Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán học Lớp 11 - Phạm Kim Chung

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán học Lớp 11 - Phạm Kim Chung

1. 1 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010 PHẦN MỤC LỤC Trang I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨC III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Các diễn đàn : 1. www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn , 2. Đề thi HSG Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố trong nước, Đề thi Olympic 30 -4 3. Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến ) 4. Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ 5. Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ( Trần Phương - Lê Hồng Đức ) 6. Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN SƠ CẤP (Phan Huy Khải ) 7. Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải ) 8. Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) 9. Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng ) 10. Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận ) 11. Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương ) 12. 340 bài toán hình học không gian ( I.F . Sharygin ) 13. Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam ) 14. và một số tài liệu tham khảo khác . 15. Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website. MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 1 
2. 2 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 1. Tìm các giá tr y=−++ 2x 2 m x2 −+4x 5 có c -2 3 2 ị của tham số+− m đểx0 hàm số=/ : ực đại . ĐS : m < 2. f(x)=   = 1 xsin 1, x Chot hàm số : . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu 0 ,x 0 3. Tìm c y= f(x) = |x| x − 3 ại x =0 . ( ) 4. ực trị của hàm số : . ĐS : x =0 ; x=1 7 9 Xác đ ịnh các(4m giá−3 trị) củax++ 3tham( 3m số − m 4) để 1 các − x phương+=m −1 t0rình sau có≤≤ nghim ệm thực : 9 7 b)a) 4 x2 +− 1 xm = 0m< ≤ 1 . ĐS : 22 422 c) m( 1x+−−+= 1x. ĐS 2: ) 21x −++−− 1x 1x  x23+=y2 5.   32= Xác định số nghiệm của hệ phương trình2 : ĐS : 2  yx22− x1+  e = log xlog y 1 6. Gi  y12 +  + + = ++ + ải hệ phương trình :  32. ĐS : (x,y)=(7;7) 3logx + x(x2− 2x2y += 2 6) 3 2log(xy1− + 1 y 2) 1 7. Gi  2 x1− y + y− 2y+= 2 3 + 1 ải hệ phương trình :  2xy− y2x1 − + 2xy1 −+ ( +=+) 8. Gi  32+ + + +=  1 4 .5( 2) 1 ải hệ phương trình : Gi 9. ( −=y) 4x35 ln−+ y 2x(x 1−3 ) 0 x +2 1 10. Giải phương trình : x 3(x+− log 2)(2x(x−+ 5) 1) log 3x 6 ≤−4 (x + 6)(2x −1) +3x+ 2 ≤≤x7 2 ải bất phương trình : 5 . ĐS : 11. Gi 3 3−+ 2x −≤2x 6 2x− 1 ải bất phương trình : 12. Gi 3x( 2 +9x22+ 3) ++(4x 2)( 1 ++ x+ x 1) = 0 3 13. Giải phương trình : x32−4x − 5x += 6 7x2 + 9x − 4 2 xy−++= y x y 5 Tìải phương trình : ∈ 14.    5x−+ 1y −= m m m để hệ phương trình sau có nghiệm : . ĐS : m1 1; 5 15. ( x+− x1mx) + +4 xx1( −) = 1 x1− Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực : .  x1++ y13 += 16. Tìm m  xy1yx1++ ++ x1 ++ y1m += để hệ có nghiệm: 2 f '''(x) 1 f ''(x) Gi 17. x12x < ∀≠12 f'(x) 2 f'(x) 18. ả sử f(x) = ax3 + =bx2 +23 cx ++−+ d (a ≠ 0) đạt cực đại tại +; . CMR: f 2 ≤∀,m x x ,x 19. 22( +≥) Cho hàm số : f(x) cos 2x 2(sinx cosx)xy+ 3sin2x m . Tìm m sao cho (x) 36, 20. Trong( Đề thi các HSG nghi Tỉnhệm(x;y) Nghệ của An BPT năm : 2009log ) Gi x y 1. Tìm nghi2009ệm đểx2( P x= x +1 + -2y x) đ =1ạt GTLN 21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Tìmải phương m trình : . ĐS : x=0  xym+= 33  2 . để hệ phương m trình≥ sau có ba nghiệm phân biệt : (y+ 1) x += xy m( x + 1) 2 ĐS : MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 2 
3. 3 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 44  x−= y 240 22. Gi  x33−= 2y 3x 22 − 4y −− 4x8y  ( ) ( ) ải hệ PT : 4 3 3 22 x+ x y += 9y y x + y x + 9x 23. Gi  xy33−= x 7  ( ) ải hệ phương trình : . ĐS : (x,y)=(1;2) 2 (4x+ 1) x +−( y 3) 5 − 2y = 0 24. Gi  22 4x++ y 2 3 − 4x = 7 ải hệ phương trình : 2 xy−++= y x y 5 Tìm ∈ 25. m    5x−+ 1y −= m để hệ phương trình sau có nghiệm : . ĐS : m1 1; 5 26. m ( x+− x1mx) + +4 xx1( −) = 1 x1− Xác định để phương trình sau có nghi2 ệm thực : . 3x( + 1) +− y m = 0 27. Tìm m  x+= xy 1 để hệ phương trình : có ba cặp nghiệm phân biệt . x+ x2 − 2x += 2 3y1− + 1 28. Gi  2 x1− y+ y − 2y += 2 3 + 1 ải hệ PT :  xy−  e =  sinx 29. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .Gi  − =+− siny  Π ải hệ phương trình : sin2x cos2y∈ sinx cosy 1  4 32 3 x,y 0; 30. Gi 16x− 24x + 12x −= 3 x  +=+2xy− y2x1 − + 2xy1 −+ ải phương trình : ( ) 31. Gi  32+ + + +=  1 4 .5( 2) 1 ải hệ phương trình : x 32. Gi =++y 4x ln3 ( y + 2x) 1 0 32 23 3 33. Giải phương trình : 3−2x 1 + 10x x log − 17x 1 += 2x 8 2x 5x − x ĐS 5 4 10 6  x+=+ xy y y 34. Giải phương trình :  2  4x++ 5 y += 8 6 ải hệ phương trình :  x22++− 2x 22 y =++ y 2y 1 35. Gi  22  y++− 2y 22 x =++ x 2x 1 ải hệ phương trình :  1  xy+=  2 36. Gi  y x 11 xy+=+ ải hệ phương trình : yx 11 37. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) . Gi (5 x− 6)22− = x − 5x−− 7 x 1 7 ải phương trình : Lời giải : x > 5 ĐK : 4x− 6 3 Cách 1 : ⇔6(4x − 6)(x − 1) + =⇔=0 x − − −+ − 2  PT 2 11 Cách 2 : Vi (x1)(5x7).x1(5x−= 6) − 5x7 x2 − (5x−− 6) 1 x− 1 ết lại phương trình dưới dạng : 15 = 2 − > t1− 7 MATHVN.COM  Phạm VàKim xét Chung hàm –số THPT : f(t) Đ ẶNG t THÚC HỨA , t – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 3 
4. 4 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 38. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) x32+3x −≤ 1 m( x − x − 1)3 Xác định tất cả các giá trị của tham số m để BPT sau có nghiệm : 3 HD : ( x+ x − 1) (x32 + 3x −≤ 1) m 39. ( Đề thi HSG TỉnhNhân Quảng liên Bình hợp năm đưa 2010về dạng ) . : Gi x32+ 3x + 4x += 2 (3x + 2) 3x + 1 ải phương trình : 3 HD : ⇔+(x 1)3 + (x+= 1) ( 3x+ 1) + 3x+ 1 f( t)= t3 +>t 0 40. ( Đề thiPT HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Gi . Xét hàm số : ,t 23 2x−= 1 27x32 − 27x + 13x −2 ải phương trình : HD : ⇔ (2x−+ 1) 2332x−= 1 (3x − 1)3 + 2(3x − 1) ⇒ f( 2x−= 1) f(3x− 1) 2 PT (4x+ 1)x +− (y 3)5 − 2y = 0 41. ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Gi  22 4x++ y 2 3 − 4x = 7 ải hệ phương trình : 2 2  HD : T [(2x) + = −+1 −⇒2x) = f( 5 −2y ) ( ) ừ pt (1) cho ta : 1].2x 5 2y 5 2y f( 5− 4x2 f(t)= (t22+⇒ =+>⇒1 0 2x= 52y − ⇒ 4x2 =− 52y ⇒= y 2 2 Hàm số : 2 1).t2 5 f− '(t) 4x 3t 3 4x + +2 3 −= 4x 7 0 ≤≤x 2 4 Thế vào (2) ta có : 1 , với ( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có x = 2 nghiệm duy nhất : .  x+= y4 42. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .   ++ +≤ Cho hệ: (a là tham≥ số). x7 y7a HD : Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x 9. 4 − x=≥≤ y0⇒ x16 t = ∈ ĐS : ≥+4 22 Đứng trước bài toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt của biến khi muốn quy về 1 biến để khảo sát : 4 xy−+ 2x 4 y−+ 4x 2 = 5 43. Gi . Đặt x,t [3;4] và kh ảo sát tìm Min . a  x3 3y 2xy2+=+ ải hệ phương trình : 2 44. (e1−−+) −≤2e e −−1 sinx sinx sinx 45. (Xác Đề đthiịnh HSG m để Tỉnh bất phươngThừa Thiên trình Huế sau nghiệmnăm 2003 đúng ) . với Gi mọi x : 22−− = −− 25+ e 1 22+ (e 5 1)sinx 46. (4m3x3ải PT− ): log ++ (x( 3m4 2x −) 11) 1x −+ log m10 −= (x 2x 12) 2 Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:  yx22− x1+  e = 47. (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) . Gi  y12 +  + + = ++ + ải hệ phương trình sau:  32 48. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm : 3log(x 2y 6) 2log(x y 2) 1  + −x >  f(x)=  2 −− + ≤ 0 (x 1)e , x 0 Cho  + ≤. 0Tìm a để tồn tại f’(0) .  F(x) =  x ax 1, x  ++ ax b 1, x 0  >  F(x) =  24 f(x)=  F'(x)= f(x)   = lnx= , x 0 xlnx, x 0  và . CMR :  0, x 0 b 2 0, , x 0 ∀> ∀∈ + − −< Cho f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện : a0ất đẳng thức sau luôn đúng xR: |f(x a) f(x) a| a . Chứng minh f(x) là hàm hằng . MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 4 
5. 5 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 2 3 x1− e1−2x −+3 x2  1 = 2 = π 2 x0→ 2 x→ x1− + ) 4 tan Tính giới hạn : N lim 332 3 Tính giới hạn : N lim 2sinx++− x1 1 + x e ln(1− e xi  3 = lim 4 = sin2x s nx x0→ x x→0 2 Tính giới hạn : N 3 x8+ −2 Tính giới hạn : N lime1−2x −+3 x2 sinx  5 = 6 = x→0 x0→ + 2 ) Tính giới hạn : N lim 3 3x Tính giới hạn : N lim x4 sien10x− e 4xln(1− x  7 = sin2x sin 8 = lim x→0 x0→ 3 x − 3 2 Tính giới hạn : N lim 23x 2x − Tính giới hạn : N  9 = sin4x x0→ + −− .3 cos4x  Tính giới hạn : N lim xxx 1 sinx 1 sinx 123 n Cho P(x) là đa thức bậc n có n nghiệm phân1 +biệt ; ++ ; x . Ch =ứng minh các đẳng thức sau : ) x 2n)) P''(x1 ) P''(x ) P''(x ) a) 112n 1 0 b) P'(x+ P'( ++ P'(x = 1 )) )  2n 0 P'(x P'(x P'(x (x)= c + ++ Tính các tổng sau : n 1 x1 x 1 x b)a) TT= osx +2cos2x ++ ncosnx 222222 22 n nn c) (x) tan+ tan ++ tan − = − − 2 3 n n2 2 = +nn + ++ n CMR : 2.1.C 3.2.C n(n 1)C n(n 1).2 n + + +− e)d) S(x)= s inx22 4sin2x + 9sin3x 22 ++n sinnx 2 x (x+ 1) (x ++ 1) (x 2) +− +2 n 2x 1 2x 3 2x (2n 1) 49. Các bài toán liên quan đếnS (x) cực trị của hàm số : αx (n 1) (x n) ++ a) α∈ + ≥ ≤ nn 22 ab a b b) Cho R:a b 0 . Ch>ứng minh≥ 2 ( rằng∈ : ++ −+ +++= Chứng minh rằng với a 3,n n N,n chẵn ) thì phương trình sau vô nghiệm : n2 n1 n2 2 22 (n 1)x 3(n 2)x a0 xx  c) y=+−+ (m 1)22 3m  4m 1x++  1x Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị :  xx xx d) ≥∈ ∀=x0/  ++++2n −+−−< 2n    Cho n 3,n N ( n lẻ ) . CMR : 22, ta có : 1 x 1 x 1 e) Tìm c y = x+ x1++ x −+ x1 2! n! 2! n! 2 f) ực trị của hàmy số= f(x): = − 2 + x +1 có c −− 9π g) Tìm ma đ ể hàm số : y = xa ực tiểu .   4  msinx cosx 1 để hàm số : đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc khoảng 0; 50. Các bài toán chứng minh phương trình có mcosxnghiệm : a) 2 +( +) ++= 4+ 32 + + +=e0 Cho các số thực+ ∞a,b,c,d,e) . Chứng minh rằng nếu phương trình : ax b c x d e 0 có nghiệm thực thuộc 5 4 32 b) nửa khoảng [1; thìxx ph=ương−5x trình + 15x: ax − x bx +3x −=cx 70 dx có nghiệm. Cho phương trình : P( ) . Chứng minh rằng, phương trình có một nghiệm thực duy nhất. MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 5 
6. 6 Phần II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM -ĐA THỨC 1. → f(x) Tìm hàma) số : limf:R R= 1tho ả mãn đồng thời các điều kiện sau : x0→ x b) ( +=) ( ) +( ) +22 + + ∀ ∈ 2008 2008 2. fx→ y fx fy 2x 3xy 2y,( −=++ x,y) R ( ) ( ++∀∈) 3. Tìm hàm số : f:R→ R thoả mãn điều kiện sau : f( x+ f(y) f x) y=( ) + f f(y) y( ( )) 1,∀∈ x,y R 4. → Tìm hàm số : f:R R thoả mãn điều kiện sau : f x cos(2009y) f x 2009cos f y , x,y R c) fx≥ e2009x Tìm hàm số : f:R( ) R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : d) ( +≥) ( ) ( ) ∀ ∈ fy( )− 1 5. fx→ y fx.fy,t x,yR ( +=) ∀ ∈ 2 6. Tìm hàm số : f:R→ R hoả mãn điều kiện sau : f( x( y+= f(x).e)) ( ,) x,y + R 7. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) → Tìm hàm số : f:R R thoả mãn điều kiện sau : fx.fxy f(y.fx) x f 2 + + =+( ) ∀∈ Tìm hàm f: thỏa mãn : (x) 2yf(x) f(y) f y f(x) , ,x,y R MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 6 
