh: Câu 1: (2,0 điểm) 2 Cho hàm s ố bậc hai yx=−2( m − 1) x − 3 m + 4 (1), v ới m là tham s ố. a) Vẽ đồ th ị hàm s ố (1) khi m = 2. b) Tìm điểm c ố đị nh mà đồ th ị hàm s ố (1) luôn đi qua v ới m ọi giá tr ị c ủa m . c) Tìm t ất c ả các giá tr ị c ủa tham s ố m để đồ th ị hàm s ố (1) cắt tr ục hoành t ại hai điểm phân bi ệt độ ỏ có hoành x1, x 2 th a mãn x1−2 x 2 = 1 . Câu 2: (3,0 điểm) Trong m ặt ph ẳng t ọa độ Oxy , cho tam giác ABC , v ới A(2;3 ), B (−2; − 1 ), C (1;5 ) . a) Tìm t ọa điểm D sao cho DA− DB +4. DC = 0 . b) Vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng đi qua D và t ạo v ới đường th ẳng AB góc 45 ° . c) Tính bán kính đường tròn ngo ại ti ếp tam giác ABC . Câu 3: (3,0 điểm) Gi ải h ệ ph ươ ng trình và b ất ph ươ ng trình sau đây:  2 2 xy+2 x + 3 y = 15 a)  . x4+ y 2 −2 x 2 − 4 y = 5  b) 2x2 − 84 x + > x − 2 . Câu 4: (2,0 điểm) Cho ba s ố th ực x y z   th ỏa mãn x y z . Tìm giá tr ị lớn nh ất c ủa bi ểu th ức , ,∈  0;3  , + + = 4 P=3( x2 ++ y 2 z 2 ) − 2 xyz . === H ết === Thí sinh không được s ử dụng tài li ệu khi làm bài. Cán b ộ coi thi không gi ải thích gì thêm.
2. SỞ GD-ĐT B ẮC NINH HƯỚNG D ẪN CH ẤM TR ƯỜNG THPT YÊN PHONG S Ố 2 KÌ THI CH ỌN HSG C ẤP TR ƯỜNG NĂM H ỌC 2020 – 2021 (HDC có 03 trang ) Môn: Toán – Lớp 10 Lời gi ải s ơ l ược Điểm Câu 1: (2,0 điểm) a) Với m = 2 thì hàm s ố (1) tr ở thành y= x2 −2 x − 2 và có đồ th ị nh ư sau y 1 1,0 1 3 - 1 O x - 2 - 3 ọ đ ể ố đị đồ ị ố đ ớ ọ ị ủ b) G i M( x0 ; y 0 ) là i m c nh mà th hàm s (1) luôn i qua v i m i giá tr c a m . Ta có 2 ℝ yx0=− 02( mx − 1) 0 − 3 m +∀∈ 4, m 2 ℝ ⇔mx(20 ++−− 3) ( yxx 000 2 −=∀∈ 4) 0, m  3 x 0,5 2x + 3 = 0  0 = −  0  ⇔ ⇔  2 . y− x2 −2 x −= 4 0  13  0 0 0  y =  0 4 3 13 Vậy M(− ; ) là điểm c ố đị nh mà đồ th ị hàm s ố (1) luôn đi qua v ới m ọi giá tr ị c ủa m . 2 4 c) Ph ươ ng trình x2 −2( m − 1) x − 3 m += 4 0 có hai nghi ệm phân bi ệt x, x khi và ch ỉ 1 2 −1 + 13 −1 − 13 khi ∆='m2 + m −>⇔ 3 0 m > ho ặc m < (2). Lúc này, theo 2 2 định lí Viet, ta có xx+=2( m − 1), xx =− 4 3 m . 12 12 x+ x =2( m − 1)  1 2 4m− 3 23 m − Nh ận th ấy  ⇔x =, x = , t ừ đây th ế vào x−2 x = 1 13 2 3  1 2 Trang 1
