Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 10 - Năm học 2009-2010 - Trường THPT Diễn Châu III

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 10 - Năm học 2009-2010 - Trường THPT Diễn Châu III

1. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ THI HSG TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 – 2010 TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU III Môn: Toán học 10 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút Câu 1: Giải phương trình, bất phương trình sau: 2x 1 1 a. x 1 x 1 x 1 7 b. x 2 x 1 x x2 x 2 2 Câu 2: Giải hệ phương trình: x3 2xy2 3 3 y y x(2xy 1) 3 Câu 3: Tìm m để bất phương trình sau có tập nghiệm là R: (x2 x 1)(x2 x m) 0 Câu 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E bất kì, D là điểm cùng phía với B đối với đường thẳng AC sao cho tam giác CED đều. Gọi N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BE. a. Chứng minh rằng: Tam giác CNP đều. b. Tìm quỹ tích điểm M sao cho: MA2 MB2 2MC 2 Câu 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 y2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 2x2 xy 2y2 Hết By Phan Nguyen Thanh Son – Dien Chau 3 upper secondary school
2. ĐÁP ÁN Câu 1: a. ĐKXĐ: x 1 . Với ĐK đó: 2x 1 1 Ta có: (1) x 1 x 1 x 1 x 0 1 1 2x 2x 2x 1 x 1 x 0 . x 1 x2 1 x 1 x 1 2x x 2 0 x 1 1 1 x 1 2x 0 x 1 c. ĐKXĐ: x 1 . Với ĐK đó: 7 t 2 Đặt t x 2 x 1 Suy ra: t 2 2x 1 2 x2 x 2 x x2 x 2 4 2 2 Khi đó bất phương trình trở thành: t 2 2t 8 0 2 t 4 - Với t 2 suy ra: x 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 6 4 x 2 x 1 x 7 4 x 2 0 (đúng x 1 ) - Với t 4 suy ra: x 2 x 1 4 x 2 x 1 4 x 2 x 15 8 x 1 13 8 x 1 0 (đúng x 1 ) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1; x3 2xy2 3 x3 2xy2 3 x3 2xy2 3 Câu 2: Ta có: 3 3 2 3 2 2 y y x(2xy 1) 3 x 2xy [y y x(2xy 1)] 0 (x y)(x xy y 1) 0 2 2 2 2 y 3y Mặt khác x xy y 1 x 1 0 2 4 x y x y 1 Do đó: Hệ PT 3 2 x 2xy 3 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là x=y=1 By Phan Nguyen Thanh Son – Dien Chau 3 upper secondary school
3. 2 2 1 5 5 Câu 3: Đặt t x x 1 suy ra t x . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: 2 4 4 t t m 1 0 t 2 (m 1)t 0 (1) 5 Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R thì (1) phải có tập nghiệm là ; 4 Xét f (t) t 2 (m 1).t ta có 2 trường hợp: (m 1) 5 3 5 - TH1 : m . Khi đó ta có bảng biến thiên f (t) trên ; 2 4 2 4 (m 1) 5 t 2 4 f (t) 5 5 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để f (t) 0 với t ; thì: f 0 4 4 2 5 5 5 1 hay .(m 1) 0 m 1 m 4 4 4 4 Kết hợp với ĐK trên ta thấy không có m thỏa mãn (m 1) 5 3 5 - TH2 : m Khi đó ta có bảng biến thiên f (t) trên ; 2 4 2 4 5 (m 1) t 4 2 f (t) By Phan Nguyen Thanh Son – Dien Chau 3 upper secondary school
4. 5 (m 1) Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để f (t) 0 với t ; thì: f 0 4 2 (m 1)2 (m 1)2 Hay 0 (m 1)2 0 m 1 (thỏa mãn ĐK) 4 2 Vậy ĐK để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R là m 1 Câu 4: a, Dễ dàng chứng minh được A VADE VBCE (c.g.c) Từ đó suy ra: N· AC P· BC N· AC P· BC AD BE AN BP N Mà AC=BC Suy ra VANC VBPC C CN CP B · · NCA PCB P E Do đó: D ·ACB (·ACB N· CA) P· CB N· CP hay N· CP 600 Suy ra tam giác NCP cân và có 1 góc bằng 600 Vậy tam giác NCP đều . W b, Gọi O là trọng tâm của VABC vì VABC đều nên OA=OB=OC. Ta có:  2  2  2       MA2 MB2 2MC 2 MA MB 2MC (MO OA)2 (MO OB)2 2(MO OC)2           2MO2 2.MO.(OA OB) 2MO2 4.MO.OC 2.MO.(OA OB) 4.MO.OC       Mà OA OB OC 0 OA OB OC thay vào ta được:        2.MO.(OA OB) 4.MO.OC MO.OC 0 Vậy M thuộc đường thẳng qua O và vuông góc với OC. Câu 5: Cách 1: Ta xét 2 trường hợp: -TH1: y=0 x2=1 Khi đó P 2 By Phan Nguyen Thanh Son – Dien Chau 3 upper secondary school
5. -TH2: y 0 khi đó ta có thể đặt x=k.y ĐK bài toán trở thành (k 2 1)y2 1 và P ( 2k k 2)y2 P ( 2k 2 k 2)y2 2k 2 k 2 Do đó P (P 2)k 2 k (P 2) 0 (*) 1 (k 2 1)y2 k 2 1 9 3 Để (*) có nghiệm thì V 0 hay 1 4.(P 2)(P 2) 0 P2 0 suy ra P 4 2 Khi P=3 thay vào (*) được k= 1 2 3 2 2 2 2 1 1 (3 2 2) Suy ra y 2 2 k 1 1 18 12 2 1 3 2 2 3 2 2 1 - Nếu y= thì x 18 12 2 18 12 2 2 2 3 1 - Nếu y= thì x 18 12 2 18 12 2 3 Vậy P với x;y nhận các giá trị như trên. max 2 Cách 2: Áp dụng BĐT ab a2 b2 ta được 2 2 2 2 2 1 .x 2 2 1 .y 3 P 2x2 2y2 2 1 .x. 2 2 1 .y 2x2 2y2 2 2 Và đẳng thức xảy ra khi a=b hay x và y nhận các giá trị như cách 1 Cách 3: (Sử dụng vectơ để CM BĐT) Trong mặt phẳng tọa độ chọn u và v sao cho P u v 3 u v .(x2 y2 ) 2 Mọi người thử suy nghĩ và tìm cách chọn xem! Khi chọn xong rồi thì ta có ngay BĐT: u v u v Từ đó tìm được GTLN của P rồi xét điều kiện xảy ra dấu “=” u  v By Phan Nguyen Thanh Son – Dien Chau 3 upper secondary school