Tuyển tập 9 đề ôn tập giữa học kỳ II môn Toán Lớp 11 - Năm học 2020-2021

174 trang thungat 6940

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập 9 đề ôn tập giữa học kỳ II môn Toán Lớp 11 - Năm học 2020-2021", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_9_de_on_tap_giua_hoc_ky_ii_mon_toan_lop_11_nam_hoc.pdf

Nội dung text: Tuyển tập 9 đề ôn tập giữa học kỳ II môn Toán Lớp 11 - Năm học 2020-2021

ĐẶNG VIỆT ĐƠNG TUYỂN TẬP 9 ĐỀ ƠN TẬP GIỮA HỌC KỲ II MƠN TỐN – LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 ĐỀ SỐ 1 ĐỀ ƠN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Mơn: Tốn 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận) PHẦN I. TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn bằng 0 ? n2 1 n 1 1 A. . B. n 2 n2 . C. . D. . 2n 3 2n 1 2n 1 Câu 2. [NB] Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn khác 0 ? n 2n 1 1 3 2n 1 A. . B. . C. . D. 2 . n 5 n 1 4 n 1 2n 1 Câu 3. [NB] lim bằng n3 5 A. 0 . B. . C. . D. 2 . 1 5n Câu 4. [NB] lim bằng 4n 5 n 1 1 A. . B. . C. 0 . D. . 5 Câu 5. [NB] Cho dãy số un thỏa mãn lim un 3 0 . Tìm limun 0 A. limun 2 . B. limun 3. C. limun 0 . D. limun 3. Câu 6. [NB] Dãy số nào cĩ giới hạn khác 0 n 1 1 1 1 A. un . B. un 2 . C. un 1 . D. un . n n n 2 n 1 Câu 7. [NB] Cho cấp số nhân lùi vơ hạn cĩ số hạng tổng quát un . Tính tổng của cấp số nhân đĩ 2 1 1 A. 1. B. . C. 2 . D. . 2 4 Câu 8. [NB] Cĩ bao nhiêugiá trị của a để giới hạn limx2 3 x 2 0 x a A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. Câu 9. [ NB] Tính I lim x2 x 3 . x 0 A. 0 . B. 3 . C. 6 . D. 5 . Câu 10. [ NB] limx3 x 3 bằng x A. 3 . B. . C. . D. 3 . 6x 2 Câu 11. [ NB] Tính N lim . x x 1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 1. 3x 2 Câu 12. [ NB] lim bằng x 3 x 3 A. . B. . C. 2 . D. 3 . Câu 13. [NB] Nếu limf x 5 thì lim 3x 4 f x bằng bao nhiêu? x 0 x 0 A. 17 . B. 1. C. 1. D. 20 . ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Câu 14. [NB] Cho các hàm số y cos x I , y sin x II và y tan x III . Hàm số nào liên tục trên ? A. I , II . B. I . C. I ,, II III . D. III . x2 1 khi x 1 Câu 15. [NB] Tìm m để hàm số f x x 1 liên tục tại điểm x0 1. m 2 khi x 1 A. m 3 . B. m 0 . C. m 4 . D. m 1. Câu 16. [NB] Hình chiếu của hình chữ nhật khơng thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi. Câu 17. [NB] Cho hình hộp ABCD. A B C D . Các vec tơ nào sau đây đồng phẳng?             A. AB , AD , AA . B. BA , BC , BD . C. BC , BB , BD . D. DA , AD , AC . Câu 18. [NB] Cho tứ diện ABCD cĩ IJ, lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đẳng thức nào sau đây là đúng?  1    1    1    1   A. IJ AD CB . B. IJ AC DB . C. IJ AD BC . D. IJ CA DB . 2 2 2 2 Câu 19. [NB] Trong khơng gian cho 3 đường thẳng a;; b c . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu a b và c b thì a// c . B. Nếu a// b và c a thì c b. C. Nếu a c và b c thì a b . D. Nếu a b và b c thì a c . Câu 20. [NB] Trong khơng gian cho 2 vectơ a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a b a. b 0. B. a b a. b 0. C. a b a b . D. a b a, b 900 . 2n n2 5 Câu 21. [TH] Cho dãy số u với u . Tính limu . n n n.4n n A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 0 . 1 2 3 n Câu 22. [TH] Cho dãy số u với u . Khi đĩ lim u 1 bằng n n 1010n2 1011 n 2020 2019 2021 2021 A. . B. . C. . D. . 2021 2020 2020 2022 Câu 23. [TH] Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0 ? 3n2 n 2 n3 n 2 4n 5 n2 2n 4 n2 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . n2 7 n2 4 n2 4 3n3 5 x2 2 x 3 Câu 24. [TH] lim bằng x 3 x 3 A. 4 . B. 0 . C. 2. D. 4. Câu 25. [TH] Cho hàm số f( x ) 2 x2 4 x 5 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. limf ( x ) . B. limf ( x ) . C. limf ( x ) 2. D. limf ( x ) 2 . x x x x x2 x 1 Câu 26. [TH] lim 2 bằng x 2 x 4 A. . B. 3. C. 0 . D. . ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 x3 8 khi x 2 Câu 27. [TH] Cho hàm số f x x 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm mx 1 khi x 2 số liên tục tại x 2 . 17 15 13 11 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2 x2 1 khi x 1 Câu 28. [TH] Cho hàm số f x x 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 khi x 1 A. f 1 khơng tính được. B. limf x 0. x 1 C. f x gián đoạn tại x 1. D. f x liên tục tại x 1. x 1 khix 1 x 1 Câu 29. [TH] Giá trị của tham số a để hàm số f x liên tục tại điểm x 1 là 1 ax khi x 1 2 1 1 A. 1. B. . C.1. D. . 2 2 x 1 1 khi 1 x 2 Câu 30. [TH] Tìm m để hàm số f x x 2 liên tục tại điểm x 2 . 1 m khi x 2 3 1 A. . B. 2 . C. 1. D. . 2 2 Câu 31. [TH] Cho tứ diện ABCD cĩ trọng tâm G . Gọi IJ, lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng định  nào  sau  đây đúng  ?     A. GA GB GC GD 2IJ B. GA GB GC GD 0 .          C. GA GB GC GD GI GJ . D. AB DC 2IJ .   Câu 32. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A'''' B C D cĩ cạnh 2a. Tích vơ hướng AC. AD' bằng: 2 2 2 A. 4a . B. 2a . C. a . D. 4a . Câu 33. [TH] Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D cạnh a . Gĩc giữa hai đường thẳng AC và DA' bằng: A. 30 . B. 90 . C. 45 . D. 60 . Câu 34. [TH] Cho tứ diện ABCD cĩ AC 6; BD 8. Gọi MN, lần lượt là trung điểm của AD,. BC Biết AC BD. Tính độ dài đoạn thẳng MN. A. MN 10 . B. MN 7 . C. MN 10 . D. MN 5. Câu 35. [TH] Cho tứ diện ABCD cĩ AB AC; AB  BD . Gọi PQ, lần lượt là trung điểm của AB, CD . Chọn khẳng định đúng: A. AB PQ . B. AB CD . C. BD AC . D. AC PQ . PHẦN II. TỰ LUẬN 1 1 1 n Bài 1. [ VD] Tính giới hạn sau: lim 2 2 . n 1 1 1 3 3n ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Bài 2. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Gọi MNP,, lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD . Tính gĩc giữa hai đường thẳng MN và AP . Bài 3 . Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn lim3 8x3 5 x 2 1 9 x 2 3 x 5 mx . x cos.sin2 x 2 x m cos x 3 m 1 Bài 4. Chứng minh phương trình m luơn cĩ nghiệm với mọi m 1. sin2 x cos x 3 HẾT ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM 1D 2A 3A 4D 5D 6C 7A 8C 9B 10C 11A 12A 13D 14B 15B 16A 17B 18C 19B 20D 21D 22C 23D 24D 25B 26D 27D 28D 29C 30D 31D 32D 33D 34D 35A LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN I. TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn bằng 0 ? n2 1 n 1 1 A. . B. n 2 n2 . C. . D. . 