7. 7 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 1. ∈2 ++= 22 2++≤ 22 2. Cho a,b,c2 R: a b c 2 3 . Chứng minh 2 rằng 222 : ab bc ca 3 2 2 − +22 − +22 − ≥− − − Cho các( số )thực không( âm) a,b,c . (Chứng) minh( rằng) ( : ) ( ) 2 22 2 abab bcbc caca ab+ +bc + ca ≥ ++ 3. ∑ 2 ( ) + a b c 81( a b) 13 Cho các số thực a,b,c . Chứng minh rằng : abc7 89 4. bca4+++ =2a b 4 = 5. Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn : a b++≤ c 36abc 2 . Tìm Max của : P abc + ++2 a b c3 Cho 3 số thực dương tuỳ ý x,y,z . CMR : 6 ( ++ab) bc ca 6. = 23 abc 7. Cho a,b,c >0 . Tìm GTNN của : P x2++=y 22 ab c −−222 −− −− Cho các số thựcCMR dương x,y,z thõa++ mãn : z1 2x (y z) 2y (z x) 2z (x y) : ++ 8. yzCMR zx++≤ xy ++ ++ ++ bc ca ab a b c Cho các số thực dương a,b,c . : 1 1 11 9. a 3b 2c b++≤ 3c 2a c 3a 2b 6 3++ 3 33 ++ 33 ++ Cho các số thực dương a,b,c . CMR : 111 10. a b++= abc b c abc1 c a abc++abc≤ 3 2+++ 22 11. Cho các số thực thỏa mãn điều kiện : 2++=b 22c3 CMR. CMR : ab bc ca a 2b 2c 2 111 Cho các số thực dương thỏa++≥ mãn điều kiện3 : a . : −−− 12. 2a 2b 2c ++≤ + ++ x y z 32 Cho x,y,z là 3 số thực dương tùy ý . CMR2 : 22 − 2 13. CMR +xy + ≥+++ yz zx 2 ++ a b c 4(a b) Cho các số thực dương a,b,c . : abc1113 14. b c a abc++≥ 3+++ 332 15. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1( −− .) CMR( : )( − ) =/ 0 a (b c) b (c a) c (a b) 222 Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn : xyz=1 và x1y1z1 . CMR :   ++≥  1 −−− xyz −+222 −+ −+ 16. x1CMR y1 z1 ++≥ 2++ 2 2 ++ 22 ++ 22 (3a b c) (3b c a) (3c a b) 9 Cho a,b,c là các số thực dương bất kỳ . 2: 22 17. ++=b 2ac1 (b c) 2b (c a) 2c (a b) 1 1 19 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn++≤ : a . CMR : −−− 1ab1bc1ca22 22 18. ++=b c9 CMR + + ≤ + 3 33 19. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a . : 2(a++≥ b c) 10 abc −−−2 224 a b c1 20. (ChChoọn a,b,c ĐTHS là các G QG số Ngthựchệ dương An năm : a+b+c 2010 =1) . CMR : (1 a) (1 b) (1 c) 4++b 44 c ) − 25( 2 ++ 22 + = Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : 222 9(a aF = b c )++ 48 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : +++2b abc MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 7  b 2c c 2a a
8. 8 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải : T 9 4++ 44 − 2 ++ 22 + =⇒2 ++ 22= +4 ++ 44 ≥ +2 ++ 222 ừ giả thiết : 16 ⇒−(a 2b++ 222 c ) 25(a b 2 ++ c 22 ) 48 + 0 ≤⇒≤ 25(a3 b2++ bc c 22 ) 48≤ 9(a b c ) 48 3(a b c ) 3 3(a b c)25(a b c) 480 a 2 2 2 444 2++ 2 22 F =Ta lại có++ : = + + ≥ +++2+2 + 2 +2 ++ 22 + 2 ++ 22b) a b c a b c (a b c ) 2++ 2 22 b 2c2+ c 2 2a+ 2 a = 2b +a (b 2c) + b (c≤ 2a)2 ++ c22222222 (a 2b) + (a b + b c c ≤ a) 22(a ++ c 22 b a c 3 (a b c ) Lại có : a b b c c a a(ab) b(bc) c(ca)2++ (a 22 b c )[a b b c c a] a b c 2+ 2 + 2 ≤ 2 ++ 22 3 abc Tương tự : (a c b a2++ c 22 b) a b c . T F ≥≥1 3 abc ĐÁPừ đó ÁN ta cóCỦA : SỞ GD&ĐT NGHỆ AN. D ấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1. – 2 ++2 2 22 Áp dụng bất đẳng+≥ thức AM 2GM, ta có = b++ 2c 9 b 2c 9 3 a (b 2c)a a (b 2c)a 2a 2 ++2 22 2. 2 T +≥ + ≥ ++ b (c 2a)b 2b c (a 2b)c 2c ương tự 222, . c 2aF =++ 9 3 a 2b 9 3 +++ abc Suy ra: 212 22 2 2 2 ≥b ++ 2c c 2a − a 2b + + + + + 39( )  – a b c a (b 2c) b (c 2a) c (a 2b) (*) . 333++ 3 ++ 33 33 ++ 3 Lại áp2 dụng+ 2 AM + 2 ≤GM, ta có + + =++3 33 333 aac bba ccb T a c b a c b a b c ( ) . 212 22 2 22 212 22 2 22 2 22 ừ (*)≥ và ( ) ++ suy ra: −( ++) ++ ≥ ++ − ++ ++ 39( ) 39( ) ( ) ( ) F=( abc2 ++ 22) abc(abc) abc abc 3abc. 2 Đặt t 3a( 2++ b 22 c) , − từ giả = thiết( 4 ++ta 44có: ) ≥( 2 ++ 22) 2 16 25⇒ a2 ++ b 22 c −48 9 2 a ++ 22 b c + 3≤⇒≤++≤ a b c 2 22 ( ) ( ) 3 213abc23 25abc 480 3abc . F≥− t t = f(t) ∈ 9 27 Do đó = = với t 3;4 ( ). ≥ ∈ MàV tmin 3;4 f(t)= x f(3) 1( )= =. T =ừ ( ) và ( ) suy ra F 1. ậy minF 1 ảy ra khi abc1. 21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) 1 1 1 36 ++≥Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng : +++2 2 22 2 2 Lời giải : xyz9 xy yz zx 2 2 22 2 2111 ( + + +) ++ ≥  BĐT đã cho tương đương với : 9 x y y z3 z x 36 2 ++ xyz ( ) = ≤  3 xy yz zx Ta có : xyz (xy)(yz)(zx) MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 8 
9. 9 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 22 2  ++  ( ++) ++  = ≥ 3 =    ++ ++ 1 1 1 xy yz zx 27 xy yz zx 27 Do đó : 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 9x+= x y+ z + xyz6++( x+(xy) (y yz ++ zx) xy +≥ yz zx + + + Lại có : y y z z x y 1 z 1) (z x 1) 2 3 (xy yz zx) 2 2 27 9 Nên : ( ) ≥ + ++ = ++++ ≥ ++ ++ VT 43 (xy9 yz zx) . 108 6 (xy yz zx) ≥ + ++xy yz zx = ⇒ xy≥ yz zx  ++ 108 6 2 (xy yz zx) 1296 VT 36 xy yz zx ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN : 2y2 2y2 2 2) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương (xy + yz + zx)(9 + x + z +x z ≥ 36xyz 3 2 22(1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 2y2 2xyy2 + yz2 +2 zx ≥ 312 xyz4 44 2y2 2y2 2 2 3 (2) Và 9+ x + z +x z ≥ 12 xyz hay 9 + x + z +x z ≥ 12 xyz 2y2 2y2 2 2) Do các v ế đều dương, từ (1), (2) suy ra: (xy + yz + zx)(9 + x + z +x z ≥ 36xyz (đpcm). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1 22. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) x++= y 1 3xy 3x 3y 1 1 l = + −−Cho các số thực dương x,y thỏa mãn đk : . Tìm giá trị y(x++ 1) x( y 1) x22y ớn nhấtLời giải của :: M 3xy=++≥ x y 1 2 xy +⇒ 1 xy ≥⇒ 1 xy ≥ 1 Ta có : (*) 2 3xy 3xy−−− 1 (1 3xy)2 + 2xy Ta có3x : 3y 1 1 1 1 3xy(x+−+ y) (x y) + 2xy ( ) =2 +2 −−2 2=+= 2 2 22 = 22 y (3x− 1) x (3y − 1) x y y (3x−− 1) x (3y 1) x y 9xy− 3(x ++ y) 1 4x y M 23. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) 3 33 Cho các+ số thực+ dương≥++ a, b, c . CMR : bc3 33 abc abc  33  ++1 ≥ 3 a bca  bb33 b HD :  aa a  3 33 3 ≤ ++  333  abc 24. ( Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) . ≥ 0 x2++=y 22 bca bi = +− + Cho x, y, z thỏa mãn : z1. Tìm giá trị lớn nhất của 22+−2 ểu thức HD : :P 6(y≤ z x)22 + 27xyz −+  =  −2 −+ ( = )  2 2 y z 1x Max 25. ( Đề thi HSG TỉnhP 6 Hải 2( yPhòng z ) năm x 2010 27x. ) . 6 2(1≥ x2 ) ++= x 22c 27x1 P 10 6 Cho3 ++≥a,2bb,c 33 3c0: a b . Chứng minh rằng : 7 HD : a 26. = Có thể dùng cân bằng hệ số hoặc Svacxơ 4+ 43 4 ++ 43 4 43 Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : xyz 1 . Chứng++ minh rằng : ≥ 12 xy6+yx 6 66 ++ 6 6 (xy) (y z) (z x) z z MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 9 
10. 10 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải : 2= 22 = = ⇒ = 2+ 2333 22 ++ 22 Đ++ặt x a;y b;z c≥ 12abc 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành : 33+333 ++c c 3 (ab) (b c) (c - a) ab2ba 23 6 42 42 42 6 24 24 244 66 3 3 +=+ ++ ++ + +≥ +b Áp dụng Bất( đẳng thức AM GM cho) 4 s(ố ta có : ) ( ) 27. (a(Đề thib) HSG aTỉnha Đồng b ab Nai năm ab 2010baaa4 ) . b b b ab a ++ Cho a,b,c++ > 0 . Chứng minh≥ rằng : + ++2( 2+ b 22+ c ) 1 1 1 3(a b c) HD : 2 2 22 22 ab bc ca a ++++b ) (b c ) + ) 1 ++ ⇔ ++ ≥ + ++c2 (a (c a 1 1 3(a b c) BĐT + 2 22+≥b 2a b bc a 2 (a b) 28. ( Đề thiVà HSG chú Tỉnh ý : a Phú Thọ năm 2010 ) . > ++= 3+y 3 33 ++ 3 3 Cho x,y,z++ 0: x y z 9 . ≥Ch9ứng minh rằng : +++ 9 x yzzx 29. ( Đề thi chọn ĐT Ninh Bình năm 2010 ) . 272 xy 9 yz 9 zx r 2++bc 22+≤ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 4. Chứng minh 27 ằng HD: a : 2abc 333bc 30. (Đề thi HSGBài Tỉnh này thìBình ch ọnĐịnh phần năm tử 2010lớn nhất ) . mà đạo hàm . + + ≥++b c bc a 4 2+ 2 + 22 Cho ++ a,b,c 4>0 . CMR : a HD : VT = ∑ ≥ ≥ ≥++ ca ab a (a b c ) (a b c) 31. ( Đề thi chọn HSG QG Tỉnh Bình Định năm 2010) . abc 2 += abc 3abc 27abc x 5xy = + + Cho x,y,z >0 thỏa mãn : xy xz 1 . Tìm giá trị nhỏ 3yz 4z nhất của : S 123 32. ( Đề thi chọn HSGxyz Thái Nguyên năm 2010 ). ++=1 +++ Tìm giá tr = Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện : . 1x 2y 3z 33. ( Đề thi chọn HSG QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . > 2++=b 22c 3 ị nhỏ nhất của : P xyz 111 ++≤1 Cho a,b,0 c :a . Chứng minh bất đẳng thức : −−− 34. ( Đề thi chọn ĐT trường ĐHSP I Hà Nội 2010 ) . 4ab4bc4cax2 22 = + ++ Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 3 3 3 222++) y yz zx 13xyz P Lời giải 1 : z x y 3( xy yz zx b c 13 == =⇒= = + + + b2223 ++ xy z a Đặt : a; b; c abc 1 . Lúc đó : P ++ 2 yz++ =x ++ = +ca +(a ≤ b c) 3 (ab bc ca) Ta có : (a b c) abc(a b c) (ab)(ac) (ab)(bc) (ac)(bc) + ≥ 2  b2 b 1a 1  b c 111 a ++≥ ⇒ + ≥++= + + b cb2c 222 1b 1 a Lại có : 1c2 1 ab bc ca + ≥ 2  2 caabc  cc 13 ≥a ++ + ( V ++≥ ) ++ 2 Do đó : P (ab bc ca) ới ab bc ca 1 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT (abĐ ẶNG bc THÚC ca) HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 10
11. 11 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải 2 : y x 2 22 == =⇒=bc 1 = + + + ≥ ++ + x y b ++ + + 2 z a b c 13abc 13 Đặt : a; b; c a . Lúc đó : P (a b c) 35. Bài toán tươngz tự : > ≤ 1 c a 3(ab+++ bc ca) ≥4 (a b c) 22 2 ++ xyz 3 111Cho x,y,z 0: xyz . Chứng minh rằng : Lời giải : = = =⇒≥ yzxxyz Đặt : a;2 b; 22 c abc 1 . ++ 2 xyz +++ ≥ + + bc+ ≥ 33 = 3 + + ++ ++ 2 a b c 3abc (a b c) 9 36. ( BĐTĐề thi đã chọn cho tr đổiở thành tuyển : ĐH Vinh năm 2010 ) . . Với : a ++=abc c a b ab bc ca a b c (a b c) 111 tr = + +Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0;1] và abc1. Tìm giá 2++111 22+ ị lớn nhất và nhỏ nhất của : P 11 1 HD : abc+≥+ ∀ ≥xy1 +≤ x22++11 y (x+ y)2+ 1 37. ( Đề thi chọnDùng HSG pp tiQGếp tỉnhtuyến Lâm và Bất Đồng đẳng ) . thức : 1,x,y 0; 2bc 22 + +≥2 −++ 22222 −++Cho a,b,c −+ là các số thực dương . Chứng minh rằng : b a Lời giải : a ab b b bc c c ca a ca 2 2 2 2 22  b  c bc C1 : ( THTT) + b +++  + + ≥ ++ ⇒ + ≥++ b c   b a a Ta có : 2 22 c 2  a  2(abc) 2−+ 2 abc =+ +  ≥∑∑ +−ac  +  =  +a ≥ b b   b  a bc a aab b  Do đó : 2.VT 2 b a b b 2VP C2 : ∑ 22−ca + ≥++ 22−+ 22−+ Ta có : =≥≥a ab b a b∑ c(Mincopxki) 2 −+b2 ∑∑b ++bc a ab b a ab b 38. ( Đề thiMà chọn : VT đội tuyển trườngSvacx Lươngo Thế Vinh – Đaồngab Nai năm 2010 ) . >= a r 222++≥++ c Cho a,b,c 0:abc 1 . Chứng minh 22 HDằng : : ab⇔ bc + ca +ab ≥++ + + ≥=  bc b abc ab a BĐT 222abc. Chú3 ý là 2223 : a c 3a a c Lời giải 2 : bca++≥=3b 39. ( Chọn ĐT HS G QG tỉnh Phú Thọ năm 2010 ). > Ta có : ab ab bc3 (a b c )b 2 223    32 Cho a,b,c 0 . Chứng minh bất đẳng thức : 33 ++≥ 3  +++    2 abc 22 bc++ caa + b  HD : 2++≥3233 ⇒ ≤   ++323  + bc bc bc a 1 a 40. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . a a a 2(abc) bc Cho =++3 số dương a,b,c thay đổi . Tìm giá trị lớn nhất của : + ++ bc ca ab bc P. HD : = = =⇒=1 a 3bcb 3cac 3ab b a Đặt x; y; zxyz . Lúc đó : =++=−+ca∑ . +++ + z x y1x P122++ Lại có : ++ 2 x 3z= y 3x z≥ 3y 3 x 3z ≥= ∑∑+ 22+ ++ + + + ++2 x x (x y z) ++(x2 y+ z) 3 3 x 3z x 3zx (x y z) (xy yz zx) (x y z) 4 13 3 (x y z) ≤− = 34 4 Do đó : P1 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z =1 . MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 11
