Đề thi môn Toán Lớp 7 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Văn Thủy

Nội dung text: Đề thi môn Toán Lớp 7 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Văn Thủy

1. PHÒNG GD & ĐT LỆ THỦY KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 TRƯỜNG THCS VĂN THỦY CẤP TRƯỜNG - NĂM HỌC 2019 - 2020 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ RA Câu 1 (2,5 điểm). Tìm x: 1 1 6 1 x 2 x 8 a/ x 4 2 b/ 2x x c/ (x 3) (x 3) 0 5 5 5 2 Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2019 x 2020 x . Câu 3 (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300. 27 - 2x b) Cho Q = . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên? 12 - x x y y z Câu 4 (1,0 điểm.) Tìm x, y, z biết x + 2y + 3z = 154 và ; . 2 3 4 5 Câu 5 (2,5 điểm). Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AC. a) Chứng minh: BD = CE. b) Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA. Chứng minh: ADE = CAN.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm 1 9 0.75đ x 2 x 1 1 5 5 a) x 4 2 x 2 5 5 1 11 x 2 x 5 5 1 Vậy với x = hoặc x = - thì x 4 2 1 5 b) 2x - = x - x = - x = - 0.75đ c) (x - 3) x + 2 - (x - 3) x + 8 = 0 (x - 3) x + 2 [1- (x - 3) 6 ] = 0 1.0đ x 3 x 3 0 x 4 6 x 3 1 x 2 Áp dụng BĐT a b a b Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng dấu (HS không làm phần này vẫn cho điểm tối đa) 0.25 Ta có P = 2019 x 2020 x = x 2019 2020 x 0.25 P x 2019 2020 x 1 1 2 0.5 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi (x-2019) và (2020-x) cùng dấu Hay 2019 x 2020 Vậy minP = 1 khi và chỉ khi 2019 x 2020 a) Với mọi n nguyên dương, ta có: 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n = 4n .(43 + 42 - 4 - 1) 0.25 = 4n .(64 + 16 - 4 - 1) = 4n .75 0.25 0.25 = 4n - 1. 4 . 75 = 300 . 4n - 1 n - 1 Mà 300 . 4 chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương ) 0.25 Nên 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 (với mọi n nguyên dương ) 3 Điều kiện : x Z ; x ≠ 12 0.25 27 - 2x 2.(12 - x) + 3 3 Biến đổi Q = = = 2 + 12 - x 12 - x 12 - x 0.25 Ta có 2 Z ; x Z ; x ≠ 12 3 nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi có giá trị nguyên 12 x 3 Mà có giá trị nguyên khi và chỉ khi 12 x Ư(3) 0.25 12 x Ư(3) = -3; -1; 1; 3
3. + Nếu 12 - x = - 3 thì x = 15 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = -1 thì x = 13 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = 1 thì x = 11 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = 3 thì x = 9 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi x 9; 11; 13; 15 0,25 x y x y x y Từ 2 3 2.4 3.4 8 12 y z y z y z Lại có 0.25 4 5 3.4 3.5 12 15 x y z 4 Do đó 0.25 8 12 15 x 2y 3z x 2y 3z 154 Suy ra 2 0.25 8 24 45 8 24 475 77 0.25 Vậy x = 8.2 =16; y = 12.2 = 24; z = 15.2 =30. Xét ABD và ACE có: A Vẽ hình AD = AC (gt) 0.5đ AE = AB (gt) P E B· AD C· AE (Cùng phụ với B· AC ) I ABD = AEC (c.g.c) 0,75đ D BD = CE (Hai cạnh tương B M C ứng) N 5 Xét ABM và NCM có AM = MN (gt) ; BM = CM (gt) A· MB A· MC (đối đỉnh) ABM = NCM (c.g.c) AB = CN (hai cạnh tương ứng) 1.25đ A· BM N· CM (Hai góc tương ứng) Ta có A· CN A· CB B· CN A· CB A· BC 1800 B· AC Lại có D· AE D· AC B· AE B· AC 1800 B· AC D· AE A· CN Xét ADE và ACN có CN = AE (cùng bằng AB) AC = AD (gt) D· AE A· CN (cmt) ADE = CAN (c.g.c)