2n 3 2n 1 2n 1 Lời giải 1 1 0 Ta cĩ lim limn 0 1 2n 12 2 n Câu 2. [NB] Dãy số nào sau đây cĩ giới hạn khác 0 ? n 2n 1 1 3 2n 1 A. . B. . C. . D. 2 . n 5 n 1 4 n 1 Lời giải 1 2 2n 1 2 Ta cĩ lim limn 2 5 n 51 1 n 2n 1 Câu 3. [NB] lim bằng n3 5 A. 0 . B. . C. . D. 2 . Lời giải 2 1 2n 12 3 0 Ta cĩ lim limn n 0 3 5 n 51 1 n3 1 5n Câu 4. [NB] lim bằng 4n 5 n 1 1 A. . B. . C. 0 . D. . 5 Lời giải n 1 n 1 1 5 5 1 1 Ta cĩ limn n 1 lim n 4 5 4 5 5 5 5 Câu 5. [NB] Cho dãy số un thỏa mãn lim un 3 0 . Tìm limun 0 A. limun 2 . B. limun 3. C. limun 0 . D. limun 3. Lời giải Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số ta cĩ lim un 3 0 lim u n 3 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Câu 6. [NB] Dãy số nào cĩ giới hạn khác 0 1 1 A. u . B. u . n n n n2 n 1 1 C. un 1 . D. un . n 2 Lời giải n 1 1 1 lim lim2 lim 0 . n n 2 1 lim 1 1 0 . n n 1 Câu 7. [NB] Cho cấp số nhân lùi vơ hạn cĩ số hạng tổng quát un . Tính tổng của cấp số nhân đĩ 2 1 1 A. 1. B. . C. 2 . D. . 2 4 Lời giải Gọi cơng bội của cấp số nhân là q n 1 1 1 1 un u1 ; u 2 q 2 2 4 2 u Tính tổng của cấp số nhân là S 1 1 1 q Câu 8. [NB] Cĩ bao nhiêugiá trị của a để giới hạn limx2 3 x 2 0 x a A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. Lời giải 2 2 a 1 lim x 3 x 2 0 a 3 a 2 0 . x a a 2 Vậy cĩ hai giá trị của a . Câu 9. [ NB] Tính I lim x2 x 3 . x 0 A. 0 . B. 3 . C. 6 . D. 5 . Lời giải Ta cĩ I lim x2 x 3 0 2 0 3 3 x 0 Câu 10. [ NB] limx3 x 3 bằng x A. 3 . B. . C. . D. 3 . Lời giải 3 3 1 3 Ta cĩ lim x x 3 lim x 1 2 3 . x x x x 3 1 3 (Vì lim x và lim 1 2 3 1 0 ). x x x x 6x 2 Câu 11. [ NB] Tính N lim . x x 1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 1. Lời giải ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 2 6 6x 2 Ta cĩ N lim limx 6 x x 1 x 1 1 x 3x 2 Câu 12. [ NB] lim bằng x 3 x 3 A. . B. . C. 2 . D. 3 . Lời giải 3x 2 Ta cĩ lim (vì lim 3x 2 3.3 2 11 0 và lim x 3 0 ; x 3 0 ). x 3 x 3 x 3 x 3 Câu 13. [NB] Nếu limf x 5 thì lim 3x 4 f x bằng bao nhiêu? x 0 x 0 A. 17 . B. 1. C. 1. D. 20 . Lời giải Ta cĩ: limf x 5 nên lim3 x 4 f x lim(3) x 4lim f x 3.0 4.5 20 . x 0 x 0 x 0 x 0 Câu 14. [NB] Cho các hàm số y cos x I , y sin x II và y tan x III . Hàm số nào liên tục trên ? A. I , II . B. I . C. I ,, II III . D. III . Lời giải Ta cĩ: Hàm số y cos x cĩ tập xác định là nên liên tục trên . Hàm số y sin x cĩ tập xác định là 0; nên khơng liên tục trên .  Hàm số y tan x cĩ tập xác định là \, k k  nên khơng liên tục trên . 2  x2 1 khi x 1 Câu 15. [NB] Tìm m để hàm số f x x 1 liên tục tại điểm x0 1. m 2 khi x 1 A. m 3 . B. m 0 . C. m 4 . D. m 1. Lời giải TXĐ: D x0 1 D . Ta cĩ : f 1 m 2 . x2 1 x 1 x 1 lim lim lim x 12 . x 1x 1 x 1 x 1 x 1 Hàm số f x liên tục tại điểm x0 1 khi và chỉ khi limf x f 1 m 2 2 m 0. x 1 Câu 16. [NB] Hình chiếu của hình chữ nhật khơng thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi. Lời giải Do phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, nên khơng thể cĩ đáp án A. Câu 17. [NB] Cho hình hộp ABCD. A B C D . Các vectơ nào sau đây đồng phẳng?       A. AB , AD , AA . B. BA , BC , BD .       C. BC , BB , BD . D. DA , AD , AC . Lời giải ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11     Ta cĩ BA , BC chứa trong mp() ABCD và BD song song với mp() ABCD nên các vectơ BA   , BC và BD đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho tứ diện ABCD cĩ IJ, lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đẳng thức nào sau đây là đúng?  1    1   A. IJ AD CB . B. IJ AC DB . 2 2  1    1   C. IJ AD BC . D. IJ CA DB . 2 2     Lời giải Ta cĩ: IJ IA AD DJ .     IJ IB BC CJ .            Suy ra: 2IJ IA IB AD BC DJ JC 0 AD BC 0 AD BC .  1   Vậy: IJ AD BC . 2 Câu 19. [NB] Trong khơng gian cho 3 đường thẳng a;; b c . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Nếu a b và c b thì a// c . B. Nếu a// b và c a thì c b. C. Nếu a c và b c thì a b . D. Nếu a b và b c thì a c . Lời giải Cho 2 đường thẳng song song, nếu 1 đường thẳng thứ 3 vuơng gĩc với 1 trong 2 đường thẳng đĩ thì cũng vuơng gĩc với đường thẳng cịn lại. Vậy: Nếu a// b và c a thì c b là khẳng định đúng. Câu 20. [NB] Trong khơng gian cho 2 vectơ a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a b a. b 0. B. a b a. b 0. C. a b a b . D. a b a, b 900 . Lời giải Phương án A sai nếu a 0 hoặc b 0. Phương án B sai vì tích của 2 vec tơ là 1 số. Phương án C sai. Theo định nghĩa, 2 đường thẳng vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng bằng 90 nên D đúng. 2n n2 5 Câu 21. [TH] Cho dãy số u với u . Tính limu . n n n.4n n A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải 2n n2 5 5 2 1 2n n2 5 2 1 5 Ta cĩ: u = n = n = 2 1 . n n n n n 2 n.4 n.4 4 4 n n 5 5 1 Vì lim 0 nên lim 2 1 3 và lim 0 . Do đĩ limu 0 . 2 2 n n n n 4 Vậy limun 0 . ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 1 2 3 n Câu 22. [TH] Cho dãy số u với u . Khi đĩ lim u 1 bằng n n 1010n2 1011 n 2020 2019 2021 2021 A. . B. . C. . D. . 2021 2020 2020 2022 Lời giải 1 2 3 n n n 1 n2 n Ta cĩ: u = = . n 1010n2 1011 2 1010n2 1011 2020n2 2022 Do đĩ n2 n lim un 1 = lim 2 1 2020n 2022 1 1 1 2021 = limn 1 = 1 = . 2022 2020 2020 2020 n2 2021 Vậy lim u 1 . n 2020 Câu 23. [TH] Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0 ? 3n2 n 2 n3 n 2 A. lim . B. lim . n2 7 n2 4 4n 5 n2 2n 4 n2 C. lim . D. lim . n2 4 3n3 5 Lời giải Ta cĩ: 1 3n2 n 3 +) lim = lim n = 3. 2 7 n 7 1 n2 2 1 3 2 1 2 n n 3 +) lim = lim n n = . 2 1 4 n 4 n n3 4 4n 5 n2 5 +) lim = lim n = 5. 2 4 n 4 1 n2 2 4 2 2n 4 n 2 +) lim = lim n n = 0. 3 5 3n 5 3 n3 2n 4 n2 Vậy lim 0. 3n3 5 3n2 n 4n 5 n2 2 n3 n 2 Nhận xét: Các dãy số trong các giới hạn lim , lim , lim đều cĩ số n2 7 n2 4 n2 4 mũ của n cao nhất ở tử lớn hơn hoặc bằng số mũ cao nhất ở mẫu nên các giới hạn đĩ đều khác 0. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 x2 2 x 3 Câu 24 . [TH] lim bằng x 3 x 3 A. 4 . B. 0 . C. 2. D. 4. Lời giải x2 2 x 3 x 1 x 3 Ta cĩ lim lim lim14 x . x 3x 3 x 3 x 3 x 3 Câu 25. [TH] Cho hàm số f( x ) 2 x2 4 x 5 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. limf ( x ) . B. limf ( x ) . x x C. limf ( x ) 2. D. limf ( x ) 2 . x x Lời giải Hàm số f( x ) 2 x2 4 x 5 xác định trên . 