12. 12 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT : = = = ∈( +∞) Đặt x a,y=++ b,z c;x,y,z 0; . 2+ 22 ++ yz zx xy Khi đó: P. =++x 3yz y 3zx z 3xy 2+ 22 ++ 3yz 3zx 3xy Ta có 3P 2 22 x 3yz y 3zx z 3xy =−++32 22 =−3Q + ++ xyz x 3yz y 3zx z 3xy 2 áp dụng bđt BCS ta được 2++ 22 ++ + 2+ 22 ++ xyz 2 22x 3yz y 3zx z 3xy ≤x( +++3yz +y + 3zx) z 3xy Q.x y z 3xy 3yz 3zx 2 2 ( ++) ( ++) ⇔≥Q ++≤ 2 3 ( ++xyz) + + + xyz . Mặt khác xy yz zx 3 93 Qx≥ y z xy≤ yz ⇒≤ zx 4 44 Suy ra , do đó 3P P . 3 = = V 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c. ậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . 41. ( Đề dự bị HSG Tỉnh Nghệ An 2008 ) . 2++= 22 222 c =++ Cho ba số dương a,b,c thoả mãn : abc1. Tìm giá trị nhỏ nhất +++ abc ủa biểu thức : P.111 Lời giải 1 : Gi bc≥≥⇒ cabc ab ≥ ≥ +++b 2 2 2 ả sử : a 2 22. Áp dụng bất đẳng thức Chebysev ta có : =++ ≥( ++bcbc) ca a++ = ++ ≥ +++ +++ +++ abc1 1111111 P 33.a ≥≥bc ca ab 3 bc ca ab 3bcca ab ++b c) 3 22++b c2 ) Lời giải 2 : 2(a 2 (a 4 44 2++b 2 c) 22 =++Áp dụng BĐT Swcharz ≥: 2+++ 2 2 ( 22++ 22 ++ 2 +b 2) a b c (a 3 P.22 22 2 22 a((( b c)22 b c a) c+ a b) + b a c) a(b ++2(b c) c c(a ) +=c) ≤ 223 2a b c . b c 1 2a L ại có : a(b 3 333 42. ( Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005 ) . ++≥ ++333+ 8 abc Cho a,b,c >0 . CMR : 1 1 13 Lời giải : = = = ⇒ = (a b) (b c)++≥ (c a) +++3 338 bca x; y; z1 ; xyz 11 1 . Bất đẳng thức1 đã cho trở3 thành : abc- 3 (1 x) (1 y) (1 z) 33+ +≥3 6 = 2 (1x++) ( 1x) 8 8(1+ x) 21( + x) Áp dụng AM GM ta có : 1 1 13 ++≥ +++2 224 Ta cần CM bất đẳng thức : (1 x) (1 y) (1 z) MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 12
13. 13 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 1 11 Bổ đề 22+ ≥( ∀>) (1x++) ( 1y) 1+ xy : x,y 0 xy(x− y)22 +− (1 xy) ≥ 0 + +2 ++ VTBổ≥+=+= đề này được CM bằng cách biến đổi tương đương = đưa về BĐT hiển nhiên : ++( +2 +2 + 22 ++ 1 1 z 1 z(z1)1 z z1 Do đó : 22++ − Gi = 1 xy 1⇒ z)=x z ≤ 1 3 ⇒≥ (1 z)1 (1 z) z= 2z 1 = ≥ ∀≥ 24++ + z z1 z 1 ả sử : z Max{x,y,z}3 1 yz z z . Xét hàm số : f(z) ; f '(z) 0, z 1 f)≥=f(1) z 2z1 (z1) 4 43. ( ĐềSuy thi HSGra : Tỉnh(z Hà Tĩnh. năm 2008 ) . ≥ ++=1 −−− = ++Cho x, y,z 0:x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 1x+++ 1 1x 1y 1z 1x− P x2 Lời giải 1 : ≥−⇔−(1x) 1x1 −− 1xy2 1z ≥⇔− 0 1x ≥ 0 ( ) 2 1x+ 1+− 1x ≥ 2 ( luôn đúng ) 1x− 1y − 1xy −− 4 2 ThiChúết ý lập : Đ cácể tìm BĐT Max tương cần sửtự dụngta có : BĐTP phụ : + ≤+ +≤ và = + 1x+ 1y + 1xy ++ 5 3 44. ( Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) . 1> ++= ,x y MaxP 1 +++ + +Cho ≤2 x,y,z ++ 0:x y z 1 . Chứng minh bất đẳng thức : ++ + 1x 1y 1z x y z  Giải : ⇔+2+ +yz3 ≤ zx2 ++ xy ⇔≤ y z x + + ++ +   + +(x +y) x y z x y z 3 xz xy yz BĐT 2 222( ++) =yzzx ++ xy = y z x + 2 y(yz)z(zx)x + ≥ + + + + + + ++ xz xy yz (xz) (xy) (yz) xz yz zx Ta lại có : VP ++ 2 3 ++y(y = z) z(z + x) x(x + y) xyz(y ≤ z) xyz(z x)⇒ xyz(x≥ y) 2xyz(x y z) 3 2 (xy yz zx) 45.Mà : ( xyz(xĐề thi HSG y z) Tỉnh (xy)(yz) Quảng Bình (xz)(zy) – 2010 (zx)(xy) ) . ≥ ++=c VP3 333 b +11++bc + +≤1Cho5 a, b,c 0:a b . Chứng minh rằng : 46. aca =++ +− +− +− 2a 2b 2c Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC . Tìm GTNN của : P HD : = ≥ 2b 2c a 2a 2c b 2b 2a c + − +− ++ 2a 6a 6a 222 47. ≥2b ++=2c ac 1(3a)(2b 2c a) (a b c)=++ + +++ ++c 1 HD . Cho Tìma, b,c GTNN0:a : b . Tìm GTLN, GTNN của : Pa a1 bc b1 2222 Áp dụng BĐT Mincopxki ta có : 13  3 3 3  =+222++ ++ += ++ + + ≥ +++ + ∑    22   2 2 TìmPa GTLNa1 : b b1 c c1 a abc Bổ đề : +++22 ++≤+++++2 22 2 2 CM bất đẳng thức : 1++ a a)(1 ++ 1b bb) b ≤ b 1 + 1++++ (a b) (a b) ⇔ ++++ +−−b) ≥ 48. ( Đề thi chọn HSG QG tỉnh Hải Dương năm 2008 ) . > ++= Bình phương 2 vế ta có : (1aa a01ab(ab) 1ab(ab) (1 a 2 22 = + + Cho a,b,c 0:a b c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu +333 ++ abc thHDức : : P - a2 2b b 2c 33 c 2a AM GM ngư=−ợc dấu . ≥− =−3 2 ≥− ++ =− − ++333 6 3 9 99 a 2ab 2ab 2 2 2 4 Ta có : a a abaab(aa1)abab MATHVN.COM  Phaạm 2b Kim Chung a – 2b THPT Đ ẶNG3 ab THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 13
14. 14 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 2 2 4 74( ++) ≥ ++c) − ++ − + + ≥ − = 99 3 9 3 abc Do đó : P (a b (a b c) (ab bc ca) 1 11 49. ( Đề chọn ĐT trường chuyên Bến Tre ) . ≥ 0 = − +++ + + + 3 Cho x,y,z . Tìm+++ GTLN của : M 127 x y z 1 (1 x)(1 y)(1 z) Giải : ++=≥ 0 + + +≤ ≥− 3 3 t1+ (t+ 3) xyz3 Đặt xyzt1, 27ta có : (1 x)(1 y)(1 z) . Lúc đó : M f(t )= −≥ t1+ (t+ 3)3 Xét hàm số : ,t4 0+ 4 + 4 + 2 ++ 22 50. > ++≥ +++ 3a 1 3b 1 3c 1 a b c HDCho : a,b,c 03. Ch4+=+++≥ứng minh 444 rằng : 424 1 = 3 bc ca ab 2 34 Ta VTcó :≥= a 1aaa ≥1 a 4a ∑∑++ 4a 4a Do đó : Svacxo111 9 4 4 4 51. > b c ab ac +++ ≥ + + ++ + + + HDCho : a,b,c 0 . Chứng minh rằng : a b c abc ab ac bc b 52. > ++= ++≥ +++c 4 ( bc) ( ca ) ( a) 33 Cho a,b,c 0: a b c 1 . Chứng minh rằng : bc > a 3c ab b 3a b c 3b ac 53. 2 22+ 2 22 + 2 2 2 ≤ ++ ++ ++ ++  a 11 1 1 Cho a,b,c 0 . CMR : 54. > ++=3a 2b c 3b 2c++≥ a 3c 2a b 6a b c 2+ 22 ++ abc Cho a,b,c 0:ab bc ca+++333 3 . CMR : abc 55. > ++≥2a bc 2b3 ca 2c ab +++22 2 1a 1b 1c Cho a,b,c 0 . CMR : 1 1 13 56. >=1 ac 1 cb++≤ 1 ba +++2 Cho a,b,c0:abc27. CMR1 : 1 1 27 57. > ++≥1a 1b 1c +++++ 2 Cho a,b,c 0 . CMR : +++ 58. > b(a+ b) c(c + b) ≥+++ a(a c) (a b c) bc ca ab Cho a,b,c 0 . CMR : acb b c3 59. ∈( abc ++≥1 −−−bc b ba a c Cho a,b,c 1;2) . CMR : 36 60. >= 4b 1 c+ c a 4a≥ ba4c a ++ + + Cho a,b,c 0:abc 1 .CMR2 : 22 61. > 33+a b c + ab bc 3 ≥ca  ++ +++ xz yx zy 1 x y z Cho x,y,z 0 .111 CMR : 222++ 62. > ++=xyz1 y xyz z++≥ xyz x 2y z x bc + ++ a b c abc Cho a,b,c 0: . CMR :  33 3 33 33 3 3 63. > a =a bc + b + ac c + ba + 4 + +22 ++ 2  xyz Cho x,y,z 0 . Tìm Min của : P 4(x y) 4(y z) 4(z x)2 64. > ++=bc3 + + ≥++ yzx 111 65. Cho a,b,c>= 0:a . CMR : a++≤ b c ab bc ca1 ++ ++ ++ Cho a,b,c 0:abc 1 . CMR: x 66. > ab1 bc1+ ca1 +≤1 ++ + ++ + ++ + yz Cho . CMR : 3 33 x,y,z 0 ++ 67. ( Đề thi HSG Tỉnh Bìnhx Phước (x y)(xnăm 2008 z) y ). (x y)(y> z) z (x z)(y++≥ z) 2+ 2 22 ++ 22 2 a b c abc Cho a,b,c 0 . CMR : MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 –ab Mail : p.kimchung@gmail.com bc ca Tr. 14
15. 15 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 68. ( Đề thi HSG Tỉnh Thái Bình năm 2009 ) . x , y , z 2++= 22 22 c = + + ++Cho + các số thực thỏa mãn xyz3. Tìm giá trị lớn nhất 69. (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm 2006 ) . ++=. ủa biểu thức: F 3x 7y 5y 5z 7z 3x 2 22 ++≥. Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa: abc3Chứng minh: 222+++2 a b c3 70. b 1c 1a 1 ++≤3 + ++ 2a 2b 2c Cho a,b,c > 0 . Chứng mi nhbc rằng : 112 HD : x = = =⇒=ab bc ca +≤(xy ≤ 1) b 1x++22 1y 1+ xy a 71. Chứng Đminhặt các Bất;y đẳng ;z thức : xyz 1 . Áp dụng Bổ đề : 222ca a) ++++ +≥>( ) bc ca ab 9 b) 2log a++ logb log ≥ c 3 a,b,c( 2 >) +bc + + a ++ logc loga log c) a,b,c 1 bc ca ab abc 72. ≥ ++=3 =2 3 + 23+ 2x3 +−+−+−2 2 2 Giải : Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 73. x,y,z 0: xy yz zx P xy y zz (x 1) (y 1) (z 1) MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 15
16. 16 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ PHẦN IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ  x11 = 1.  =−+2  + ( ) Cho dãy số : . Chứng minh dãy số có giới hạn và tính giới hạn đó. n1 3 n −2x HD : x 7f log(x)= x − 11g (x2 +∈11) 5 f '(x) = thực với mỗi n nguyên dương c ho trước. Gọi+ nghiệm đó là . Tìm  Giải : T x= x+⇔ 1 x(x −=⇒1) 1x(x −>⇒ 1)0 x(x1)0 −>⇒ 2n 1 2n 2n x0 = − = +∞ nghiệm trên khoảng (0; . n x→+∞ n +) Nếu x >1 x), ta∈+ có(1 : ∞f '(x) (2n 1).x 1 0 . Hơn nữa f(1) 1;limf(x) , suy ra phương trình n có nghiệm ; duy nhất . + ++ f++ (x )− f (x ) =( x− x − 1) −( x − x − 1) = x (x−> 1) ∀x >⇒1 f (x ) > f (x) Xét hiệu : 2n 2 2n 1 2n 1 n1 n n n n n n n n n n n1 n n n f+ (x )> f (x ) == 0 f++ (x ) ⇒> x x + 0, V n1 n n n n1 n1 n n1 limx = ≥ 1 Hay : . (Do hàm f(x) tăng ) . n n ậy dãy {x } là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn . Giả sử : a(a)  = 1 Ta sẽ chứng minh a=1 . Thật vậy, giả sử a > 1 .  1 3. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 )  2 = + ++ 12 n  + =u + + n n u uu Cho dãy số  2010n . Đặt : . {u }: n1 n u S 2 3 n1 uu u uu n Lời giải : Tìm : limS 2 ++−− 1 1 + −=⇒=⇒= ⇒=− kkk1 kkkk1 + ++k + k1 k u uu u uu u u Ta có : u u kk1k1 k1 k1 2010kk1 (*) T 2010 u 2010= u − .u 2010.u u u u + n ừ hệ thức (*) cho k =2 1,2 ,n ta có : S 2010 1 n1 u + = + ≥ ⇒ 2010n n1 n u n n GiLại có : u uuDãy {u } tăng . = > 22 n  2 n ả sử= {u +} bị chặn⇒ trên . Suy= ra tồn tại+ giới hạn⇒=+ hữu hạn : limu ⇒= a(a 1) . Do đó, từ : ++  2010nn2010 2010 n1 n uun1 n a u u limu lim u a a a 0 1( Vô lý ) = +∞⇒lim = ⇒ = + n nn Suy ra dãy {u } tăng và không bị chặn trên, nên : limu n1 0 limS 2010 u MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 16
17. 17 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ  1 ∀=nn nn n Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng : 0, n 1,2, 22 22 Lại có22 : 13  13  xx1+++ xx1 − += x +++ +  −x +  ≥ 22  22  nn nn n n Mincopxki 2 2 1  1   33 ≥xx + +− ++ + =2      2 2   22 nn Mincopxki T x +  2 n  1 2 ( −1) n1 Cho dãy số : {x }: n 2x (n limU = + 3 x ,n 1 n n Lời giải : n nn Tính với U (n 1) .x Ta có : MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 17
18. 18 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ 1 x = 2 3 +) 23 ≥ 3 + ++ − − +=− += + ++1 − 2 +−n1 =− n  −23−n n +− n =− +) Với nta có : x 2x − (n 1)x −nx n(n1)x nx −−n x − 2 1 2 n2 x n1 −−3  n1  n1 n1 T x 2x33 (n 2)x (n 1)x (n 1) (n 1)1 x (n 1)x (n 1) x x = +−− ⇒ =3 =   n− −   +1  n n n1 (n1) n1 n Từ đó suy ra : n nx (n 1) x n1 (*) 2 22xnn n n x xx x −− −  ừ (*)= cho n −= 3,4 ta3 = có : = ⇒= 22 xxxn n n1 −+ + +1) 2 −−2 2   n1 n2 2 n n13 12 n 4 . 3 . . . x n1 n + limU=x lim n= 4 n1 3 n1 n 4 n (n 1) n (n 2 + n 4(n 1) Do đó : .  x00 > n (n 1)  9. ( Đề thi HSG Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 ) .  x (x2 + 3) x = ∀≥0  + 2 n  n3x n+1 Cho dãy {x }: n1 . Chứng minh dãy có giới hạn và tìm gi n , n Lời giải : ới hạn đó . x > ∀>0 x = 1 x = ∀>n 0 limx= 1 Bằng quy0 nạp ta chứng minh được 0, n x > 1 n n +) TH1 : Nếu 0 , quy nạp ta được 1, n . Hiển nhiên x(x2 +3) x22(x− 1) +) TH1 : Nếu f(x)= , +∞) f '(x) = > 0 ∀ ∈ +∞ ⇒ > f(1 )= 1 3x2 +1 (3x22+1) Xét hàm số : trên khoảng ta có : , x (1; ) f(x) xf21= (x )1> x (1;>∀ x (x2 + 3) 2xn (x2 −1) Do đó : , . quy nạp ta có : 1, n x+ x0⇔ 2 x > 1 kk3x +1 3xkk+ 1 k1 kk k Lại có : k k đúng với T x > >>xx> + > 1 2 ừ đó ta có : 1 2 n( n1+3) . Dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn . Gi = x>⇒= ⇒= 2 +1 n aa ả sử : limx a 0 a a 1x(x2 + 3) 0 ∀∈ ⇒ = ⇔x ⇔ 2 > ⇒= ⇒= 2 +1 n aa Klimxết luận a : limx 0 a= 1 a 1 3a n  0 = α  10. ( Bài toán tương tự ) . α> >  2 + = u =  + 2 n  nn+ Cho 0; a 0 là hai số tùy ý. Dãy {u }: n1 u (u 3a) . Chứng minh dãy có gi u n ,n 0,1, 3u a  0 > 1 ới hạn và tìm giới hạn đó.  11. ( Chọn đội tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) . 2  ++u +)  + = = n  nn−1 n Cho dãy số {u }: n1 u 1 2(u 1 . Tìm limu u n , n 0,1 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : up.kimchung@gmail.com Tr. 18