3. −9 ± 3 105 ế đổ đượ 2 ả x1 x 2 =4 − 3 m và bi n i ta c 8m+ 9 m − 27 =⇔ 0 m = . C hai 16 −9 ± 3 105 0,5 giá tr ị này đều th ỏa mãn (2). Vậy v ới m = thì đồ th ị hàm s ố (1) cắt tr ục 16 ạ đ ể ệ độ ỏ hoành t i hai i m phân bi t có hoành x1, x 2 th a mãn x1−2 x 2 = 1 . Câu 2: (3,0 i m) đ ể a) Gọi D( x ; y ) thì DA=−(2 x ;3 − y ), DB =−−−− ( 2 x ; 1 y ), DC =− (1 x ;5 − y ), 0 0 00 00 00 đ DADB−+4. DC =− (8 4 x0 ;24 − 4 y 0 ). Do ó 840−x =  x = 2 1,0 0  0 DA−+ DB4.0 DC =⇔ ⇔  . 244−y = 0  y = 6 0  0 Vậy D(2;6). b) Đường th ẳng d đi qua điểm D , có m ột vect ơ pháp tuy ến n aba2 b 2 (2;6) 1 =(;), + ≠ 0. Ph ươ ng trình c ủa d có d ạng ax(− 2) + by ( − 6) = 0. Vì nên là m ột vect ơ pháp tuy ến c ủa đường th ẳng AB AB =( − 4; − 4) n2 =(1; − 1) . 0,5 nn. ab− a = 0 1 2 2  Ta có cos 45°= ⇔= ⇔−=⇔2ab 0 . n. n 2 2 2 b = 0 1 2 2(a+ b )  Nếu a = 0 thì b ≠ 0 nên d có ph ươ ng trình y −6 = 0. Nếu b = 0 thì a ≠ 0 nên d có ph ươ ng trình x −2 = 0. 0 0,5 Vậy có 2 đường th ẳng đi qua D và t ạo v ới đường th ẳng AB góc 45 có ph ươ ng trình lần l ượt là x−=2 0, y −= 6 0. c) Với A(2;3 ), B (−2; − 1 ), C (1;5 ) thì AB=42, BC = 35, CA = 5, 1 0,5 p=( AB ++= BC CA )2(2 + 5). Di ện tích tam giác ABC là 2 S= pp( − ABp ( − BC )( p −= CA )6. AB. BC . CA 52 0,5 Bán kính đường tròn ngo ại ti ếp tam giác ABC là R = = . 4.S 2 Câu 3: (3,0 điểm) xyx22++=2 315 y  xyx 22 ++= 2 315 y   a) 422⇔  22 422 xyxy+−−=2 452(  xyxyxyxy ++++−−= 2 3) 2 435    2 2 xy+2 x + 3 y = 15 xy2 x 2 y   +2 + 3 = 15  2 ⇔ ⇔  x+ y = 5 (xy2+ ) 2 + 2( xy 2 +− )350 =   0,75   x2 + y = − 7   2   2  yx=−5   yx =−5 x = 0  222 2  22  xxx(5−++−= ) 2 3(5 x ) 15  xx (4 −= ) 0 y = 5 ⇔  ⇔  ⇔  .  2 2   0,75 yx= −7 −  yx = −7 −   x = ± 2     xxx222(7−−+ )2 +−− 3(7 x 2 )15 =  −− xx 42 8 = 36  y = 1     Trang 2
4.  2 2x− 8 x + 40 ≥  x −2 −⇔ 8 x 4 x 2  ⇔ . 1,5  2 2  2x− 8 x +> 4 ( x − 2) x > 4   x −2 ≥ 0  Câu 4: (2,0 điểm) Vì x y z   và x+ y + z = 4 nên , ,∈  0;3  , 2xyz+− (3 x )(3 − y )(3 −≥ z ) 0 ⇔2xyz +−+++ 27 9( x y z ) 3( xy ++− yz zx ) xyz ≥ 0 ⇔−+27 9.4 3(xy +++ yz zx ) xyz ≥ 0 ⇔6(xy +++ yz zx ) 2 xyz ≥ 18 1,0 2 2 2 2 2 2 ⇔3(x +++ y z ) 6( xy +++ yz zx ) 2 xyz ≥+ 18 3( x ++ y z ) ⇔3(x +++ y z )2 2 xyz ≥+ 18 3( x 222 ++ y z ) 2 222 ⇔3.4 + 2xyz ≥+ 18 3( x ++ y z ) ⇔3(x2 ++− y 2 z 2 ) 2 xyz ≤ 30. 0,5 Dấu “=” x ảy ra khi trong ba s ố x, y , z có m ột s ố bằng 0, m ột s ố b ằng 1 và m ột s ố b ằng 3. 0,5 Vậy maxP= max3{ ( xyz2 ++− 2 2 ) 2 xyz } = 30. Trang 3