2 2 4 5 4 5 f( x ) 2 x 4 x 5 x 2 2 x 2 2 . x x x x 4 5 Vì lim x và lim 2 2 0 nên lim 2x2 4 x 5 . x x x x2 x x2 x 1 Câu 26. [TH] lim 2 bằng: x 2 x 4 A. . B. 3. C. 0 . D. . Lời giải Ta cĩ: lim x2 x 1 5 0 . x 2 lim x2 4 0 và x2 4 0 khi x 2 . x 2 x2 x 1 Suy ra lim 2 . x 2 x 4 x3 8 khi x 2 Câu 27. [TH] Cho hàm số f x x 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm mx 1 khi x 2 số liên tục tại x 2 . 17 15 13 11 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2 Lời giải Ta cĩ: Hàm số f x xác định trên . x3 8 Ta cĩ f 2 2 m 1 và limf x lim lim x2 2 x 4 12 . x 2 x 2x 2 x 2 (cĩ thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số) 11 Để f x liên tục tại x 2 thì limf x f 2 2m 1 12 m . x 2 2 x2 1 khi x 1 Câu 28. [TH] Cho hàm số f x x 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 khi x 1 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 A. f 1 khơng tính được. B. limf x 0. x 1 C. f x gián đoạn tại x 1. D. f x liên tục tại x 1. Lời giải Ta cĩ: Hàm số f x xác định trên x2 1 limf x lim lim x 1 2 và f 1 2 . x 1 x 1x 1 x 1 Suy ra hàm số đã cho liên tục tại x 1. x 1 khix 1 x 1 Câu 29. [TH] Giá trị của tham số a để hàm số f x liên tục tại điểm x 1 là 1 ax khi x 1 2 1 1 A. 1. B. . C.1. D. . 2 2 Lời giải Ta cĩ: Hàm số f x cĩ tập xác định 0; x 1 x 1 1 1 Ta cĩ: lim f x lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 1 1 lim f x lim ax a và f1 a x 1 x 1 2 2 2 1 1 Hàm số liên tục điểm x 1 a a 1. 2 2 x 1 1 khi 1 x 2 Câu 30. [TH] Tìm m để hàm số f x x 2 liên tục tại điểm x 2 . 1 m khi x 2 3 1 A. B. 2 C. 1 D. 2 2 Lời giải Ta cĩ: x 1 1 x 2 1 1 lim lim lim x 2x 2 x 2 x 2 x 1 1 x 2 x 1 1 2 1 1 Hàm số liên tục tại điểm x 2 khi và chỉ khi limf ( x ) f (2) 1 m m x 2 2 2 Câu 31. [TH] Cho tứ diện ABCD cĩ trọng tâm G . Gọi IJ, lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng định  nào sau  đây  đúng  ?     A. GA GB GC GD 2IJ B. GA GB GC GD 0 .          C. GA GB GC GD GI GJ . D. AB DC 2IJ . Lời giải Ta cĩ:                ABDC AIIJ JB DI IJ JC AIDI JBJC 2IJ 0 0 2IJ 2IJ   Câu 32. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A'''' B C D cĩ cạnh 2a. Tích vơ hướng AC. AD' bằng: 2 2 2 A. 4a B. 2a . C. a . D. 4a . ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Lời giải Ta cĩ:   ' ' 0 2 Tam giác ACD là tam giác đều cạnh 2 2a nên AC. AD 2 a 2.2 a 2.os60 c 4 a Câu 33. [TH] Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D cạnh a . Gĩc giữa hai đường thẳng AC và DA' bằng: A. 30 . B. 90 . C. 45 . D. 60 . Lời giải + Cĩ AC A C nên ACDA; ACDA ; CAD 60 (Vì tam giác CAD là tam giác đều cạnh bằng a 2 ). Câu 34. [TH] Cho tứ diện ABCD cĩ AC 6; BD 8 . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của AD,. BC Biết AC BD. Tính độ dài đoạn thẳng MN. A. MN 10 . B. MN 7 . C. MN 10 . D. MN 5. Lời giải + Gọi P là trung điểm của CD . Dễ thấy MP AC và NP BD ( Tính chất đường trung bình); mà AC BD MP  NP hay tam giác MNP vuơng tại P . 1 1 + Lại cĩ MP AC 3; NP BD 4 MN MP2 NP 2 3 2 4 2 5 . 2 2 Câu 35. [TH] Cho tứ diện ABCD cĩ AB AC; AB  BD . Gọi PQ, lần lượt là trung điểm của AB, CD . Chọn khẳng định đúng: ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 A. AB PQ . B. AB CD . C. BD AC . D. AC PQ . Lời giải     PQ PA AC CQ  1   + Cĩ     PQ AC BD . PQ PB BD DQ 2   1    1     + Vậy PQ AB AC BD AB AB AC BD AB 0 AB  PQ . 2 2 (Vì AB AC; AB  BD ). PHẦN II. TỰ LUẬN 1 1 1 n Bài 1. [ VD] Tính giới hạn sau: lim 2 2 n 1 1 1 3 3n Lời giải Tử và mẫu là tổng các số hạng của cấp số nhân nên ta cĩ: n 1 1 1 n 1 1 1 2 1 1 2 1 . n 1 2 21 2 2 n 1 1 1 n 1 1 1 3 3 1 1 1 . n 1 3 31 2 3 3 n 1 1 n 1 1 1 2 1 1 1 1 n 2 42 4 lim2 2 lim lim . n 1 1 n n 1 n n 1 1 3 1 3 1 3 3 3n 1 1 2 3 3 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 1 1 1 n 4 Vậy: lim 2 2 . n 1 1 1 3 3 3n Bài 2. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Gọi MNP,, lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD . Tính gĩc giữa hai đường thẳng MN và AP . Lời giải Giả sử hình lập phương cĩ cạnh bằng a và MN// AC nên: MN , AP AC, AP . 2 2 2 2 a a 5 Vì ADP vuơng tại D nên A P A D D P a . 2 2 2 a5 3 a 2 2 2 AA P vuơng tại A nên AP A A A P a . 2 2 a2 a 5 CC P vuơng tại C nên CP CC 2 C P 2 a 2 . 4 2 Ta cĩ AC là đường chéo của hình vuơng ABCD nên AC a 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta cĩ: CP2 AC 2 AP 2 2 AC . AP .cos CAP 1 cosCAP 2 CAP 45  90  Vậy AC ; AP CAP 45  hay MN; AP 45 . Bài 3 . Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn lim3 8x3 5 x 2 1 9 x 2 3 x 5 mx . x Lời giải Tính giới hạn lim3 8x3 5 x 2 1 9 x 2 3 x 5 mx . x . . Nếu m 5 thì lim3 8x3 5 x 2 1 9 x 2 3 x 5 5 x x lim 3 8x3 5 x 2 12 x 9 x 2 3 x 53 x x ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 3 2 3 3 2 3 2 2 8x 5 x 1 (2 x ) 9 x 3 x 5 3 x lim x 2 2 38x3 5 x 2 1 2 x  3 8 x 3 5 x 2 1 4 x 2 9x 3 x 5 3 x 8x3 5 x 2 1 8 x 3 9 x 2 3 x 5 9 x 2 lim x 2 38x3 5 x 2 1 2 x  3 8 x 3 5 x 2 1 4 x 2 3 5 x9 2 3 x x x 2 1 5 x 5 2 x 3 x x lim 2 x 3 5 2 1 1 1 1 x 9 3 x 38 5  2 3 8 5  4 2 x x3 x x 3 x x 5 3 2 4 4 3 3 1. . Nếu m 5 thì lim3 8x3 5 x 2 1 9 x 2 3 x 5 mx x lim 3 8x3 5 x 2 12 x 9 x 2 353 x x ( m 5) x x . . Nếu m 5 thì lim3 8x3 5 x 2 1 9 x 2 3 x 5 mx x lim 3 8x3 5 x 2 12 x 9 x 2 353 x x ( m 5) x x . cos.sin2 x 2 x m cos x 3 m 1 Bài 4. Chứng minh phương trình m luơn cĩ nghiệm với mọi m 1. sin2 x cos x 3 Lời giải cxos2 .sin 2 xmxm cos 3 1 cxcxmxm os 4 os 2 cos 3 1 m m sin2x cos x 1 c os 2 x cos x 2 Điều kiện: cosx 1. Với điều kiện trên ta cĩ Phương trình cos4x cos 2 x m cos x 3 m 1 m cos 2 x cos x 2 cos4 x m 1 c os 2 x 2 m cos x m 1 0 . Xét hàm số f x cos4 x m 1 c os 2 x 2 m cos x m 1 là hàm liên tục trên nên cũng liên tục trên 0; . Mặt khác f 1 m 0 (vì m 1) và 2 2 f 0 1 m 1 2 m m 1 1 0. Suy ra: f 0 . f 0 . 2 Do đĩ phương trình f x 0 luơn cĩ ít nhất một nghiệm x0 0; (thỏa mãn điều kiện). 2 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 cos.sin2 x 2 x m cos x 3 m 1 Vậy phương trình m luơn cĩ nghiệm với mọi m 1. sin2 x cos x 3 (đpcm) HẾT. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 ĐỀ SỐ 2 ĐỀ ƠN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Mơn: Tốn 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 5 câu tự luận) Câu 1. [NB] Phát biểu nào sau đây là sai ? n A. limun c (un c là hằng số ). B. limq 0 q 1 . 1 1 C. lim 0 . D. lim 0 , với k * . n nk 2n 1 Câu 2. [NB] Tính giới hạn lim . 