19. 19 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ  = 1  1 12. ( Đề thi chọn ĐT HSG QG KonTum năm 2010 ) .  1 = + ≥ 1)  + a n  Cho dãy số thực {a } xác định như sau : n1 n . aan (n lim= 2 a →+∞ n a Chứng minh rằng : n x 13. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Dươngn năm 2006 ) . x = + = + lim x 2 x→+∞ x1n− 1 n1 n Cho dãy số thực 2006; x 3 . Tìm 14. ( Đề thi HSG Tỉnh Phú Thọ năm 2008 ) . n  x = 1 n  1 Cho dãy số {x } thỏa1 mãn :  y = n limy ∑ x + 2 x + = x (x++ 1)(x 2)(x++ 3 ∀ > i1= i . Đặt n . Tìm n . n1nnnn 2 11 1 )n1, 0 22 HD : x + = x(x1)(x2)(x3)1++++=++=+( x3x1x3x1) +⇒ = − x++ 2x 1x + + 1 n1nnn n nn nn n n n1  1 = > xx x 15. (x Sau đó chứng minh dãy tăng và không bị chặn +trên . ++  2 →+∞ 2010x + = x + 20x09  xx−1211−− x+ n 1 n x a1 Cho dãy 2 . Tìm : n ): n1x n 2009xn lim 2 3 n1 HD : =+> ∀>x1⇒>=f(x) f(1) 1 2010 2010 Xét hàm số : f(x) , x 1. Tax2 có : f’(x) x > 0 x , (x −1) . Bằng quy nạp chứng minh x >∀ ++−x = −>= x1x>⇒ > x 2010n 2010 n nn 2010 n n1 n n n1 n Giđược rằng∃ : =1,( >⇒n .) Xét hiệu : =x 2 + ⇒= = 0, limx = +∞ n n ả sử limx a a 1 2010a a 2009a a 0;a 1 ( Không thỏa mãn ). Vậy 2 x xx+ − 11 L2010xại có : ++= x + 2009x⇒− 2010(x x)= x (x −⇒ 1) =2010 =2010 − x1++n−(x −− 1)(xn1 n 1) x − 1 x + − 1 n1 n n n1 n n n  x1= n1 n n1 n n1  1 xx23 23 x23 24 16. ( Bài tương tự ) . (x  x + ++ xx12 x n  + =+∈ + n  2n4 Cho dãy số : ): n1 n . Tìm giới hạn lim 2 3 n1 17. ( Đề thi HSG Tỉnh Bình Phước năm 2008x ) . x,n= N*22++ + − (x x = Đặt f(n) (n n= 1)2 1 với n là số nguyên dương . Xét dãy số (2 ) nnf(1).f(3).f(5) f(2n 1) nn ): −−. 2Tính+1 giới hạn của dãy số : un.x HD : f(2).f(4).f(6) f= n + )2 + 1 f(k 1) (k 1) Chú ý :  1 = 2008 f(k) (k 1 2 18. )  im 2 →+∞ ∑n a = > n n  i1= n Cho dãy số (a xác định bởi : in . Tính lna ana ,n2 1 − HD : + ++ =22 ⇒−( ) =−1 ⇒= (1) −−( ) +1 1 2 n n n1 n n n1n1 Ta có a a an a n1a n a a a n 2006 n 19. Trong (1)x cho n=1,2,3 .và==+≥ nhân nó ạl i để tìm : a x ) có gi + 1x+ n 1 n1 n Cho dãy số ( ) thỏa : x 1,x 1n (n 1). Chứng minh 1dãy số ( ới hạn và tìm giới hạn ấy  x1 =  2 20. ( Đề thi HSG QG năm 2009 ) . (x (y )  2  x−++ 4x −− x n x = ∀≥ n Cho dãy số ): n12 n1 n1 . Chứng minh rằng dãy với n 1 ,n2 y = có gi →∞ ∑n 2 i1= xi n Giải : ới hạn hữu hạn khi n và tìm giới hạn đó . MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 19
20. 20 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ xx2 + 4x + 2x+ 4 1 f(x)= = +>∀>x 0 2 4 x2 + 4x 2 Xét hàm số : , ta có : f '(x) 0, x21=>> 1 b x >∀ 22n Lại có : f(x ) 0,(dox−−− x++ 4x 0) ằng x quy nạp tax chứng −−−+− 4x minh xđược 0,4x n −. − −−= −= = > > ∀ ) 2 n12 n1 n1 n12 n1 n1 x4+ xn1 + x n n1 n1 − −− n Xét hiệu : x x x 0,(do x 0, n x >∀ Gi =n1im ( n1 > 0) n1 →+∞ n n n n Suy ra dãy2 + {x+ } tăng và 0, n . ả sử tồn tại giới hạn hữu hạn al xa . Suy ra : = ⇔==2 + ⇒ 2 aa4a Va a a4a a0(Vô lý ) limx. = +∞ →+∞ n n ậy dãy {x } tăng và không bị chặn trên nên : n 2Lại có : x++ 4x x 2 x (x− x ) x 111 − −− 2 −− x = ⇒(2x −=xx−) −+4x − ⇒ x (x −=⇒ x−− ) x 2 = 22⇒= − n12 n1 n1 n n−− n1 n1 xx− n n n1 n1 n1 n n n1 n1   1x+ n n1 n n1 n n1 n 1 1 11 1 11 1 x .x x .x x =n = + −  ++ −  = − ⇒ = ∑ 22 2 →+∞ i1= xxi1xx  x− x x1 x nn n Do đó : y 1 2 n1 n n lim y 6 .  x0 = 2009 21. (x ∈  3 x = −−−≥) ∀ n Xét dãy số thực ),n N xác định bởi : n n1 n1 . Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn 6x 6sin(x ,n1 x3 và tìmHD gi :ới hạn đó . − ≤≤x ∀≥x0 6 Sử dụng bất đẳng thức : xs in x, − =−>3 = >∀ 3 3 − 2 1 6(1 cos x) Xét hàm số : . Ta có : f(x)>f(x) 0 ∀>x 6x0 6sinxx = ,x 0 >f '(x) > ⇒ = >∀0, x>0 (6x 6sinx)− 2 1 1 n n1 −−3 ) Do đó : , 3 . Mà f(x ) 0(do x 0) x f(x−− ) 0, n − x− −= 6x −− −−) −=x x0 ) ) 6sin 6 gi xs inx 6x x 6sinx 0, i = ≥ 0) 3 n 3 3 n Do= đó dãy − {x } ⇔=−ảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn=+− hữu hạn . G ả sử : limx a(a , ta có pt : = 2 +− = − ≥ ∀≥ ⇒ ≥ =⇒ ≥ = a 6a 6sina a 6a 6sina . Xét hàm số : g(t)t6sint6t, ta có : = . Do đó pt có nghiệm duy g'(t) 3t 6cost 6,g''(t) 6t 6sint 0, t 0 g'(t) g(0) 0 g(t) g(0) 0 nhất a0. 2 x + 22. 1 x - 2 ∀ lim →+∞ n1 n n + 1 n n Cho dãy (x ) được xác định bởi: x = 5; x = n = 1, 2, . Tìm 12 n  1 x + x .x x 23. (x )  lim 2 →+∞ x x = 3 ≥∈ n1 n n Cho dãy : . Tìm n n+1nx n g b HD : x = 9x( +11x) + 3; n 1, n.N n 2 Chứng minh dãy tăng và khôn2 ị chặn : 8x++ 11x 3 x >∀ + −= − = >∀x0> 2 nn+ x n n1 nnnn n Dễ thấy 0, n , xét : x x 9x +11x + 3 x n n n 0,  = − 9x +11x + 3 2  Gi ∃ =( >) ⇒= +1 + ⇒ 3 ⇒=+lim x ∞ →+∞  a1= − →+∞ n  8 n ả sử nlim x a a 0 a 9a 1a 3 ( Không thỏa mãn ) n x 11 3 a lim+ = lim 9 ++=3 →+∞ →+∞ 2 xxn1 x Do đó : nn MATHVN.COM  Phạm Kim Chungnn – THPT Đ ẶNG THÚCn HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 20
21. 21 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ 24. n Cho dãy số xác định bởi1 công thức (u )  22≥∈ u = 2008 a) ≥n+1 n ∀≥n ∈ u = u - 4013u + 2007 ; n 1, n N. b) n Chứng minh: u n + 2007; n 1, n N . n 11 1 Dãy số (x ) được xác định như sau: ≥∈ n Tìmx = limx12? + + + n ; n 1, n N. u - 2006 u - 2006 u - 2006 n U1=  1 25. ( Đề thi HSG Tỉnh Trà Vinh-2009) U  Tìm limU 3 3 4  + = + + ∀≥ →+∞ n  3 n n Cho dãy số ( ) xác định bởi: n1 3 n  x1= U log U 1 , n 1  0 26. (x  2lx (x1− ) + ) có gi n x + = x n  2 n − n Cho dãy số ): n n2 1 . Chứng minh dãy (x ới hạn và tìm giới hạn đó . HD : n1 − ln2 1 27. + + +−= Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới . x nlim n1 x Cho phương trình : xx→+∞ x x 1 0 . Chứng tỏ rằng với n nguyên dương thì phương trình có nghiệm duy n n nhất dương và tìm . 1 = 1 28.  Tìm = −  u Cho dãy số n xác định bởi nn. . n {u } n 2n limu 1 29. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An nămu 2008Cn ) . .4 −+= 2008x ∈ Cho phương trình: xn0 (1). Chứng - xminh rằng: với mỗi n Đáp *án : n n n + 1 n N phương trình (1) có nghiệm duy nhất, gọi nghiệm đó là x . Xét dãy (x ), tìm lim (x ). 1 V ∈ ∈ x −+ * 2008 ới n N , xét f (x) = ; x R. f/ - - ∀x ∈ xn 2008x ln2008 (x) = 1 f(x) nghịch= biến trên > R (1).  2008  f(n)n 1 0  + = − f(x) =0 có nghiệm x (n; n + 1) (2). 1 ừ (1) và- (2) => đpcm. x 2008 n n n Ta có: x n = 1 > 0 => x > n. - n 2008 n => 0 lim(x n) = 0. - 1 - x - - (x - n n n + 1 n Khi đó lim (x ) = lim{[x (n + 1)] n) + 1} = 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN KHI BIẾT CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ .  = 2  1 30. ( )  − − −24 =  = u ≥ n  n1− +13 n Cho dãy số u: n 9u . Tìm limu ? Giải : u n1 ,n 2 5u MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 21
22. 22 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ  1  = 31. 1 2 lim ( )  →+∞  2 n n  =2 u− − ∀≥ u Cho dãy số u: . Tìm n n n1 − n u u 1, n2 π 1 HD = n1 0 ≤ ≤⇒lim = 0 x→+∞ 3 nn n uu : Tìm được : u1 cos và chú ý :  nn n  1 =  2 32. ( )  2 u →+∞ n  −−− n n Cho dãy số  = ∀≥ . Tìm n u: 2 n1 lim 2 .u n 2 21 u u ,n 2 π π ππ Tìm HD : = − = n = 2 →+∞ n →+∞ 33sinπ n n1 n 3.2 được u sin suy ra : nnlim 2 .u lim .6 n  = 3  1 3.2 33. ( )  − = u ∀≥2 →+∞ n  2 n n1 n 11++ n Cho dãy số u: n u − . Tìm lim 2 .u u ,n π n1 Tìm u HD : = − n được u tan n12  3.21 =  3 34. ( )  n i →+∞ ∑  u − i1= n = ∀ ≥ n Cho dãy số u: − n1 − + . Tìm lim u n u u n1 ,n 2  1 = 1  2(2n 1)u 1 35.  = 2 lim + 2 →+∞  u n1  ++=+∈ n u Cho dãy số : u . Tìm n n2 n n12 u HD : Tìm u u= 2u,n+ N22 * −− 4 ( )n ( )n n được u1 1. Suy ra : + 1 − 2 21+ + − n1 11+22 −−  4 ( )n1 ( )n1 1 + 2 lim + =  = = 21+ x→+∞ +1 n1 2  u 11+22 −− 1 11− 2 ( )nn( ) n n 4 −  u 11++221 − 2  ( )   1 = 3  36.  + lim ( ) − →+∞  =u ∀≥ n n n1 u  13− − n Cho dãy số u: n 3u . Tính n u π n1 ,n 2 HD : = u 3 n n u tan 37. ) =++++ lim 2 →+∞ 1n2 n n u .u u Cho dãy số (u xác định như sau : u 2 2 2 2 ( n dấu căn ) . Tínhπ n n π 1 =x = 2 HD : = ⇒= + 2n 2 1222 n sin π n u n u .u u 12 n Đặt : x x cos n1 và chú ý : nnx. x 2 + sin n1 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 22
23. 23 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ  1  b1 =  2 38. (b  lim b  →+∞  112 bb= + +≥ n n  +  n Cho dãy số ): 2 4  . Chứng minh dãy hội tụ và tìm n1 n n n 1 bπ (n 1) HD : = 22+ n Chứng minh : bn .cot n1 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 23
24. 24 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHẦN V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. 2. α Cho hình chóp tam giácđ ều có thểα tích là 1. Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp. 3. Cho tứ diện ABCD có : AB=a; CD=b ; góc giữa AB và CD bằng . Khoảng cách giữa AB và CD bằng d. Tính thể tí ch khối tứ diện ABCD theo a,b,d và . Trong các tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và thể tích bằng 36. Hãy xác định tứ diện sao 4. cho diện tích tam giác1 ABC1C 1nhỏ1 nhất. 1 = MA NB1 Cho hình hộp ABCD.A B D . Các1 1đi ểm M, N di động trên các cạnh AD và BB sao cho . Gọi I, J lần 5. G MD NB tlượt là trung điểm các cạnh AB, C D . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt đường thẳng IJ. trọi O là tâm của một hình tứ diện đều . Từ một điểm M bất kì trên một mặt của t ứ diện , ta hạ các đường vuông góc 6. ới ba mặt còn lại. Giả sử K, L và N là chân các đường vuông góc nói trên. Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua ọng tâm tam giác KLN. Cho hình chóp S.ABC . Từ điểm O nằm trong tam giác ABC ta vẽ các đường thẳng lần lượ t song song với các cạnh SA, SB, SCa) tương ứng cắt các mặt (SBC),++= (SCA), (SAB)1 tại các điểm D,E,F . OD DE DF b) Chứng minh rằng : 7. 1 1C1 1 SA SB SC 1 1 1 c 1 1CTìm1 1 v ị trí của điểm O trong tam giác1 ABC để thể tích của hình chóp ODEF đạt giá trị lớn nhất. 8. Cho hình hộp ABCD.A B D . Hãy xác định M thuộc đường chéo AC và điểm N thuộc đường chéo B D ủa mặt phẳng A B D sao cho MN song song với A D. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, SB của tứ diện đều S.ABC . Trên các AS và CN ta chọn các 9. G = 0 các m điểm P, Q sao cho PQ // BM . Tính độ dài PQ biết rằng cạnh của tứ diện bằng 1. ọi O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu ODC 90 thì ặt phẳng (OBD) và (OAD) 10. 