3n 2 2 3 1 A. . B. . C. . D. 0 . 3 2 2 2n 1 2 3n Câu 3. [NB] Cho hai dãy số u và v cĩ số hạng tổng quát u và v với n 1. n n n n 1 n n Tính lim un v n . 1 5 A. 5. B. . C. 1. D. . 2 2 n2 1 Câu 4. [NB] Hai dãy số u và v cho bởi u ; v n , với n 1. Tính lim v u . n n nn n n n A. 1. B. 0 . C. . D. . n n 1 3 Câu 5. [NB] Cho ba dãy số: un ;; v n w n với un ; vn ; wn , với n 1. 2n 3 4n 1 Trong ba dãy số đã cho, cĩ bao nhiêu dãy số cĩ giới hạn bằng 0? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. 2n 4 n Câu 6. [NB] Hai dãy số u và v cho bởi u ; v  n 1. Tính lim u . v . n n n5n n 3 n n n 8 A. . B. . C. 0 . D. . 15 n * n n * un Câu 7. [NB] Cho hai dãy un ; v n biết un 4 ,  n , vn 2.3 4 ,  n . Giới hạn lim vn bằng 1 4 1 A. 1. B. . C. . D. . 2 3 3 x2 2 x 1 Câu 8. [NB] Giới hạn lim bằng x 1 2x3 2 1 A. . B. 0 . C. . D. . 2 x 3 Câu 9. [NB] Giới hạn lim bằng x 3 5x 15 1 1 A. . B. . C. 0 . D. . 5 5 Câu 10. [ NB] Giới hạn limx2 3 x 4 bằng x 2 A. 6 . B. 2. C. 14 . D. 6 . ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 x2 x 1 Câu 11. [ TH] Giới hạn lim 2 bằng x 1 x 1 A. . B. 1. C. 1 . D. . x2 2 x 3 x Câu 12. [ TH] Giới hạn lim bằng x 2x 1 1 A. 1. B. 0 . C. . D. . 2 Câu 13. [NB] Cho limf x 2,lim g x 3. Tính lim f x 2 g x . x 1 x 1 x 1 A. 4 . B. 8 . C. 1. D. 5. Câu 14. [NB] Hàm số nào dưới đây liên tục tại x 1? x 2 x 2 x2 1 A. y . B. y . C. y x 2 . D. y . x 1 x 1 x 1 1 Câu 15. [NB] Số điểm gián đoạn của hàm số y là x4 3 x 2 2 A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3. Câu 16. [NB] Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.'''' A B C D . Gọi M là trung điểm của BB ' Ảnh của đoạn thẳng AM' qua phép chiếu song song theo phương chiếu AA' lên mặt phẳng ABCD là đoạn thẳng A. AM . B. AB . C. AB' . D. AB'' . Câu 17. [NB] Cho hình hộp ABCD.'''' A B C D . Mệnh đề nào dưới đây đúng?       A. Ba vectơ AD, A ' C ', DD ' đồng phẳng. B. Ba vectơ AB,,' BC DD đồng phẳng.       C. Ba vectơ AB,,' AD AA đồng phẳng. D. Ba vectơ B' C ', AD , DC đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp ABCD.'''' A B C D . Đẳng thức nào sau đây đúng?        A. AB AD AA'' AC . B. AB AD AA' 0 .       C. . D. . AC'' A C AD DC DD'' DB Câu 19. [NB] Trong khơng gian cho hai vectơ u và v đều khác vectơ – khơng. Tìm mệnh đề đúng. A. u (,) v u v cos u v . B. u v u v . C. u (,) v u v cos u v . D. u.(,) v cos u v . Câu 20. [NB] Cho hình hộp ABCD. A B C D . Tìm mệnh đề đúng. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11         A. (AA ', BC ) ( BD , BC ) . B. (AA ', BC ) ( AC , BC ) .         C. (AA ', BC ) ( AB , BC ) . D. (AA ', BC ) ( BB ', BC ) . 4n 2021 Câu 21. [TH] Tính giới hạn lim . 2n 1 1 A. 4. B. 2 . C. . D. 2021 . 2 2 4 2n Câu 22. [ TH] Tính tổng S 1 3 9 3n A. S 3. B. S 4 . C. S 6 . D. S 5. 3n 1 a a Câu 23. [ TH] Cho lim n n ( a, b Z và là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a b 2 2.3 1 b b A. 1. B. 3. C. 1. D. 0 . Câu 24. [ TH] Giá trị của giới hạn limx x3 1 là x A. . B. . C. 0 . D. 1. x2 x 1 Câu 25. [TH] Tìm giới hạn A lim . x 1 x 1 1 A. B. . C. 1. D. . 2 4x 1 1 Câu 26. [TH] Tính giới hạn K lim . x 0 x2 3 x 2 2 4 A. K 0. B. K . C. K . D. K . 3 3 3 x 2 1 Câu 27. [TH] Cho hàm số f (x) .Khi đĩ hàm số y f x liên tục trên khoảng nào sau x 2 5x 6 đây? A. ;3 . B. 4;7 . C. 3;2 . D. 2; . x 1 2 khix 5 Câu 28. [TH] Cho hàm số f() x x 5 .Để hàm số f x liên tục tại x 5 thì a thuộc a 1 khi x 5 khoảng nào dưới đây? 3 1 1 3 A. 1; . B. 0; C. ;1 D. ;2 . 2 2 2 2 x 4 Câu 29. [TH] Cho hàm số f() x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất? x2 x 6 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 A. Hàm số liên tục trên ; 2 , 2;3 và 3; . B. Hàm số liên tục trên ; 3 , 3;2 và 2; . C. Hàm số liên tục trên  4; 3 , 3;2 và 2; . D. Hàm số liên tục trên  4; 2 , 2;3 và 3; . Câu 30. [TH] Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ? 3 2x 5 2 A. y sin x 2 tan x . B. y . C. y 2 . D. y 9 x . cosx 1 x x 1   Câu 31. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Hãy xác định gĩc giữa cặp vectơ AB,' DD ? A. 450 . B. 600 . C. 1200 . D. 900 . Câu 32. [TH] Cho hình chĩp S. ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của gĩc IJ, CD bằng A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Câu 33. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A'''' B C D , cĩ cạnh a . Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:    A. AD'. CC ' a2 . B. AD'. AB ' a2 .    C. AB'. CD ' 0. D. AC' a 3 .    Câu 34. [ TH] Cho lăng trụ tam giác ABC. A B C cĩ AA a,, AB b AC c . Hãy phân tích (biểu  diễn) véc tơ BC qua các véc tơ a,, b c .     A. BC a b c . B. BC a b c . C. BC a b c . D. BC a b c . Câu 35. [ TH] Cho tứ diện ABCD  , gọ  i G là tr  ọng tâm của tam giác BCD. Biết luơn tồn tại số thực k thỏa mãn đẳng thức vecto AB AC AD k. AG . Hỏi số thực đĩ bằng bao nhiêu ? A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 3. II. TỰ LUẬN Câu 1 [TH] Tính giới hạn của các dãy số sau: a. un n n 1 n . 4n2 n 1 n b. un . 9n2 3 n Câu 2. [ VD] Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D . Gọi MN, lần lượt là trung điểm cạnh AB’’ và BC . a) Chứng minh rằng MN AC ' . b) Chứng minh rằng AC'' A BD . 2 1 ax2 bx 1 Câu 3. [VDC] Tìm a , b , c để lim c . x 1 x3 3 x 2 x3 8 x m khi x 1 Câu 4. [VD] Cho hàm số f x x 1 , với m , n là các tham số thực. Biết rằng hàm n khi x 1 số f x liên tục tại x 1, khi đĩ hãy tính giá trị của biểu thức P m n ? Câu 5. [VD] Chứng minh phương trình m2 1 x 3 2 m 2 x 2 4 x m 2 1 0 cĩ đúng ba nghiệm phân biệt. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 LỜI GIẢI CHI TIẾT I. TRẮC NGHIỆM BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.A 3.C 4.B 5.B 6.C 7.A 8.B 9.B 10.D 11.D 12.A 13.A 14.B 15.B 16.B 17.D 18.A 19.C 20.D 21.B 22.A 23.D 24.A 25.B 26.B 27.D 28.A 29.D 30.C 31.D 32.C 33.A 34.C 35.D Câu 1. [NB] Phát biểu nào sau đây là sai ? n A. limun c (un c là hằng số ). B. limq 0 q 1 . 1 1 C. lim 0 . D. lim 0 , với k * . n nk Lời giải Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì limqn 0 q 1 . 2n 1 Câu 2. [NB] Tính giới hạn lim . 3n 2 2 3 1 A. . B. . C. . D. 0 . 3 2 2 Lời giải 1 2 2n 1 2 Ta cĩ: lim lim n . 2 3n 23 3 n 2n 1 2 3n Câu 3. [NB] Cho hai dãy số u và v cĩ số hạng tổng quát u và v với n 1. n n n n 1 n n Tính lim un v n . 