15 vuông góc với nhau . m Trong hình chóp tam giácđ ều S.ABC (đỉnh S ) độ dài các cạnh đáy bằng 6 . Độ dài đường cao SH = . Qua B vẽ 2 ặt phẳng vuông góc với AS, mặt phẳng này cắt SH tại O . Các điểm P, Q tương ứng thuộc các cạnh AS và BC sao 5 11. cho PQ tiếp xúc với mặt cầu tâm1 O1C bán1 1 kính c bằng . Hãy tính độ dài bé nhất 1của đoạn PQ. 1 1 1 1 Cho hình lập phương ABCD.A B D ạnh bằng a . Đường thẳng (d) đi qua D và tâm O của mặt phẳng BCC B . Đoạn thẳng MN có trung điểm K thuộc đường thẳng (d) ; M thuộc mặt phẳng (BCC B ) ; N thuộc mặt đáy (ABCD) . 12. ⊥=== 02 Tính giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN . c Cho tứ diện ABPM thoả mãn các điều kiện : . Chứng minh rằng mặt 13. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 )AM BP; MAB ABP 90 ; 2AM.BP AB ầu đường kính AB tiếp xúc với PM. ===⊥⊥⊥ =00 = = 120 0 Cho điểm O cố địn h và một số thực a không đổi . Một hình chóp S.ABC thay đổi thỏa mãn : ; . Chứng a. ∆ OA OB OC a; SA OA;SB OB;SC OC ASB 90;; BSC 60 CSA minhb. r ằng : ABC vuông . Giải : Khoảng cách SO không thay đổi . a) 22 Đặt : SO = x . = = = x − 2= 2+− 2 = 22 2= 2+− 2 c 0= 22− ) Ta có : Các tam giác OAS, OBS, OCS vuông nên : SA SB SC a . 2= 2+− 2− 00= (x 22 ⇒ 2= 22+ Do đó : AB SASB 2( x a ) ; AC SA SC 2SA.SC.aos120 3(x ; AC AB BC hay tam giác ABC vuông tại B. b) GBC SB SC 2SB.SC.cos6 a )  ⊥ ọi M là trung điểm AC , do các tam giác SAC, OAC là các tam giác cân⇒⊥ nên : ⇒⊥  ⊥ SM AC AC (SOM) AC OS ⊥ OM AC ⊥ Tương tự, gọi N là trung điểm AB, ta CM được : AB SO cácSuy ra : SO (ABC) . Do đó mọi điểm nằm trên đường thẳng SO đều h đều A, B, C . Suy ra SO đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp M của tam giác ABC . MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030Trong – Mail các : tamp.kimchung@gmail.com giác vuông ABC và SBO ta Tr. có 24 hệ
25. 25 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN  1 11 = +  2 22  ⇒ 1 11  = + BM2 AB 22 BC thức :  1111 1 111 3 ⇒+=+ ⇒ +=+BM ⇒OB22= 2x BS ⇒= 22 22 22−− 22 2x 22 − 2 3a x a 14. ( Đề thi HSG TỉnhAB Vĩnh BC PhúcOB năm BS2010 ) 2(. xaa)a x a = 2 Cho hình chóp S.ABCD cóđáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a ; a) BC a b). CGạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=b . Gọi M là trung điểm SD, N là trung điểm AD . Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (BMN) Lời giải : ọi (P) là mặt phẳng đi qua B, M và cắt mặt phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông góc với BM . Tính theo a, b khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) .     = = =⇒=== = = =       1 Đặt =+=+AS x;AB y;AD z x.y=−=− y.z z.x 0;| x| b;| y | a;|z| a 2 2 Ta có : AC     AD  1 AB y z và2) BN2 AN AB z y = 22−= −=⇒⊥2 2 2 (a Do đó :  1  AC.B=Nz ⇒⊥y a0AC BN 2 Lại do : MN⊥ SA ⇒⊥ MN AC  Gi ⊥ Hay : AC (BMN) AC BM ⇒ ả sử (P) cắt (SAC) theo giao tuyến (d) G = ∩ BM Mà do (d) và AC đồng phẳng (d)/ /(AC) ọi O (AC) (BD) Trongt mặt phẳn g (SDB) : SO cắt BM tại I. Qua I kẻ đường thẳng (d) // (AC) cắt SA, SC lần lượt ại H, K . Mặt phẳng (MHBK) là mặt phẳng (P) cần dựng . Lại vì= : I là = trọng = tâm (1) tam giác SDC và HK//AC nên : SH SK SI 2 VVSC SA SO 3 Theo công= thức tính =tỷ số thể tích =ta có : = SMBK SMHB SM SB SK 1 SM SH SB 1 SDBA ;SDCB2 V 2b2 ⇒=VVV SD SB SA+ V 3 V= V SD = SC SB= 3 (2) 3SABCD 39 SKMHB SKMB SMHB SDBA a 1 11 = + = += (3) 222 KMHB MKH BKH       Ta lại có : 22S S 22S MI.HK 2 BI.HK BM.HK11 = = + = = −= + −=( +−) 33 3 22( ) 3.a Mà : HK1 AC a (a 13 2) ; BM AM b22+ AB AS AD AB x z y ⇒2 = 22+ += 2 2+= 2⇒ (4) 4( ) 42 2 6a (BM) x z y1b b22+ 6 a 2 BM 22+ T = = (5) 2 23 6 KMHB a 3a a 3(b 6a ) ừ (3), (4) suy ra : S.3V 2b2 T = = = 22 22 SKMHB b ++) 3(b ) 18a 2 2ab 15. ừ( (2),Đề thi(5) HSGsuy raTỉnh : d(S,(P)) Bình PhướcKMHB năm 2010 ) . S 9a. 3( 6a 6a = = = (0 ≤≤ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Trên AB lấy a) điểm M, trên CC’ lấy điểm N , trên D’A’ lấy điểm P sao cho : AM CN D'P x x a) . b) CMRx tam= giác MNP là tam giác đều, tìm x để diện tích tam giác này nhỏ nhất . 2 a Khi hãy tính thể tích khối tứ diện B’MNP và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 25
26. 26 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 16. ( Đề thi HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2008 ) . = = Cho tứ diện ABCD có các cạ nh AB=BC=CD=DA=a , 17. ( Đề thi HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2009 ) AC x; BD y . Giả sử a không đổi, xác định tứ diện có thể tích lớn nhất. 1 1 1 Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Điểm M thuộc miền trong tam giác ABC . Các đường thẳng qua M son g song với DA, DB, DC theo thứ tự cắt các mặt phẳng (DBC), (DCA), 111 (DAB) tươnga) ứng tại A ; B ; C . ++=1 MA MB MC b) Chứng minh rằng : DA DB DC 111 18. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . αβγ l Tính giá trị lớn nhất của khối tứ diện MA BC khi M thay đổi . Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc . Gọi ;; ần a) 2α+ 2 β+ 2 γ+ = 2 α 22 β γ lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng OBC, OAC, OAB với mặt phẳng (ABC ). Gi 0 b) Chứng minh rằng : tan tan tan 2++= tan .tan .tan 19. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . ả sử OC=OA+OB . Chứng minh rằng : OCA OCB ACB1 90 Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC và mặt phẳng (CAB) 2 Lvuôngời giải góc : với mặt phẳng=α=β (DAB). Chứng minh rằng: CotBCD.CotBDC = . Đặt : BCD ; BDC  = = β ∆=∆⇒Ta có :  BAC= BDC = α ABC DCB ABC = BCD = α ∆=∆⇒ BAD= BCD = β G CBD ADB HC= x ABD CDB ∆=∆ ọi H là hình chiếu của⇒⊥ C lên AB . Đặt .  ⊥ CBA DAB Do CH DH HC HC x (CBA) (BDA) α= ⇒ = = = αα Trong tamHC giác x vuông BHC x: sin BC AD α= = ⇒ = BC sin sin α tan BH . HC HC x BH BH tan β= ⇒ = = = ββ Trong tamHC giác x vuông AHC x: sin AC BD . β= = ⇒ = AC sin sin β tan AH x22 x xx AH AH222 tan= + − (π−α−β) = + + (α+β) (1) 22αβ αβ Trong tam giác BCD : CD BC BD 2BC.BD.cos 2 . cos sin sin sin sin H 2= 22+− c α Lại có : D AH x22AD 2AH x.AD. o xxs ⇒2 = +− α (2) 22βα βα HD 2 . .cos tan sin tan sin (1)+ (2) x22 x xx x22 x xx Mà 22tam= giác + CHD2 ⇒vuông nên+: + (α+β) =2 + + − α 2α 2β αβ 22βα βα CD CH HD 2 . cos x 2 . .cos1 ⇒+α++β+αβ−=+β++α−αβ⇒αβ=2 sin22 sin sin sin 2 tan sin tan sin 2 ĐÁP(1 ÁN cot CỦA SỞ ) (1 GD&ĐT cot : ) 2(cot .cot 1) 1 cot (1 cot ) 2cot .cot cot .cot MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 26
27. 27 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN = = = = = = = = = Đặt AD∆ BC a,AC∆ BD b,AB∆ CD∆ c,BAC∆ A,ABC B,ACB C. Ta có ABC nh=ọn và = ABC = = D CB = = CDA = = ( BAD.) Suy ra BCD ABC B;ABD BDC CAB A, 1 H ⊥ ( ) ⊥ ( ) ⊥( ) ⇒⊥⇒2 + 22 = ( ) ạ , vì nên CM AB CAB DAB CM DAB CM2= MD 22 +− CM DM CD , 2 .( ) Táp dụng định lí cosin cho tam2+ giác 22BMD +− ta được MD BM =2 BD 2BM.BD.cosMBD, 3 2 2 2 22 2 ừ (1),+ (2), − (3) ta được CM = BM ⇔+− BD 2BM.BD.cosA CD= BC BD 2BM.BD.cosA CD a b 2abcosA.cosB c 1 ⇔= ⇔ = ⇔ = 2 cosC cosA.cosB sinA.sinB 2cosA.cosB cotA.cot B. 20. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. 21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . g Cho tam giác ABC , M là một điểm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tươn ứng cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD) , (ABD) lần lượt tại A’, B’, C’ . Lời giảiTìm 1 M : sao cho MA'.MB'.MC'=đạt =giá trị lớn =nhất. = ⇒ V ++V = DABC= MABD =CBMA =DC =MBC A =A = BC Đặt VV; V V ;; V V V V VV và : V VV DA a; BDC = b; DC c; MA'= x;MB' = y;MC' z = =⇒++= AB d(C,(ADB)) MC' z x y xyz Ta có : ; tương tự : ;1 V d(M,(ADB))- CD c=++≥V3 aV ⇒ b ≤ a b c x y z xyz abc Áp dụng bất đẳng thức AM GM : 1 3 xyz . Dấu “=” xảy ra a b c abc⇔=== 27 xyz1 abc3 Do đó : MA'.MB'.MC' đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là trọng Tâm tam giác ABC . Lời giải 2 : = = = = = =     ′   Đ ặt : DA a; BD b; DC′ c; MA'= x;MB' = y;MC' z′ = = A'M x BM y ĐÁP ÁN SỞ GD& ĐT : Ta có : A M .DA DA ; B M .DB .DB ; DA a DB b MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 27
28. 28 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1 1 1 Trong mặt phẳng1) (ABC) : AM ∩ BC = {A }; BM ∩ AC = {B }, CM ∩ AB = {C1 }t Trong (DAA : Kẻ đường thẳng qua M song song với AD cắt DA ại A’ 1 ∆ 1 = = MBC MA' MA S ∆ Xét tam giác DAA có MA’ // AD nên 1 ABC DA AA S =1 = ∆ = = ∆ MAC 1 MAB MB' MB S ∆ MC' MC S ∆ Tương tự ta có 1 ABC , 1 ABC ++=DB BB( S ++=DC CC S ) MA' MB' MC' MBC MAC MAB ABC Suy ra 1 doS S S S DA DB DC ++≥3 MA' MB' MC' MA' MB' MC' Ta có 1 3 DA DB DC DA DB DC 27 Suy ra MA’.MB’.MC’ ≤ DA.DB.DC (không1 đổi) V l 27 ậy giá trị ớn nhất MA’.MB’.MC’ là DA.DB.DC, đạt được khi ===⇒===111 MA' MB' MC' 1 MA111 MB MC 1 DA DB DC 3 AA BB CC 3 22. ( Tạp chí THTTHay M : T10/278 là trọng tâm ; T10/288 tam giác ) ABC. (α) Cho tứ diện S.ABC với SA=a; SB =b ; SC = c . Một mặt phẳng thay đổi 111 Tìm giá tr đi qua trọng tâma) của tứ diện cắt các cạnh SA, SB, SC tại các điểm222++ SA, SB, SC tại các điểm D, E, F tương ứng . ị nhỏ nhất của các biểu thức : 111 b) V SD SE++ SF Lời giải : =ới đk = : a=b=c=1 = , tìm giá trị lớn nhất của : SD.SE SE.SF SF.SD         Đặt : SD x; SE y ; SF z =( ++) =∑  =∑     1 1 SA 1 a G là trọng tâm tứ diện nên : SG SA SB SC .SD .SD ++=44 4 SD 4 x abc 2 Do D,E,F, G đồng phẳng nên : . Từ đó ta có : 2 22 xyz ( ++)2 ++ 22 ≥++=16 ⇒ 2 ++≥ 22 222   ++ 111 abc 111 16 a b c (1) xyz xyz xyzabc  2++ 22 x =  abc  2++ 22 ⇔=y 4a 4b  abc Dấu bằng xảy ra  2++ 22  =  4c abc 23. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009z ) . Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 . Gọi M, N lần lượt là trung Lđiờiểm giải của : BD, AC . Trên đường thẳng AB lấy điểm P , trên DN lấy điểm Q sao cho PQ song song với CM . Tính độ dài PQ và thể tích kh  ối AMNP  .    Gi = = = = = +− AP ả sử : 1 và : AB= x;AC = =y;AD z m;AQ n.AC (1 n)AD 2 AB Ta có : x.y y.z z.x MATHVN.COM Lúc đó Ph: ạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 28
29. 29 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN       = =( +) = = +− = +− 22  1n   1 AC y;AM= x − z ;AP =( m.x;AQ −+ ) n.AN (1 n)zAD .y (1 n)z 2 Suy ra  :  =CM − =−+ AM AC +− x 2y z 2 n PQ AQ AP mx y (1 n)z −=m  2  k    = ⇒ =−⇒=− 23  n2 Do CM // PQ nên : PQ kCM k k  −=  2 k 1n    1    112 3 V =( −−) ⇒2 =( −−) =⇒= 3 9 33 ĐÁPậy : ÁNPQ CỦA SỞ 2y GD&ĐT x z : |PQ | 2y x z PQ ∈ ∈ Trong mặt phẳng (ACM) kẻ NI // CM (I AM) Trong mặt phẳng (BCD) kẻ BK // CM (K CD) Trong (ABD) DI cắt AB tại P Trong (AKD) DN cắt AK tại Q PQ là giao tuyến của (DNI) và (ABK) , do NI // CM, BK // CM nên PQ // CM G Vọi E là trung điểm PB, ME là đường trung bình tam giác BPD nên ME // PD hay ME // PI Mặt khác từ cách dựng ta có I là trung điểm AM nên P là trung điểm AE. ậy AP = PE= = EB AP 1 Suy ra 3 AB 3 1 3 MC là đường= trung = bình tam giác DBK nên BK = 2CM = 3 3 PQ AP 1 SuyV ra ⟹PQ = BK = =BK AB 3 = = AMNP AM AN AP 1 1 1 AMCB 1 . VV AM V AC AB 2 3 6 2 A MCB ABCD = (Do M là trung điểm BD) 2 12 ABCD ABCD là tứ diện12 đều có độ 2 dài cạnh bằng 11 nên V =2 (đvtt) = V 2 12 24 6 144 AMCB AMNP AMCB 24. ( ĐSuyề dự ra bị V khối =D –. 2008 ) . . Vậy V = = (đvtt) = = = Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho AQ tBC 4BM; AC 3AP; BD 2BN . Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q . Tính tỷ số và tỷ số thể tích hai phần của khối Lời giải : AD ứ diện ABCD  được phân  chia bởi (MNP). = = = Đặt : AB b;AC c; AD d Ta có : MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 29
30. 30 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN        31 = ⇒−= −⇒=+ ( ) ( ) 44  1 BC 4BM= AC+ AB 4 AM AB AM b c (1) 2( )          1 AN= b ⇒= d (2) 3 AC 3AP AP c (3)     = +− 31  11 Do  C,D,I  và M, N, I th  ẳng⇒ hàngm nên+− : = + +−  + = +− 44  22 AI mAC (1 m)AD  c(1m)dn b c (1n) b d AI nAMm = (1 n)AN     4  = −   n  = −   = −    =  ⇒1m −= ⇒ ⇒ =−+⇒⇒  1 2AI 3AD AC   ID 1 2 mn2= −  =  1n  2   13 2DI CD IC= 3 − AI=−+ 2AM 3AN   +=0  22 IN 2  42 NI 2MN 3n 1 n  AI cd IM 3 Gi =  −  3 ả sử : AQ kAD . Do P, Q, I thẳng hàng nên : = =    −  32  5      = +− ⇒ = +− + ⇒p 1p ⇒ ⇒ = + ⇒ = 3 22 − p 3 p 13 = = AQ pAP (1 p)AI kd c (1 p) c d 2  5 5AQ 3AP 2AI 3PQ 2QI 3(1 p) k k = QI 3 Suy ra : VV PI 5 = ==⇒= (4) IQND QPMCDN IQ IN ID 3 2 1 2 13 Ta lại Vcó : IPMC( .) . IPMC V= IP IM IC= 5 3 3 15 V= 15 = (5) ABCD ( ) BCD d A,(BCD) .S AC CB.CD.sinC 3 4 2 4 Mà : PMCI VVMIC 13. 3 13 13 Từ (4)V và (5)d suy P,(MIC) ra : .S ==⇒=PC MC.CI.sinC 2 3 3 3 VPQDNMC 15 4 20 VPQDNMC 7 25. ( Đề thi HSG Tỉnh Hà TĩnhABCD năm 2008) . ABMPQN α Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa mặt bên và đáy là . Vẽ đường caoa) SH của hình chóp, gọi E là điểm thuộc SH và có khoảng cách tới hai mặt phẳng (ABCD) và (SCD) bằng nhau . Mặtb) phẳng G (P) đi qua E, C, D cắt SA, SB tại M, N . 1 2 α 2 1 26. ( Đề thi chọnThi ĐTết HSG diện QG là hìnhtỉnh gì Qu ? ảng Bình năm 2010 ) . ọi thể tích các khối tứ diện S.NMCD và ABCDNM lần lượt là V , V . Tìm để 3V =5V . Cho tứ diện ABCD . Gọi trung điểm của AB, CD lần lượt 27. là( Đ Kề , thiL . ChHSGứng Thành minh Phốrằng Cầnbất kỳThơ mặt năm phẳng 2008 nào ) .đi qua KL đều chia khối tứ diện này thành 2 phần có thể tích bằng nhau. ()α Trong không gian cho hình chóp S.ABC , trọng tâm ABC là G . ()α Trung điểm của SG là I . Mặt phẳng đi qua I cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P ( Không trùng với S ) . Xác 28. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Dương năm 2008 ) . C C c định vị trí của mặt phẳng để thể tích khối chóp S.PMN là nhỏ nhất . 111 1 1 1C1 1 1 1 Cho hình lập phương ABD .A B D ạnh bằng 1 . Lấy các điểm M, 29. N, P, Q, R , S lần lượt thuộc các cạnh AD, AB, BB , B , C D , DD . Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường gấp khúc khép kín MNPQRSM . Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC. M là một đi ểm thay đổi trong+ miền hình bình hành ABCD .Tia MG cắt mặt bên của hình chóp S.ABCD tại điểm N . MG NG Đặt:a) Q = Tìm t b) TìmNG giá MG tr 30. ất cả các vị trí của điểm M sao cho Q đạt giá trị nhỏ nhất . c ị lớn nhất1 của Q. 1 1 2 2 2 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC . Lấy điểm S không thuộc (P) . Nối SA, SB, SC . I là một điểm bất kỳ trong 2 22 tam( 222 ∈∈∈giác , gọi AI ắt BC tại A , CI c)ắt AB tại C , BI ++≥cắt AC tại B . K6ẻ IA //SA, IB //SB, IC //SC SA1 2 SB 12 SC 12 A (SBC);B (SAC);C (SAB) . CMR : MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨAAA – ĐT BB : 0984.333.030 CC – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 30
31. 31 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 31. ( Đề thi HSG Tỉnh Đồng Tháp năm 2009 ) . 6 Cho hình chóp S. ABCD cóđáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp a) đường trònb) đường kính AD = 2a. SA vuông góc với mp’ ( ABCD ) và SA = a α . Tính khoảng cách từ A và B đến mp’ ( SCD ). Tính diện tích của thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp’( ) song song với mp’( SAD) và các h 4 a3 32. mp’(SAD) một khoảng bằng . αβγ Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c và OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác 2α+ 22 β+ γ= ABC theo a, b, c. Gọi ,, là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng ( ABC). Chứng minh rằng: 33. sin sin sin 1 . Cho hai na)ửa đường thẳng Ax, By chéo nhau và nhận AB làm đoạn vuông góc chung . Các điểm M, N lần lượt chuyển 35. động trên Ax, By sao cho AM+BN = MN . Gọi O là trung điểm AB, H là hình chiếu của O xuống MN . 36. Chứng minh rằng H nằm trên một đường tròn cố định. Khi M khác A, N khác B a)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a. Với M là một điểm thuộc cạnh AB , chọn điểm N thuôc cạnh D’C’ sao cho AM+D’N=a b). Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi. l . Tính thể tích của khối chóp B’.A’MCN theo a. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ B tới (A’MCN) đạt giá trị 37.ớn nhất. Tính khoảng cách l ớn nhất đó theo a. a) 1 2 3 4 Cho hinh tư di(ên OABC) ( ) ( ) ( 1 2 3 4 Goi M la môt điêm bâ t ky thuôc miên trong cua hinh tư diên OABC va x ; x ; x ; x ; lân lươt la khoang cach tư M đên bôn măt ABC , OBCxx, OACx va xOAB). Goi h ; h ; h ; h lân lươt la chiêu cao cua cac hinh chop tam giac O .ABC; A.OBC; B.OAC va C.OAB.12+++3 4 hhhh1234 Chưng minh tông la môt hăngV sô . b) 1 600 Goc 900 V Cac tia OA,m OB,m OC 0đôi m0ôt hơp vơi nhau m 2 ôt goc . OA = a. BAC băng . 45. Đăt OB+OC = . ( > , a > ). Chưng minh m > a. Tinh thê tich khôi tư diên OABC theo m va a Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh2 AB, CD lớn hơn 1 và độ dài các cạnh còn lại nhỏ hơn hoặc bằng 1. Gọi H là a)hình chiếu của A trên mặt≤ phẳng (BCD); F, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên đường thẳng CD. 4 CD b) Chứng minh: AF 1 - . P 46. ∆ 3 3 Tính độ dài các cạnh của tứ diện ABCD khi tích = AH.BK.CD đạt giá trị lớn nhất. 1 a) Cho hình chóp S.ABC cóđáy ABC vuông tại A , biết AB = a , AC = a ; Đường cao hình chóp là SA = a ; M là 3 điểm trên đoạn BC sao cho BM = BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BS 123 b) +=Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau. Hai điểm C, D thay đổi lần lượt ở trên Ax và By sao cho: .Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) chứa CD và song song với AB luôn luôn đi qua một điểm cố định I 47.AC ( Đề BD thi HSG AB Tỉnh Trà Vinh năm 2009 ) . trongG mặt phẳng (Q ) chứa Ax và (Q) song song By. ( α ) c Cho hình chóp tam giácđ ều S.ABC có cạnh đáy AB=a, cạnh bên SA=b. ọi M,N lần lượt là trung điểm AB và SC. Một mặt phẳng thay đổi quay xung quanh MN cắt các ạnh SA và BC theo thứ tự ở P và Q không trùng= với S. AP b 1) Chứng minh rằng BQ a AP 48. 2) Xác định tỉ số sao cho diện tích MPNQ nhỏ nhất c AS 49. Cho tứ diện ABCD có bán kính đường tròn ngoại tiếp các mặt đều bằng nhau . Chứng minh rằng các cạnh đối diện ủa tứ diện đều bằng nhau . l Cho tứ diện ABCD có các đường cao AA';BB';CC';DD' đồng quy tại một điểm thuộc miền111 trong của 1 tứ diện . Các đường thẳng AA';BB';CC';+++DD' ại cắt mặt cầu ≥ngoại tiếp tứ diện ABCD theo thứ tự là A ;B ;C ;D . AA'BB'CC'DD'81 11 1 AA BB CC DD 3 . MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 31
32. 32 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 50. 2 2 22 Cho tứ diện ABCD có AB vuông( gócC ++ với AC và) chân≤( đường ++ vuông Cgóc) hạ từ A đến mặt phẳng (BCD) là trực tâm tam 51. giác( Đề BCDthi HSG . Ch ứngTP Hàminh Nội rằng năm : 2004B ) CD . DB 6 AB AD A Cho tứ diện ABCD DA=a, DB=b, DC=c 2đôi một 22vuông góc với nhau.Một điểm a) αβ γ α+ β+ γ= M tuỳ ý thuộc khối tứ diện. b) l .Gọi các góc tạo bởi tia DM với DA, DB, DC là , ., .CMR : sin sin sin 2 ABCD = +++ .Gọi S ,S ,S ,S ần lượt là diện tích các mặt đối diện với đỉnh A, B, C, D của khối tư diện. Tìm giá trị 52. ( Đề thi HSG TP Hà Nội năm 2005 ) . ABC D G nhỏ nhất của biểu thức: Q MA.S MB.S MC.S MD.S Hình chóp S.ABC có các cạnh bên đôi một vuông góc và SA =a, SB=b, SC=c. a)ọi A’, B’, C’ là các điểm di động lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC nhưng luôn thỏa mãn SA.SA’ =SB.SB’=SC.SC’. Gọi b)H là trực tâm2 của2 tam2 giác A’B’C’ và I là giao điểm của SH với mặt phẳng (ABC). 53. ( ĐềCh thiứng HSG minh TP Hàmặt Nội phẳng năm (A’B’C’) 2006 )song . song với một mặt phẳng cố định và H thuộc một đường thẳng cố định. Tính IA +IB +IC theo a, b, c. a) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Các điển M, N lần lượt chuyển động b)trên các đoạn AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) luôn vuông góc với m ặt phẳng (ABC). Đặt AM=x, AN=y. 54. ( Đ. ềCmr: thi mHSGặt phẳngTP Hà (DMN) Nội năm luôn 200 chứa8 ) một. đường phẳng cố định và : x + y = 3xy. bi. Xác định vị trí của M, N để diện tích toàn phần tứ diện ADMN đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.Tính các giá trị đó. a) Cho hình chóp S.ABCD có SA làđư ờng cao và đáy là hình chữ nhật ABCD, ết SA = a,c AB = b, AD = c. Trong mặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G của tam giác SBD một đường thẳng cắt cạnh SB tại M và cắt b) ạnh SD tại N. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC của hình chóp S.ABCD tại K. Xác định vị trí của M trên cạnh SB sao cho thể tích của hình22 chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tính các giá trị đó theo a, b, c. Trong mặt phẳng (ABD),2b( trên++ ctia) At là 2b (phân + c )giác trong của góc BAD ta chọn một điểm E sao cho góc BED b 0 = 2 55. ằng 45 . Cmr: AE α = ϕ β Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình bình hành tâm O. Hai mặt bên SAB và SCD vuông góc tại A và C cùng hợp với β= α ϕ đáy góc . Biết ABC . Chứng minh SBC và SAD cùng hợp với đáy ABCD một góc thỏa mãn hệ thức : 56. cotcot .c os . α β Cho hình chóp S.ABC,đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; mặt (SAC) β hợp với mặt phẳng (SAB)= một góc và hợp với mặt phẳng (SBC) một góc . Chứng minh rằng : π− α+β α−β acos 57. SA cos[ ( )].cos( ) Cho hình chóp S.ABCD cóđáy ABCD là hình chữ nhật ; SA vuông góc với mặt phẳng MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 32