1 5 A. 5. B. . C. 1. D. . 2 2 Lời giải Ta cĩ: 1 n 2 2n 1 n limu lim lim 2 . n n 1 1 n 1 n 2 n 3 2 3n n limv lim lim 3. n n n Theo định lý: Nếu limun a ; limvn b (với a, b ) thì lim un v n a b . Vậy lim un v n 2 3 1. n2 1 Câu 4. [NB] Hai dãy số u và v cho bởi u ; v n , với n 1. Tính lim v u . n n nn n n n A. 1. B. 0 . C. . D. . Lời giải ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 n2 1 1 Ta cĩ lim vn u n lim n lim 0. n n n n 1 3 Câu 5. [NB] Cho ba dãy số: un ;; v n w n với un ; vn ; wn , với n 1. 2n 3 4n 1 Trong ba dãy số đã cho, cĩ bao nhiêu dãy số cĩ giới hạn bằng 0? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Ta thấy: limqn 0 nếu q 1 ; limqn nếu q 1. Do đĩ: n 1 1  limun lim 0 vì 0 1 2 2 n  limvn lim vì 1 3 3 n 3n 1 3 3  limwn limn 1 lim . 0 vì 0 1. 4 4 4 4 2n 4 n Câu 6. [NB] Hai dãy số u và v cho bởi u ; v  n 1. Tính lim u . v . n n n5n n 3 n n n 8 A. . B. . C. 0 . D. . 15 Lời giải n 2n 4 n 8 8 Ta cĩ lim un . v n lim n . n lim 0 vì 0 1. 5 3 15 15 n * n n * un Câu 7. [NB] Cho hai dãy un ; v n biết un 4 ,  n , vn 2.3 4 ,  n . Giới hạn lim vn bằng 1 4 1 A. 1. B. . C. . D. . 2 3 3 Lời giải n un 4 1 Ta cĩ: lim lim n n limn 1. vn 2.3 4 3 2. 1 4 x2 2 x 1 Câu 8. [NB] Giới hạn lim bằng x 1 2x3 2 1 A. . B. 0 . C. . D. . 2 Lời giải 2 x2 2 x 1 x 1 x 1 Ta cĩ: lim lim lim 0 . x 1 2x3 2 x 1 2 x 1 x2 x 1 x 1 2 x2 x 1 x 3 Câu 9. [NB] Giới hạn lim bằng x 3 5x 15 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 1 1 A. . B. . C. 0 . D. . 5 5 Lời giải Với x 3 thì x 3 3 x . x 3 x 3 1 Ta cĩ: lim lim . x 3 5x 15 x 3 5 x 15 5 Câu 10. [ NB] Giới hạn limx2 3 x 4 bằng x 2 A. 6 . B. 2. C. 14 . D. 6 . Lời giải Ta cĩ: limx2 3 x 4 4 6 4 6 . x 2 x2 x 1 Câu 11. [ TH] Giới hạn lim 2 bằng x 1 x 1 A. . B. 1. C. 1 . D. . Lời giải Vì limx2 x 1 1 0 và limx2 1 0 ; x2 1 0,  x 1. x 1 x 1 x2 x 1 nên lim 2 . x 1 x 1 x2 2 x 3 x Câu 12. [ TH] Giới hạn lim bằng x 2x 1 1 A. 1. B. 0 . C. . D. . 2 Lời giải 2 3 1 1 x2 2 x 3 x 2 Ta cĩ: lim lim x x 1. x x 1 2x 1 2 x Câu 13. [NB] Cho limf x 2,lim g x 3. Tính lim f x 2 g x . x 1 x 1 x 1 A. 4 . B. 8 . C. 1. D. 5. Lời giải Ta cĩ lim f x 2 g x lim f x 2lim g x 22.34 . x 1 x 1 x 1 Câu 14. [NB] Hàm số nào dưới đây liên tục tại x 1? x 2 x 2 x2 1 A. y . B. y . C. y x 2 . D. y . x 1 x 1 x 1 Lời giải x 2 x2 1 Hàm số y và y cĩ tập xác định là \ 1 nên loại đáp án A, D. x 1 x 1 Hàm số y x 2 cĩ tập xác định là 2; mà 1  2; . Loại đáp án C. x 2 Hàm phân thức liên tục trên tập xác định của nĩ. Hàm số y cĩ tập xác định là \ 1 x 1 nên liên tục trên các khoảng ; 1 và 1; do đĩ hàm số liên tục tại x 1. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 1 Câu 15. [NB] Số điểm gián đoạn của hàm số y là x4 3 x 2 2 A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3. Lời giải x2 1 x 1 Ta cĩ x4 3 x 2 2 0 . 2 x 2 x 2 Khi đĩ hàm số xác định trên \ 1; 2 . Vậy hàm số cĩ bốn điểm gián đoạn. Câu 16. [NB] Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.'''' A B C D . Gọi M là trung điểm của BB ' Ảnh của đoạn thẳng AM' qua phép chiếu song song theo phương chiếu AA' lên mặt phẳng ABCD là đoạn thẳng A. AM . B. AB . C. AB' . D. AB'' . Lời giải Ảnh của điểm A qua phép chiếu song song theo phương chiếu AA' lên mặt phẳng ABCD là điểm A . Ta cĩ MB// A ' A và MB ABCD B nên ảnh của điểm M qua phép chiếu song song theo phương chiếu AA' lên mặt phẳng ABCD là điểm B . Vậy ảnh của đoạn thẳng AM' qua phép chiếu song song theo phương chiếu AA' lên mặt phẳng ABCD là đoạn thẳng AB . Câu 17. [NB] Cho hình hộp ABCD.'''' A B C D . Mệnh đề nào dưới đây đúng?       A. Ba vectơ AD, A ' C ', DD ' đồng phẳng. B. Ba vectơ AB,,' BC DD đồng phẳng.       C. Ba vectơ AB,,' AD AA đồng phẳng. D. Ba vectơ B' C ', AD , DC đồng phẳng. Lời giải ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Ta cĩ B' C '// BC B ' C '// ABCD .    Vậy mặt phẳng ABCD chứa hai vectơ AD, DC và song song với vectơ BC'' nên ba vectơ    B' C ', AD , DC đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp ABCD.'''' A B C D . Đẳng thức nào sau đây đúng?        A. AB AD AA'' AC . B. AB AD AA' 0 .       C. AC'' A C . D. AD DC DD'' DB . Lời giải     Theo quy tắc hình hộp ta cĩ: . AB AD AA '' AC Câu 19. [NB] Trong khơng gian cho hai vectơ u và v đều khác vectơ – khơng. Tìm mệnh đề đúng. A. u (,) v u v cos u v . B. u v u v . C. u (,) v u v cos u v . D. u.(,) v cos u v . Lời giải Ta cĩ u (,) v u v cos u v . Câu 20. [NB] Cho hình hộp ABCD. A B C D . Tìm mệnh đề đúng.         A. (AA ', BC ) ( BD , BC ) . B. (AA ', BC ) ( AC , BC ) .         C. (AA ', BC ) ( AB , BC ) . D. (AA ', BC ) ( BB ', BC ) . Lời giải Do  ABCD  . A B C  D là  hình hộp ABA'' B là hình bình hành AA'/ / BB ' (AA ', BC ) ( BB ', BC ) 4n 2021 Câu 21. [TH] Tính giới hạn lim . 2n 1 1 A. 4. B. 2 . C. . D. 2021 . 2 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Lời giải 2021 4 4n 2021 Ta cĩ lim limn 2. 1 2n 1 2 n 2 4 2n Câu 22. [ TH] Tính tổng S 1 3 9 3n A. S 3. B. S 4 . C. S 6 . D. S 5. Lời giải 2 Ta cĩ S là tổng cấp số nhân lùi vơ hạn cĩ u 1, q . 1 3 1 S 3 . 2 1 3 3n 1 a a Câu 23. [ TH] Cho lim n n ( a, b Z và là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a b 2 2.3 1 b b A. 1. B. 3. C. 1. D. 0 . Lời giải n 1 n 1 3 1 3 1 Ta cĩ limn n lim n n . 2 2.3 1 2 1 2 2 3 3 a 1 2a b 0 . b 2 Câu 24. [ TH] Giá trị của giới hạn limx x3 1 là x A. . B. . C. 0 . D. 1. Lời giải 3 3 1 1 Ta cĩ lim x x 1 lim x 1 2 3 . x x x x 3 1 1 Vì lim x và lim 1 2 3 1 0 nên x x x x limx x3 1 . x x2 x 1 Câu 25. [TH] Tìm giới hạn A lim . x 1 x 1 1 A. B. . C. 1. D. . 2 Lời giải x2 x 1 1 1 1 1 Ta cĩ: A lim . x 1 x 1 1 1 2 4x 1 1 Câu 26. [TH] Tính giới hạn K lim . x 0 x2 3 x 2 2 4 A. K 0. B. K . C. K . D. K . 3 3 3 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Lời giải 4x 1 1 4x 4 2 Ta cĩ K lim lim lim . x 0 x2 3 x x 0 x x 3 4 x 1 1 x 0 x 3 4 x 1 1 3 x 2 1 Câu 27. [TH] Cho hàm số f (x) .Khi đĩ hàm số y f x liên tục trên khoảng nào sau x 2 5x 6 đây? A. ;3 . B. 4;7 . C. 3;2 . D. 2; . Lời giải x 3 Hàm số cĩ nghĩa khi x2 5 x 6 0 . x 2 x2 1 Vậy theo định lí ta cĩ hàm số f x liên tục trên khoảng ; 3 ; 3; 2 và x2 5 x 6 2; . x 1 2 khix 5 Câu 28. [TH] Cho hàm số f() x x 5 .Để hàm số f x liên tục tại x 5 thì a thuộc a 1 khi x 5 khoảng nào dưới đây? 3 1 1 3 A. 1; . B. 0; C. ;1 D. ;2 . 