33. 33 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN PHẦN VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA Giáo viên ra đề : Phạm Kim Chung BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 ( Lần thứ 1 ) Thời gian làm bài : 180 phút ___ 2( x+1) Câu 1 i lx( +=) x2 +2x Câu 2 n1 . G ải phương trình : 2  2 m . Xác định tất cả các giá 2xtrị của=y +tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :  y  2  2 m 2y =x +  x Câu 3 > + a,b,c 0 =+− . Cho . Tìm ++giá trị nhỏ ++nhất của biểu ++ thức : 4a b 3c 8c 2 x P ∈ Câu 4 ( ) a b 2c 2a b c a b 3c x1 = + = ∀ ∈ 3 + n)x +1 n n1 y = x .+ Cho ++ dãy xs ố x ,nlimN* y , được xác định như sau : và x,n n N* . Đặt →+∞ 2(2n 1 n12 n n x . Tìm n . Câu 5 t . Cho hình chóp S.ABCD có SA là đư ờng cao và đáy là hình chữ nhật ABCD, biết SA = a, AB = b, cAD = c. Trong m ặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G của tam giác SBD một đường thẳng cắt cạnh SB giáại Mtr và cắt cạnh SD tại N. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC của hình chóp S.ABCD tại K. Xác định vị trí ủa M trên cạnh SB sao cho thể tích của hình chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tính các ị đó theo a, b, c. 1 Câu 6 C C ∈ = 111 1 1 3 1 F. ∈Cho hình lập phương= ABD .A B D có độ dài bằng 1 . Lấy điểm E AA sao cho AE . Lấy 4 1 điểm BC sao cho BF . Tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng FEO ( O là tâm của hình lập phươngCâu 7 ). f ( +∞→) (0 +∞) xf xf(y)= f f(y) ∀ ∈( +∞) . Tìm hàm s ố : 0; ( ; ) tho( ả mãn) : ___H , x,y; 0 ết___Thanh Chương ,ngày 03 tháng 12 năm 2010 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 33
34. 34 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 2( x+1) Câu 1 lx( +=) x2 + 2x (1) . Giải phương trình : n1 Lời giải x1>− ⇔+ +=22+=2x ⇔+x) +1 − x −2x 0 : Điều kiện : =++x 1)− x2 − >− Lúc đó : PT 2(x( 1)ln(x) 1) x 2(x 1)ln( = +− Xét hàm số : f(x)2x 1ln( 2x, x 1 2− 2x Taf ''(x) có : = f'(x) −= 2ln(x 2 1) 2x ; x1++ x1 2 ; =− − (x− 1)2 f '''(x) =0, −1 Lại có : f ''(0) 0, f '''(0) 0 nên hàm số đạt cực đại tại V = + +−x2 −2x −+∞ x0= Do đó : )( 0, x) ( ) x0= ậy hàm số f(x) 2 x 1 ln(x 1) nghịch biến trên khoảng . Nhận thấy là một nghiệm của 1; phương trình (1), suy ra phương trình có nghiệm duy nhất . Câu 2 . Xác định tất cả các giá trị của tham số 2m để hệ phương trình sau :  2 m 2x =y +  y  2  2 m 2y =x +  x có nghiệm duy nhất . Lời giải : x =// = 2x2 y =ym 22 + H Điều kiện : 0;y 0  2 22 2y x =xm + Tệ đã cho tương đương với : (*) >>  >> ừ hệ (*) nhận thấy vế trái của các phương trình không âm, nên nếu hệ có nghiệm (x,y) thì : x 0;y 0  2 22  yx0= > ⇔⇔−=y m x 0,y 0 2x32−=xm 2 (1) (x− y)(2xy++ xy0 ) =  Do đó : (*) 2x y f(x)= 2x32− ∀> Do đó bài toán trở thành tìm tham số m để phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất. x0= Xét hàm số : x, x 0 2  =−=⇔1 x =  3 Ta có : f'(x) 6x 2x;f'(x) 0 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 34
35. 35 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN m2 ≥ 0 m∈ Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất khi và chỉ khi : . Vậy với mọi R hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Câu 3 > . Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a,b,c 0 + =+− ++ ++ ++ 4a b 3c 8c P a b 2c 2a b c a b 3c Lời giải : =++ = +−  = ++⇒ = −− > x a b 2c a y z 2x =++ =− Đặt : y 2a b c b 5x y 3z(x, y ,z 0) z a b 3c c z x ( +− ) −− Lúc= đó : + − = +++−≥ 2 8+− 2 32 17 =12 2 − 17  4 y z 2x 2x y 8(z x) 4y 2x 4z 8x P  −+4 32 17 x y z xy = xz  2  2y = 2x at10− 7 2 ⇒=b tt( ∈ > )  = 2x  2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :  c= 2− 1t R,t 0 2z 2  ( )  2 x Câu 4 ( ) ∈ x1 = + = ∀ ∈ 3 + n)x +1 n n1 y = x. Cho+ dãy ++ sốx x ,n limN* yđư ợc xác định như sau : và x,n n N* . Đặt →+∞ 2(2n 1 n 12 n n x . Tìm n Lời giải :  3 x 111  1 = T + = ⇒ = ++ =  2 ++ n +  n1 n  + =v ++ ừ : x n n1 2(2n 1) n. Đặt : v n , ta có : 2(2n 1)x 1 x x ++u n1 n = v 2(2n 1) v + 2 n1 (2n 1)(2n 3) Dễ dàng tìm được11 công thức tổng 1 quát của 1 dãy : v 1 x + = =−=− + + + + ++ n1 Do đó : n1 11  1 1suy ra :  1 1 1 =+ ++v =+−+−++−=+ 2n12n32n12(n1)1    ++  ++  −++ + n12 n1 y x x x x 1 1 lim y=−= lim 12 1 2.2 1 1 2.2 1 2.3 1 2(n 1) 1 2n 1 2n 1 →+∞ →+∞ + n Do đó : nn 2n 1 Câu 5 bi . Cho hình chóp S.ABCD có c SA là đường cao và đáy là hình chữ nhật ABCD ết SA = a, AB = b, AD = c. Trong mặt phẳng (SBD) vẽ qua trọng tâm G của tam giác SBD một đường thẳng cắt cạnh SB tại M và cắt cạnh SD tại N. Mặt phẳng (AMN) cắt ạnh SC của hình chóp S.ABCD tại K. Xác định vị trí của M trên cạnh SB sao cho thể tích của hình chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Tính các giá trị đó theo a, b, c. Lời giải : MATHVN.COMDo G là tr ọng Ph ạmtâm Kim tam Chung giác SDB, – THPT suy Đ raẶNG G cũng THÚC là HỨA trọng – ĐT tâm : 0984.333.030 tam giác SAC. – Do Mail đó : p.kimchung@gmail.com AG cắt SC tại trung điểm K của Tr. SC. 35
36. 36 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 1 1 = = ≤≤ ≤≤ 2 2 SM SN Đặt : x, y x; 1VV y 1 SB SD = = = = SANK SAKM SA SN SK y SA SK SM x Theo công thức11 tính tỷ số thể tích ta có : SADC ;SACB Lại có = V = = V +=VVV SA SD SC 2 V SA SC SB 2 2 6 SADC SACD SABC SANK SAKM SANKM V V 2VV abc++và : . Nên ta có : += =⇒V = VSANK V SAKM V SANKM 2 12 xySANKM abc(xy) SADC SACB SABCD (*)         Ta l=ại có : = = = = SN SM 2 SN SD ySD; SM SB xSB; SG   SO  11   SD SB32 =+⇒= + (1) 3y 3x Vì O là trung điểm của BD nên : SO SD SB SG SN SM 11 y 1 Mà :+ M, N, =⇒= G1x thẳng hàng nên từ≤≤y (1)1 ta có : 3y 3x 3y −1 2 y + 2 3y− 1 V = = abc24 y 8 3y− 1 SANKM abc y Thay vào (*) suy ra : y12  f(y)= ≤ y≤ 1 3y− 1 2 Xét hàm số : 3y2 − 2y 2 = 2 =⇒= (3y− 1) 3 Ta có : f'(y) ;f'(y) 0 y . Bảng biến thiên :  1 42 1y = =⇔= =⇔ 2 93 2 y1= Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy : Minf(y) y ; Maxf(y) T ừ đó( ta có :) = ⇔ 9 SANKM abc Max V MN / /BD ( ) = ⇔ 8 SANKM abc Min V M là trung điểm SB, hoặc N là trung điểm SD. 1 Câu 6 C C ∈ = 111 1 1 3 . Cho hình lập phương1 có độ dài bằng 1 . Lấy điểm E AA sao cho AE . Lấy điểm F∈ = ABD .A B D 4 1 BC sao cho BF . Tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng FEO ( O là tâm của hình lập phương ). Lời giải : ≡ 1 Chọn hệ trục tọa độ Ixyz sao cho I A(0;0;0);A (0;0;1);D(1;0;0);B(0;1;0) MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 36
37. 37 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 111 11      1 ( ) 222 34   Lúc đó : O là trung điểm AC nên O ;; ; E  0;0;153 ;F ;1;0 ;B 0;1;1 =−− 3 24 8 M1ặt phẳng 1  (OEF) 5  đi qua 13  O và nhận 1  véctơ OE,OF ;; làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình : −  −  −−  − −  = − − += 3 2  24  2  8 2  x y−−593 z0 + 11hay : 8x 5y 9z 3 0 V ( 1 ) = = 8222+59+ 170 ậy : d B; (OEF) Câu 7 f ( +∞→) (0 +∞) xf( xf(y)) = f( f(y)) ∀ ∈( +∞) . Tìm hàm số : 0; ; thoả mãn : , x,y; 0 Lời giải : xf( xf(1)) = f( f(1)) = = (1) 1 1 TCho y = 1, suyx = ra : ⇒. Đặt f(1) a , ta có : xf(ax) f(a) ừ (1) cho , suy ra : 1f(1)=f(a) f(a)=1 C a =a (2) x Tũng từ (1) cho=⇒= ta : f(ax) y a ừ (2) cho ax y f(y) = > y a Thử lại ta thấy f(y) (a 0) là hàm số cần tìm . MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 37
38. 38 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A Giáo viên ra đề : Phạm Kim Chung (ĐS>) - Nguyễn Thị Thỏa (HH) BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 ( Lần thứ 2 ) Thời gian làm bài : 180 phút ___ Câu 1 3x+− 3 5 − 2x − x32 + 3x + 10x − 26 = 0 Câu 2. TGiimai tphương trinh:  22  33−g += 1 2m − 3 . ất cả các giá trị của tham số m đ ê hê phương trinh sau co nghiêm: 22 log33xy − lo y += − Câu 3 ++= log log x 1 2m 3  ab bc ca abc . Cho a, b, c dương thoa man 2++ 22. Ch≥3ưng 2 minh ++ 22 răng :  b  bca 111 Câu 4 = 432+ + ++ abc a c fx( ) ∀∈ . Cho(n) hàm s ố f(x) x ax bx cx d . Ta kí hiệu đạo hàm bậc n ( n nguyên dương ) của F(x) = f( x)+ f(1)+ (2) + (3) + (4) >∀∈ f(x) là . Chứng minh rằng nếu f(x) > 0, xRthì : Câu 5 ( ) (x) f f (x) f (x) 0, xR = α β ( ) ( ) . Cho tư diên ABCD co DA vuông goc vơi măt phăng ABC , tam giác DAB cân va đay ABC la +α2 tam giac vuôngα β= tai B co BAC . Goi la goc tao bơi hai măt phăng DAC va DBC . Chưng minh α 1 cos rCâuăng :6 tan .tan . cos += . Cho hinh lâp phương ABCD.A'B'C'D' canh a . Vơ( i M la m) ôt điêm thuôc canh AB, chon điêm N thuôc canh D'C' sao cho AM D'N a . Tinh thê tich khôi chop B'.A'MCN theo a va xac đinh vi tri  cua điêm Mđê khoang cach tư điêm B' đên măt phăng A'MCN đat gia tri lơn nhât.  f(1)= 1  Câu 7 →  += + + ∀ ∈   1 f(x) . Cho hàm số f:R R thỏa mãn hệ điều kiện : f(x y)= f(x)4 f(y)∀x = 2xy,/ 0 x,y R .  x x f, 1 3 2f(x) − 1f+ (x) = e x0→ ( + (x ) Tính giới hạn : L lim ln 1 f ) Hêt Thanh Chương, ngày 10 tháng 12 năm 2010 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 38
39. 39 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Câu 1 Gi 3x+− 3 52x − − x32 + 3x + 10x − 26 = 0 . ải phương trinh : 5 Lời giải : −1 ≤≤x 2 ⇔( 3xĐK+−: 3 3) −( 5 − 2x − 1) − −2 −− = 3( x−− 2) 2( x 2) PT⇔ + −(x − 2)(x(x2 −−2)(x x 12) x = 0 12) 0 3x++ 3 3 5 − 2x + 1 322 ⇔−((x 2)+ −x −−x 12) =0  3x+ 3+ 3 5 −+ 2x 1  2 5 =−−+ +∈x    2 Xét hàm số : f(x) x x 12, 11; 551  =−+ =⇔= =−=>  2 5 222  −1  2 Ta có : f'(x) 2x 1,f'(x) 0 x . Suy ra : Minf(x); Min f( 1);f ;f f 0 322 5 + − − − > ∀∈− 3x++ 3 3 5 − 2x + 1 2 VDo đó : (x x 12) 0, x 1; ậy phương trình có nghiệm duy nhất : x = 2 .  22  33−g += 1 2m − 3 Câu 2 Tim t  22 log33xy − lo y += − . ất cả các giá trị của tham số m đê hê phương trinh sau co nghiêm : log log x 1 2m 3 Lời giải : >  2 2  =ĐK : 3 +  −= − ) x,y 0 ≥ ≥  ( )  2  = 2 +  −= − u log3 x 1 u v 2m 2 (1 Đặt : u 1,v 1 . Lúc đó hệ PT trở thành : . vy- log 1( −)( ++) =⇒= v ∀≥u 2m) 2 (2) 2 −=2 − ≥ 1 Lấy (1) (2), ta có : uvuv1 0 uv( Do u+v+1 > 0 u,v 1 = 2 −+ = − > 0 ∀≥1 = +∞ Lúc đó bài toán trở thành tìm m để phương trình : u u m2có→ nghi+∞ ệm u . Xét hàm số : f(u) u u2≥ 1, ta có : f '(u) 2u1= f( ,≥uf(1)m. =⇒≥Và21 ulim f(u) . Do đó, PT trên có nghiệm u khi và chỉ khi 2m u)  Câu 3 ++= 2++ 22≥ 3 2 ++ 22  b  bca 111 . Cho a, b, c dương thoa man ab bc ca abc . Chưng minh răng : abc a c 111 111 Lời giải : +=+ ⇒=+ + 1 = = = ⇒++= ( > 0) b Ta có : ab bc ca2 abc 22 . Đặt : x, y, z x y z 1 x,y,z . Bất đẳng thức c + + abc≥+(x2 22+ ) ac xyz ần chứng minh trở thành : 4 43 4 yzx 2++. 2 22 - VTyzx=++≥ 2y 2 2 2++ 22 x yz(y z) Áp dụng BĐT Svac xơ ta2 có : 22 2 22 . x ++ x yzx(xz+ y + x( y++y yz zx) ≥⇔33≥ ++= ) x2++ 22 x2++ 22 yz z) x z Ta⇔+ sxẽ3 chứng 2 ++minh 3: 2 + 23 +≥2( x 2 y ++ y 2 2 ( do xyz1 y yz zx y yz zx 3 2 42 2 32 4232 42 xy y yz zx- z x +≥z z x) (*) = +≥ +≥x V VT ≥(x2 ++ 22 Theo bất đẳng thức AM GM ta có : xy 2xy 2xy;y yz2yz;z z 2zx . Cộng các BĐT trên MATHVN.COM ta ch ứng  minh Phạm được Kim (*). Chung – THPTậy : Đ ẶNG3 THÚC y HỨA z) – ĐT. đpcm : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 39
40. 40 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Câu 4 = 432+ + ++ fx( ) (n) ∀∈ F(x) = f( x)+ f(1)+ (2) + (3) + (4) >∀∈ . Cho hàm số f(x) x ax bx cx d . Ta kí hiệu đạo hàm bậc n ( n nguyên dương ) của f(x) là . Chứng minh rằng nếu f(x) > 0, xRthì : (x) f f (x) f (x) 0, xR Lời giải : lim F(x) = +∞ x→±∞ Ta có : F(x) là hàm bậc 4 và : , hơn n ữa phương trình bậc 3 : F’(x)=0 luôn có nghiệm. Do đó Gi xx= hàm số y = F(x) luôn có GTNN là giá0 trị cực tiểu của hàm số . F'(x )0= 0= F'(x )=+− f1234 (x )+ f (x ) f (x ) += f (x ) F(x )f(x ) ả sử hàm số0 đạt cực tiểu tại 0. 0 0 0 0 00 ⇒ F(x )= f(x )> 0 ∀∈ ) Lúc đó00: suy ra : T F(x) ≥F(x ) > 0 ∀∈ x ( Do0 f(x) > 0 , xR ừ đó ta có : , R Câu 5 +α2 . Cho= αtư diênβ ABCD co DA vuông goc vơi mă(t phă)ng (ABC),tam( ) giác DAB cân va đay αABC la β= tam giac vuông tai α 1 cos B co BAC . Goi la goc tao bơi hai măt phăng DAC va DBC . Chưng minh răng : tan .tan . cos Lời giải : Đặt DA⊥ = x. Gọi K là hình chiếu của⊥ A lên DB, từ K kẻ  KH⇒⊥ vuông góc với ⇒ DC tại H . Ta có :  ⊥ C  ⊥ DA BC BC DB  ⊥BC (DAB) . Suy ra : ⊥ ABB⇒  ⇒⊥BC ⇒ AK ⊥  ⊥ AK KH AK (DBC) DC (AHK) AH DC DC AK = β ⇒ β= (1) AK Do đó : t α= ⇒ =AHK α=tan α c α= ⇒ = HK C c α BC AB x Trong tam giác ABC : an111BC AB.tanx2 x.tan ; os AC ; =AB + ⇒= = A22+=oxs 2 22 2 Trong tam giác ADB : AK (2) : BD AD AB 2 22α AK AD AB 2 α 2 2 2 22 Trong2= tam 2giác+ ADC 22 =+⇒=: 2 2⇒= − =−⇒2 = + α + α + 2α 1 1 1 1 cos x x xcos AH DH AD( AH ααx) DH AH AD AC x x ⇒1 =⇒= cos = 1 cos (3) 1 cos +α2 2 DH DB BC.DH xtan .xcos Xét hai tam giác vuông: DHK ~ DBC HK 22 +α +α T ⇒ β= = HK BC BD⇒ α1c β=os . x 2 ααc α AKx2 2x.1cos 1cos ừ (1), (2), (3) ta có : tan . tan .tan (đpcm) Câu 6 HK 2 x .tan . os cos += . Cho hinh lâ(p phương) ABCD.A'B'C'D' canh a . Vơi M la môt điêm thuôc canh AB chon điêm N thuôc canh D'C' sao cho AM D'N a . Tinh thê tich khôi chop B'.A'MCN theo a va xac đinh vi tri cua điêm M đê khoang cach tư điêm B' đên măt phăng A'MCN đat gia tri lơn nhât . Lời giải : ≡− Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với : =( ≤ ≤ ) ⇒=− A' O(0;0;0);   B'(a,0,0); D'(0;a;0);A(0;0; a) Đặt AM′′ x 0=+⇒xa D'N a − x . Lúc đó ta có :     ′′′′ AM=++⇒ AA AM M(x;0; a); −    ′ ′′ AC=+⇒− AB AD AA C(a;a; a) A N A D D N N(a x;a;0) Ta lại có : MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 40
41. 41 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 11      V=+= VV ′ ′′ +′′′ ′′ ′′ ′′ 66  ABMCN ABMC ABCN    AM.AB';AC3 AN.AB';A C ′′C = = 22 =−+33 = ( ) ′′ −− 6 63 0 0 0 aa 0 A B MCN 1 1a Mà : A B';A  ; ; 0;a ;a . Do đó : V aa (đv.tt) ′ = aaa aa a   = ′′= 4+ 2−+ 2 += 22 2 − 2 Lại′ có : A M NC , suy ra tứ giác A’MCN là hình bình( hành . Do)đó : A MCN 22 S AM,AN3V ′ a a (a x) x a a 2 a ax x . Nên : ( ) = = = ≤ 22 22 B′ .A ,MCN −+ 3 aa2 a6 d B',(A'MCN) 2+ −+ . A MCN 44 S 2(a ax x ) 3a a ax x x = 2 a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : hay M là trung điểm của AB .   f(1)= 1  Câu 7 →  += + + ∀ ∈  1 f(x) . Cho hàm số thỏa mãn hệ điều kiện :  . f:R R f(x y)= f(x)4 f(y)∀x = 2xy,/ 0 x,y R  x x f, 1 3 2f(x) − 1f+ (x) = e x0→ ( + (x ) Tính giới hạn : L lim ln 1 f ) Lời giải : T f(x+ y)=++ f(x) f(y) 2xy ∀ ∈ x=⇒=+⇒= 0 f(y) f(0) f(y) f(0) 0 ừ : , x,y R (1) . 2 Cho x=⇒=+ y f(2x) 2f(x) 2x (2) V t ∈=/ Cho 1 1  11  Tới R, t 0 : 2 (b) x=⇒=+ t f( 2t) 2f( t) 2t x=⇒= f 2f   +2 2t t  2t 2t ừ (2) 1cho f(x) (a)1 ; Cho f(t) 1  f(2t) f(t) f(2t) 1 T = ∀=x0 =⇒= =⇒= (c)  4 /  44  4= 42 + x x t t 2t  (2t ) t 8t 2t ừ f,. Cho xtf ;x2tf thay vào (b) ta có : f(t) 2f(t)+ 2t2 1 T = + ⇒8f(t) = 2f(t) ++⇒ 2t22 4t f(t) = t 2 f(x)= x2 t4 8t 42 2t ừ (a), (c) ta có :f(x) = x2 . Hay . 1 Thử lại ta thấy − 3 1th+ỏax2 mãn yêu cầu bài toán . 2x2 = e = + x2 ) x → 0 t0→ 1x+=2t e x0→ ( + 2 ) Lúc đó : L lim . Đặt t ln(1 , khi thì và : . Nên : ln 1 x 1 3 t t − e t 2(et −1) ee22− e − 3 = e = t→→0ttt0 t t L lim limt . t 17 f(t)= ee2− 2e − 3 = =−−⇒t2− 2e 3 =− 33 t Xét hàm số : , ta có : f(0) 0; f '(t) 2e .et e f '(0) . f(t)−− f(0) e22− e e3 7 = = ⇒=− t0→ t0− t0→ t 3 Theo định nghĩa đạo hàm : f '(0) lim lim L MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 41
42. 42 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA Giáo viên ra đề : Phạm Kim Chung BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 ( Lần thứ 3 ) Thời gian làm bài : 180 phút ___ 2  ππ Câu 1 +=+ − 22 Câu 2 . Tìm m để phương trình : 2 2sin 2x m(1 cos x) có nghiệm trên đoạn ; (4x2 + 1)x +− (y 3) 5 − 2y = 0 . Xác định tất cả các giá trị của tham số m đ ể hệ phương trình sau có nghiệm : 22 4x++ y 2 3 − 4x = m Câu 3 x2 22 = + ++ . Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị3 nhỏx 3nhất y 3của 3( : x 222++ y y z z x 13xyz P z y yz zx )  1  x1 =  2 1 (x (y ) y = Câu 4  2 ∑n 2  x−++ 4x −− x i1= xi n x = ∀≥ n n . Cho dãy số ): n12 n1 n1 . Chứng minh rằng dãy với n có gi →∞ ,n2 Câu 5 − + ++− > ới hạn hữu hạn khi n−−và tìm giới hạn đó . 0 1 2 n1 1 2 n1 −−−−−xx− − = có m . Cho n s ốn không n1âm a ,a , n2 a , ,a và có tổng a a a0. Chứng minh rằng n1 n2 1 0 phươngCâu 6 . trình : x a a axa 0 ột nghiệm dương duy nhất . + + ++−−+ + =+ C Ch ứng minh rằng0 với 1 mọi 2số tự nhiênn1 n ta luôn cón đẳng thứcn1 : k nn n n n n 2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C (n 4)2 ( Trong đó là tổ hợp chập kCâu của 7 n ) . 111C l . Cho tứ diện S.ABC , M là một điểm bất kì nằm trong tứ diện . Một mặt phẳng (P) tùy ý qua M VVABCV và cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A ;B ; .V Đ=++ặt V,V ,V ,V Cần lượt là thể tích các tứ diện A111B SABC,SMBC,SMCA,SMAB . Chứng minh rằng : . SA SB SC Câu 8 = góc α β ABCD.A'B'C'D' AC' a . Cho hình h ộp chữαβ nhật , đường chéo ( a khôngαβ đ ổi ) hợp với đáy ABCD một và hợp với mặt bên BCC’B’ một góc . Tính thể tích V của hình hộp ABCD.A'B'C'D' theo a, , . Khi tứ giác A'D'CB là hình vuông, hãy xác định , để V đạt giá trị lớn nhất. ___H ết___Thanh Chương ,ngày 16 tháng 12 năm 2010 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 42
43. 43 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 2  ππ Câu 1 +=+ − 22 . Tìm m để phương trình : 2 2sin2x m(1 cosx) có nghiệm trên đoạn ; Lời giải : π π x∈− + x =/ 0  22 Rõ ràng với ; thì 1 cos . Do+ đó x x ππ = m ∈−⇒ ∈− 2 =  + 2 244 2 2sin2x phương trình đã cho tương 2tđương 1− với t 2 : . Đặt t tan , ;t1;1 + (1 cosx) + 22 +22)) + −2 4 − 3 + 2 ++ 1t1t++ 22= = = + 2 4.1t− .2 42 2 2sin2x 1 + 2(1t 8t(1t t 4t 2t 4t 1 Ta có : 1t+ 2 . Suy ra phương trình đã cho trở (1 cosx)  432 t− 4t + 2t + 4t += 1 2m t ∈− 432 thành : f(t)=−++ t 4t 2t 4t(*)+ .1 Do t ∈− đó bài1 1 toán trở thành tìm m để phương trình (*) có nghiệm 1;1 .  Xét hàm s32ố : 2, ; . Ta có : t1= − 2 f '(t)= 4t − 12t + 4t += 4 4(t − 1)(t − 2t − 1) ⇒ f '(t) =⇒ 0  ( V t ∈−  t1= ới 1;1 ) . Từ đó ta có bảng biến thiên : t ∈− 00≤ ≤y ≤≤ m2 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (*) có nghiệm ( 1;1) khi và chỉ khi : 2m 4 ha . (4x2 + 1)x +− (y 3)5 − 2y = 0 Câu 2  22 4x++ y 2 3 − 4x = m . Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm :  3 x ≤  4 Hướng dẫn giải :  5 y ≤ ĐK :  2 2 T [(2x)12 +=−+ −= ⇒ −2y ) ( )  ừ pt (1) cho f(t)ta : = (t122+⇒1].2x) = 52y3t +>⇒0 52y f(2x) f(5  x0≥ Xét Hàm số : 1).t f '(t  x ≥ 0 Hàm số f(t) đồng biến trên R, do đó từ : f(2x)= f 5− 2y ⇒ 2x=−⇒ 5 2y ⇒ 2 ( )  2  5− 4x 4x= 5 − 2y y =  2 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 43
44. 44 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 2 2 25− 4x 4225 3 + + −=⇔ −+ + −= 0 ≤≤x 244 Thế vào pt (2) ta có : 4x 2 3 4x m 4x 3 6x 2 3 4x m (*) , với . Bài ∈ 4 toán trở thành, tìm m để phương trình (*) có nghiệm x 0; . 4225  3 f(x)=− 4x 6x+ +− 234x ∈ 4 4 Xét hàm số : , x 0; . Ta có : 32443 = − −=−3) − −− 0 1 2 n1 1 2 n1 −−−−−xx− − = có m n. Cho n1 n số không n2 âm a ,a , a , ,a và có tổng a a a0. Chứng mi nh rằng phương trình : n1 n2 1 0 x a a axa 0 ột nghiệm dương duy nhất . −− −− Lời giải : −−−−=⇔+++=−− −+−− n n1 n2 n1 n2 n n1 n2 1 0 n1 n2 1 0 −−Khi x>0, ta có : PT0 : −− 0 ⇔ + ++− + =x ax a x= + a xa ++ 0 − ax + xa x a+ x∞)a n1x x n2 xx1 n1x x n2 xx1 aa aa aa aa 2 n1 n 1 . Xét hàm số : f(x) 2 n1 n , trên khoảng (0; , ta có : −− 0 =− − − −+ − xxn1 n2 x a 2a na 0 1 2 n1 Tf '(x) 2 3 n1 0, x 0 ( Do a ,a , a , ,a không đồng thời bằng 0 ) ừ đó ta có bảng biến thiên : Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình : f(x)=m luôn có 1 nghiệm dương duy nhất khi m >0 . Do đó phương trình f(x) = 1 có một nghiệm dương duy nhất. MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 44
45. 45 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Câu 6 . + + ++−−+ + =+ C Chứng minh rằng với0 mọi số 1 tự nhiên 2 n ta luônn1 có đẳng thứcn : n1 k Lời giải : nn n n n n 2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C (n 4)2 ( Trong đó là tổ hợp chập k của n ) + = + +xx ++ ⇒ + = + +x4 ++C x + (1) n 0 1 22 nn 2 n 02 13 2 nn2 −+ Khai triển : nn n+ n + + =n + n ++ n + n (2) (1x) C CxC Cn x(1 2x) n1 C x 0 C x 2 1 C n1 n −− LTấy đạo hàm 2 vế của (1) ta được : + = + + ++nn+ + nm) 2x(1 x)n1 nx(1 0 x) 1 22xC 3xCn1 (n 2)xn C nn n n n ừ đẳng thức (2), cho x = 1 , ta có : (n 4)2 2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C (đpc Câu 7 . Cho tứ diện S.ABC M là một điểm bất kì nằm trong tứ diện . Một mặt phẳng (P) tùy ý qua M và cắt các cạnh SA, 111C l ABC rSB, SC VVlần= lượt tại ++ A ;B V; . Đặt V V,V ,V ,V ần lượt là thể tích các tứ diện SABC,SMBC,SMCA,SMAB . Chứng minh 111 SAA SBBC SC ằng : . SA SB SC Lời giải : G 1 = ∩ V VV = =ọi11 S = SM11 (ABC) . ⇒ Theo11 công = thức11 tính ⇒=tỷ số thể tích11 ta có 11 SABM SABB M SA M 11 SA SB SM SM SA SB SM SA SB SABC M SA SB SABS 1 1 ; SABS 1 SABM . V V(1) V SA SB SS SS V SA SB SS V SA SB SA SB = 11 = 1 1 11 11 SB C M SB SC A SA C M SA SC B Tương tự ta có : VV . .V(2);V . .V(3) 111 =SB111 SC (4) SA SC SA B C SA SB SC L ại có : T SABC V SA SB SC V=++= VVV 11 11 11(5) 111 11ừ (1), (2),11 (3) ta11 có : C SA B C SA B M SB C M SA C M SA SB SA SC B SB SC A T . .V + . .V + . .V SA SB SA SC SB SC ừ (4), (5) suy ra : 111 11 11 11 = C ⇒=C + + 111 SA SB SC SA SB SA SC B SB SC A SC SAAB SB . . .V . .V + . .V + . .V V .V .V .V .đpcm SA SB SC SA SB SA SC SB SC SC SA SB Câu 8 = α β αβ . Cho hình hộp chữ nhật đường chéo ( a không đổi ) hợp với đáy ABCD một góc và αβ ABCD.A'B'C'D' AC' a hợp với mặt bên BCC’B’ một góc . Tính thể tích V của hình hộp ABCD.A'B'C'D' theo a, , . Khi tứ gi ác A'D'CB là hình vuông hãy xác định , để V đạt giá trị lớn nhất. Lời giải : ′′ Ta có : Hình chiếu của AC’ lên mp(ABCD)=α=β là AC , lên mp(BCC’B’) là BC’ do đó : . = α= α C= AC ;ACβ= B β Xét các tam giác vuông : CAC’ và BAC’ ta có : CC' AC'sin a.sin ; AB AC'.sin asin ; = β= β⇒ = 22− = 2 β− 2α BC' AC'.cosa.c os BC C'B C'Ca c os sin Do vậy : 3 22 ′′′′= =α β β− α ABCD.A B C D T V C'C.CB.BA a sin.sin cos sin (đvtt) ứ giác A’D’CB là hình vuông khi : A’B=A’D MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 45
46. 46 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN ⇔22 +=⇒2α+ 2 β = 22 β− α⇔ 2 α= 22β− β(1) T AB A'A A'D' sin sin cos sin 2sin cos sin −−2ββ23 ừ đó ta có =: 3α β2 β− 23 α = 2β−= 2 β − 2β − 2β ′′′′ 2 ( ) 22 ABCD.A B C D 1 2sin 1 2sin a V a sin.sin . c os sin a . .22 sin . 1 sin sin .(1 2sin ) (*) 22 β− β 112 2 - β−β= ≤ β+−β= 2 22 22 2sin .(1 2sin ) Áp dụng BĐT AM GM ta có1 : sin .(1 2sin ) 2sin (1 2sin ) . ⇔ β= ⇒β=300 2 Dấu “=” xảy ra 3 sin . V V = ⇔ α=β=300 4 2 Max a ậy : . MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 46