2 2 2 2 Lời giải Tập xác định D . x 1 2 x 5 1 1 Ta cĩ: lim()limf x lim lim , f 5 a 1. x 5 x 5x 5 x 5 x 5 x 1 2 x 5 x 1 2 4 1 5 Để hàm số liên tục tại x 5 thì limf ( x ) f 5 a 1 a . x 5 4 4 5 3 Vậy với a 1; thì hàm số liên tục tại x 5. 4 2 x 4 Câu 29. [TH] Cho hàm số f() x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất? x2 x 6 A. Hàm số liên tục trên ; 2 , 2;3 và 3; . B. Hàm số liên tục trên ; 3 , 3;2 và 2; . C. Hàm số liên tục trên  4; 3 , 3;2 và 2; . D. Hàm số liên tục trên  4; 2 , 2;3 và 3; . Lời giải Tập xác định của hàm số D  4; \ 2;3 . Hàm số liên tục trên  4; 2 , 2;3 và 3; . Câu 30. [TH] Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ? 3 2x 5 A. y sin x 2 tan x . B. y . C. y . D. y 9 x2 . cosx 1 x2 x 1 Lời giải ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11  Hàm số y sin x 2 tan x cĩ tập xác định là \, k k  . 2  3 Hàm số y cĩ tập xác định là \ k 2 , k  . cosx 1 Hàm số y 9 x2 cĩ tập xác định là  3;3. 2x 5 Hàm số y cĩ tập xác định là . x2 x 1 2x 5 Do đĩ hàm y 2 liên tục trên . x x 1   Câu 31. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Hãy xác định gĩc giữa cặp vectơ AB,' DD ? A. 450 . B. 600 . C. 1200 . D. 900 . Lời giải     Ta cĩ : AB; DD ' DC ; DD ' 900 . Câu 32. [TH] Cho hình chĩp S. ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của gĩc IJ, CD bằng A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải S I A B O J D C Từ giả thiết ta cĩ: IJ // SB (do IJ là đường trung bình của SBC ). Lại cĩ AB//D C (do ABCD là hình thoi) IJ,, CD SB AB . Mặt khác, ta lại cĩ SAB đều, do đĩ SBA 60  SB , AB SBA 60  IJ , CD 60  . Câu 33. [TH] Cho hình lập phương ABCD. A'''' B C D , cĩ cạnh a . Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:    A. AD'. CC ' a2 . B. AD'. AB ' a2 . ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11    C. AB'. CD ' 0. D. AC' a 3 . Lời giải       Ta cĩ: AD'. CC ' AD '.AA ' AD ' . AA ' cos450 a 2 .     AD'. AB ' AD '.AB'cos600 a 2 .     AB'. C D ' AB '.BA' 0 .  AC' AC ' AC2 CC ' 2 AB 2 BC 2 CC ' 2 a 3 .    Câu 34. [ TH] Cho lăng trụ tam giác ABC. A B C cĩ AA a,, AB b AC c . Hãy phân tích (biểu  diễn) véc tơ BC qua các véc tơ a,, b c .     A. BC a b c . B. BC a b c . C. BC a b c . D. BC a b c . Lời giải B b A C c a B' A' C'       Vì mặt bên BCC B là hình bình hành nên BC BB BC AA AC AB a b c nên  BC a b c . Câu 35. [ TH] Cho tứ diện ABCD  , gọ  i G là tr  ọng tâm của tam giác BCD. Biết luơn tồn tại số thực k thỏa mãn đẳng thức vecto AB AC AD k. AG . Hỏi số thực đĩ bằng bao nhiêu? A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 3. Lời giải ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11    GB GC GD 0 Vì G là trọng  tâm  BCD  nên     . Ta cĩ AB AC AD 3 AG GB GC GD 3 AG. Vậy k 3. II. TỰ LUẬN Câu 1 [TH] Tính giới hạn của các dãy số sau: c. un n n 1 n . 4n2 n 1 n d. un . 9n2 3 n Lời giải a. Ta cĩ: n n 1 1 limun lim n n 1 n lim lim lim . n 1 n 1 1 2 n 1 1 1 1 n n b. Ta cĩ 1 1 1 1 n 4 2 1 4 1 4n2 n 1 n n n 2 2 1 1 limu lim lim lim n n . n 2 3 3 3 3 9n 3 n n 9 9 n n Câu 2. [ VD] Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D . Gọi MN, lần lượt là trung điểm cạnh AB’’ và BC . a) Chứng minh rằng MN AC ' . b) Chứng minh rằng AC'' A BD . Lời giải ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 A' D' M B' C' A D B N C a) Chứng minh rằng MN AC ' .     Ta cĩ AC'' AB AD AA .     1   1  MN MB''' B B BN AB AA AD . 2 2      1   1  AC'. MN AB AD AA ' AB AA ' AD 2 2 1      1 1   1   AB2 AB. AA ' AB . AD AD . AA ' AD 2 AB . AA ' AA ' 2 AA '. AD 2 2 2 2           1 1 Vì ABAA. ' ABAD . ADAA . ' ABAA . ' AAAD '. 0 và AB2 AD 2 AA' 2 0 .   2 2 Suy ra AC'. MN 0 . Vậy MN AC ' . b) Chứng minh rằng AC'' A BD . A'' B AB ABBC''' Ta cĩ A''''' B  AB C A B  AC (1). AB', B ' C ' AB ' C ' AB'''' B C B Chứng minh tương tự ta được BD AC ' (2). Từ (1) và (2) suy ra AC'' A BD . 2 1 ax2 bx 1 Câu 3. [VDC] Tìm a , b , c để lim c . x 1 x3 3 x 2 Lời giải Ta cĩ: x3 3 x 2 x 1 2 x 2 . Do đĩ phương trình 2 1 ax2 bx 1 0 4 1 ax2 bx 1 2 0 phải cĩ nghiệm kép x 1 4a b2 x 2 2 bx 3 0 cĩ nghiệm kép x 1 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 2 4a b2 0 4a b 0 2 2 1 2 b 3 4 a b 0 a b a b 3 . 3 2 4a b2 . 1 2. b .1 3 0 1 b2 2 b 3 0 3 3 x 1 2 2 1 3x2 3 x 1 2 1 3x2 3 x 1 3 1 Khi đĩ lim 3 lim 2 lim x 1 x 3 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 2 1 3x2 3 x 1 x 2 8 1 Suy ra c . 8 1 Vậy a b 3 , c . 8 x3 8 x m khi x 1 Câu 4. [VD] Cho hàm số f x x 1 , với m , n là các tham số thực. Biết rằng hàm n khi x 1 số f x liên tục tại x 1, khi đĩ hãy tính giá trị của biểu thức P m n ? Lời giải Tập xác định D . x3 8 x m m 9 Với x 1 ta cĩ f x x2 x 9 . x 1 x 1 f x liên tục tại x 1 khi và chỉ khi limf x f 1 1 x 1 Nếu m 9 0 m 9 thì khơng tồn tại lim f x vì limf x lim f x . x 1 x 1 x 1 Do đĩ m 9 0 m 9 . Suy ra limf x lim x2 x 9 11. x 1 x 1 Vậy 1 n 11 suy ra P m n 9 11 2. Câu 5. [VD] Chứng minh phương trình m2 1 x 3 2 m 2 x 2 4 x m 2 1 0 cĩ đúng ba nghiệm phân biệt. Lời giải Xét hàm số f x m2 1 x 3 2 m 2 x 2 4 x m 2 1. Ta cĩ f 3 44 m2 14 0 f 0 m2 1 0 f 1 2 0 f 2 m2 1 0 Do đĩ f 3 f 0 0 , f 0 f 1 0 và f 1 f 2 0 . Hàm số y f x là hàm số đa thức nên liên tục trên , do đĩ liên tục trên các đoạn  3;0 , 0;1 và 1;2 . Từ đĩ suy ra phương trình f x 0 cĩ ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng 3;0 , 0;1 và 1;2 , tức là cĩ ít nhất ba nghiệm phân biệt. Hơn nữa, f x là đa thức bậc ba nên cĩ tối đa ba nghiệm. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Vậy phương trình m2 1 x 3 2 m 2 x 2 4 x m 2 1 0 cĩ đúng ba nghiệm phân biệt. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 ĐỀ SỐ 3 ĐỀ ƠN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Mơn: Tốn 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận) I. TRẮC NGHIỆM n 1 1 Câu 1. Cho 2 dãy số (a ), ( b ) với a , b . Khẳng định nào sau đây là đúng ? n n n n n n a a A. lim n . B. Khơng tồn tại lim n . bn bn a a C. limn 1. D. limn 0 . b b n n Câu 2. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào cĩ giá trị khác với giới hạn cịn lại? 3n 1 1 n 1 n 1 5n A. lim B. lim C. lim D. lim 3n 3 n 1 n 2 6 5n Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? un A. Nếu limun a 0 ; limvn 0 và vn 0,  n thì lim . vn B. limqn ( với q 1). C. lim nk với k là một số nguyên dương. D. limqn 0 với q 1. Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số un cĩ giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n , nếu lim un a 0 . n B. Dãy số un cĩ giới hạn là 0 khi n dần tới vơ cực, nếu un cĩ thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. C. Dãy số un cĩ giới hạn khi n nếu un cĩ thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. D. Dãy số un cĩ giới hạn khi n nếu un cĩ thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ? 1 A. lim 0 . B. limqn 0 nếu q 1. n C. lim nk với k nguyên dương. D. limqn nếu q 1 un Câu 6. Cho 2 dãy số un và vn thỏa mãn limun 2 , limvn 5 . Giá trị của lim bằng: vn 5 2 A. . B. . C. 7 . D.3. 2 5 Câu 7. Cho lim un 2,lim v n 3. Khi đĩ giá trị của giới hạn lim un . v n bằng? A. 1. B. 6. C. 5. D. 1 Câu 8. Cho hai hàm số f() x và g() x cĩ giới hạn hữu hạn khi x dần tới x0 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. lim[f () x g ()] x lim g () x lim f () x . x x0 x x 0 x x 0 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 B. lim[f () x g ()] x lim f () x lim g () x . x x0 x x 0 x x 0 C. lim[f () x g ()] x lim f () x lim g () x . x x0 x x 0 x x 0 D. lim[f () x g ()] x lim f () x lim g () x . x x0 x x 0 x x 0 Câu 9. Giới hạn lim f() x L khi và chỉ khi : x x0 A. lim f() x L . B. limfx()() limfx L . x x0 x x0 x x 0 C. lim f() x L . D. lim f( x ) lim f ( x ). x x0 x x0 x x 0 limf x 2 limg x 3 lim f x g x Câu 10. Cho x 1 , x 1 . Tính x 1 ? A. 5. B. 5. C. 1. D. 1. Câu 11. Giả sử ta cĩ lim f x a và lim g x b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x x A. lim f x g x a b . B. lim f x . g x a . b . x x f x a C. lim . D. lim f x g x a b . x g x b x 1 Câu 12. Với k là số nguyên dương , kết quả của giới hạn lim là x xk A. 0 . B. . C. . D. 1. Câu 13. Với k là số nguyên dương và k là số lẻ, kết quả của giới hạn lim xk là x A. . B. 0 . C. . D. 1. 2 x 2 x 1 khix 2 Câu 14. Cho hàm số f (x) . Giá trị của m để f x liên tục tại x 2 là: m2 2 khix 2 A. 3 . B. 3 . C. 3 . D. 3. Câu 15. Trong các hàm sau, hàm nào khơng liên tục trên khoảng 1;1 : A. f x x4 x 2 2. B. f x sin x . 1 C. f x . D. f x 2 x 1 . x 2 1 Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (Với giả thiết các đoạn thẳng và đường thẳng khơng song song hoặc trùng với phương chiếu). A. Phép chiếu song song bảo tồn thứ tự ba điểm thẳng hàng. B. Phép chiếu song song khơng làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng. C. Hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. D. Hình chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng.  Câu 17. Trong khơng gian cho 3 vectơ u, v ,  w khơng đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?  A. Các vectơ u v,,  v  w đồng phẳng.  B. Các vectơ u v,   u ,  2 w đồng phẳng.  C. Các vectơ u v,  v ,  2 w khơng đồng phẳng. D. Các vectơ 2 u v  u ,  v khơng đồng phẳng. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11  1   2  Câu 18. Cho hình hộp ABCD.'''' A B C D , MN, là các điểm thỏa MA MD , NA' NC . Mệnh 4 3 đề nào sau đây đúng ? A. MN AC' B . B. MN BC' D . C. MN A'' C D . D. MN BC' B .   Câu 19. Cho tứ diện đều ABCD . Tích vơ hướng AB. CD bằng? a2 a2 A. a2 B. C. 0 D. 2 2 ABCD AB AC AD BAC BAD 600 Câu 20. Cho tứ diện  cĩ và . Hãy xác định gĩc giữa cặp vectơ AB và CD . A. 600 . B. 450 . C. 1200 . D. 900 . a. n2 4 n 3 lim2 . Câu 21. Tìm a để 8n 3 4 A. a 6 . B. a 3. C. a 27 . D. a 9 . a. n2 4 n 3 a 3 1 1 1 1 Câu 22. lim a 6. Tính tổng: S 1 8n2 3 4 8 4 2 4 8 2 n 1 3 2 1 A. S . B. S . C. S 2 . D. S . 2 3 2 2n3 n 2 4 Câu 23. Biết lim L . Khi đĩ 1 L2 bằng 2 n 4 n3 3 1 A. 1. B. . C. 0 . D. . 4 4 5x 3 lim x 2 Câu 24. Tính x 5 . 3 3 A. . B. . C. 5. D. 5. 5 5 2x 1 lim Câu 25. Tính x 0 x bằng A. 2 . B. . C. . D. 1. Câu 26. Cho limx2 ax 5 x 5 . Giá trị của a bằng bao nhiêu ? x A. 6 . B. 10. C. 10 . D. 6 . x2 4 khix 2 Câu 27. Cho hàm số f() x x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 4 khix 2 A. Hàm số chỉ liên tục tại điểm x 2 và gián đoạn tại các điểm x 2 . B. Hàm số khơng liên tục trên . C. Hàm số liên tục trên . D. Hàm số khơng liên tục tại điểm x 2 . x3 27 ,x 3 Câu 28. Cho hàm số: f x x 3 , tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 27x 3 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 I. f x liên tục tại x 3 . II. f x gián đoạn tại x 3 . III. f x liên tục trên R . A. I. và II. B. I. và III. C. Chỉ I. D. II. và III. x2 x 2 khix 2 Câu 29. Cho hàm số f x x 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục mx 2 khi x 2 tại x0 2 . 5 5 A. . B. . C. 2 . D. 2 . 2 2 2x2 x 6 nếu x 2 f x Câu 30. Tìm tham số m để hàm số x 2 liên tục trên . mx3 nếu x 2 A. m 1. B. m 1. C. m 2 . D. m 4 . Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Gĩc giữa hai đường thẳng BA và CC ' bằng: A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 .   Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Gĩc giữa hai vectơ BD và CD bằng A. 90 . B. 30 . C. 45. D. 60. Câu 33. Cho hình chĩp S. ABC cĩ SA SB SC AB AC 1, BC 2 . Tính gĩc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 45. Câu 34. Cho hình hộp ABCD EFGH Gọi I là tâm của hình bình hành ABEF và K là tâm của hình bình hành  BCGF  . Khẳng định nào dưới đây là đúng?   A. BD,, AK GF đồng phẳng. B. BD,, IK GF đồng phẳng.       C. BD,, EK GF đồng phẳng. D. BD,, IK GC đồng phẳng. Câu 35. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD , G là trung điểm của đoạn thẳng IJ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?          A. GA GB GC GD 0 . B. GA GB GC GD 2 IJ .           C. GA GB GC GD JI . D. GA GB GC GD 2 JI . II. TỰ LUẬN 2n 4 n2 n Câu 36. Tìm giới hạn: lim . n n2 2 n Câu 37. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hai điểm M, N lần lượt thuộc BC, CD BM 1 NC 3 sao cho , . Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng. BC 4 ND 2 Câu 38. Tìm giới hạn của B lim x ( x2 2 x 2 x 2 x x ) ? x m 2 3 2 m 2 Câu 39. Với tìm số nghiệm của phương trình x 2 mx 2 0 , với ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9.B 10.C 11.C 12.A 13.A 14.C 15.D 16.B 17.C 18.B 19.C 20.D 21.A 22.B 23.B 24.D 25.C 26.C 27.C 28.B 29.A 30.C 31.B 32.C 33.A 34.B 35.A I. TRẮC NGHIỆM n 1 1 Câu 1. Cho 2 dãy số (a ), ( b ) với a , b . Khẳng định nào sau đây là đúng ? n n n n n n a a A. lim n . B. Khơng tồn tại lim n . bn bn a a C. limn 1. D. limn 0 . b b n n Lời giải Chọn B a n a Ta cĩ: n 1 . Do đĩ khơng tồn tại lim n . bn bn Câu 2. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào cĩ giá trị khác với giới hạn cịn lại? 3n 1 1 n 1 n 1 5n A. lim B. lim C. lim D. lim 3n 3 n 1 n 2 6 5n Lời giải Chọn B 3n 1 1 n 1 5 n Vì lim lim lim 1 3n 3 n 2 6 5 n 1 n Cịn lim 1 n 1 Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? un A. Nếu limun a 0 ; limvn 0 và vn 0,  n thì lim . vn B. limqn ( với q 1). C. lim nk với k là một số nguyên dương. D. limqn 0 với q 1. Lời giải Chọn B Mệnh đề A đúng theo định lí về giới hạn vơ cực. Mệnh đề B chỉ đúng với q thỏa mãn q 1 cịn với q 1 thì khơng tồn tại giới hạn dãy số qn . Mệnh đề C và D đúng theo kết quả của giới hạn đặc biệt. Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số un cĩ giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n , nếu lim un a 0 . n B. Dãy số un cĩ giới hạn là 0 khi n dần tới vơ cực, nếu un cĩ thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. C. Dãy số un cĩ giới hạn khi n nếu un cĩ thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. D. Dãy số un cĩ giới hạn khi n nếu un cĩ thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Lời giải Chọn A Theo định nghĩa giới hạn ta chọn đáp án đúng là A Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ? 1 A. lim 0 . B. limqn 0 nếu q 1. n C. lim nk với k nguyên dương. D. limqn nếu q 1 Lời giải Chọn B limqn 0 nếu q 1. un Câu 6. Cho 2 dãy số un và vn thỏa mãn limun 2 , limvn 5 . Giá trị của lim bằng: vn 5 2 A. . B. . C. 7 . D.3. 2 5 Lời giải u 2 Áp dụng định lí về giới hạn hữu hạn, ta cĩ lim n . vn 5 Câu 7. Cho lim un 2,lim v n 3. Khi đĩ giá trị của giới hạn lim un . v n bằng? A. 1. B. 6. C. 5. D. 1 Lời giải. Chọn B Ta cĩ: lim un . v n lim u n .lim v n 2. 3 6 Câu 8. Cho hai hàm số f() x và g() x cĩ giới hạn hữu hạn khi x dần tới x0 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. lim[f () x g ()] x lim g () x lim f () x . x x0 x x 0 x x 0 B. lim[f () x g ()] x lim f () x lim g () x . x x0 x x 0 x x 0 C. lim[f () x g ()] x lim f () x lim g () x . x x0 x x 0 x x 0 D. lim[f () x g ()] x lim f () x lim g () x . x x0 x x 0 x x 0 Lời giải Theo định lý nếu f() x và g() x cĩ giới hạn hữu hạn khi x dần tới x0 thì lim[f () x g ()] x lim f () x lim g () x . x x0 x x 0 x x 0 Câu 9. Giới hạn lim f() x L khi và chỉ khi : x x0 A. lim f() x L . B. limfx()() limfx L . x x0 x x0 x x 0 C. lim f() x L . D. lim f( x ) lim f ( x ). x x0 x x0 x x 0 Lời giải Chọn B lim f() x L khi và chỉ khi limfx()() limfx L x x0 x x0 x x 0 limf x 2 limg x 3 lim f x g x Câu 10. Cho x 1 , x 1 . Tính x 1 ? A. 5. B. 5. C. 1. D. 1. Lời giải ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Chọn C Cĩ lim f x g x limf x lim g x 2 3 1. x 1 x 1 x 1 Câu 11. Giả sử ta cĩ lim f x a và lim g x b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x x A. lim f x g x a b . B. lim f x . g x a . b . x x f x a C. lim . D. lim f x g x a b . x g x b x Lời giải Chọn C 1 Câu 12. Với k là số nguyên dương , kết quả của giới hạn lim là x xk A. 0 . B. . C. . D. 1. Lời giải Chọn A Câu 13. Với k là số nguyên dương và k là số lẻ, kết quả của giới hạn lim xk là x A. . B. 0 . C. . D. 1. Lời giải Chọn A 2 x 2 x 1 khix 2 Câu 14. Cho hàm số f (x) . Giá trị của m để f x liên tục tại x 2 là: m2 2 khix 2 A. 3 . B. 3 . C. 3 . D. 3. Lời giải Chọn C Hàm số liên tục tại x 2 limf x f 2 . x 2 Ta cĩ lim(x2 2 x 1) 1. x 2 m 3 Vậy m 2 2 1 . m 3 Câu 15. Trong các hàm sau, hàm nào khơng liên tục trên khoảng 1;1 : A. f x x4 x 2 2. B. f x sin x . 1 C. f x . D. f x 2 x 1 . x 2 1 Lời giải Chọn D Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (Với giả thiết các đoạn thẳng và đường thẳng khơng song song hoặc trùng với phương chiếu). A. Phép chiếu song song bảo tồn thứ tự ba điểm thẳng hàng. B. Phép chiếu song song khơng làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng. C. Hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. D. Hình chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng. Lời giải Chọn B  Câu 17. Trong khơng gian cho 3 vectơ u, v ,  w khơng đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng? ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11  A. Các vectơ u v,,  v  w đồng phẳng.  B. Các vectơ u v,   u ,  2 w đồng phẳng.  C. Các vectơ u v,  v ,  2 w khơng đồng phẳng. D. Các vectơ 2 u v  u ,  v khơng đồng phẳng. Lời giải Chọn C  Vì u,, v  w khơng đồng phẳng nên :  u v,,  v  w khơng đồng phẳng,  u v,  v ,  2 w khơng đồng phẳng.  u v,   u ,  2 w khơng đồng phẳng. Các vectơ 2 u v  u ,  v hiển nhiên là đồng phẳng.  1   2  Câu 18. Cho hình hộp ABCD.'''' A B C D , MN, là các điểm thỏa MA MD , NA' NC . Mệnh 4 3 đề nào sau đây đúng ? A. MN AC' B . B. MN BC' D . C. MN A'' C D . D. MN BC' B . Lời giải Chọn B A M D B C N A' D' B' C'    Đặt BA a,', BB b BC c thì a,, b c là ba vec tơ khơng đồng phẳng và      BD BA AD BA BC a c   BC',' b c BA a b .  1    1   5  1  Ta cĩ MA MD BA BM BD BM BM BA BD 4 4 4 4    4BA BD4a a c 5 a c BM . 5 5 5 Tương tự  3a 3 b 2 c    2a 3 b c 2 3 2  3  BN , MNBNBM ac ()' bc BDBC  5   5 5 5 5 5 Suy ra MN,,' DB BC đồng phẳng mà N BC'' D MN BC D .   Câu 19. Cho tứ diện đều ABCD . Tích vơ hướng AB. CD bằng? a2 a2 A. a2 B. C. 0 D. 2 2 Lời giải Chọn C ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 D A C B          AB. CD CB CA . CD CB CD CA CD CB. CD .cos600 CACD . .cos60 0 0 . ABCD AB AC AD BAC BAD 600 Câu 20. Cho tứ diện  cĩ và . Hãy xác định gĩc giữa cặp vectơ AB và CD . A. 600 . B. 450 . C. 1200 . D. 900 . Lời giải Chọn D          Ta cĩ: ABCD AB AD AC ABAD ABAC         AB. AD cos AB , AD AB . AC cos AB , AC     AB. AD cos600 AB . AC cos 60 0     Mà AC AD AB. CD 0 AB , CD 900 a. n2 4 n 3 a 3 lim a 6. 8n2 3 4 8 4 a. n2 4 n 3 lim2 . Câu 21. Tìm a để 8n 3 4 A. a 6 . B. a 3. C. a 27 . D. a 9 . Lời giải Chọn A 4 4 2 a lim a a. n 4 nn a Ta cĩ: lim limn . 2 3 3 8n 38 8 2 lim 8 2 n n ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 a. n2 4 n 3 a 3 1 1 1 1 Câu 22. lim a 6. Tính tổng: S 1 8n2 3 4 8 4 2 4 8 2 n 1 3 2 1 A. S . B. S . C. S 2 . D. S . 2 3 2 Lời giải Chọn B 1 S là tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn với u 1; q . 1 2 u 1 2 Do đĩ ta cĩ: S 1 . 1 q 1 3 1 2 2n3 n 2 4 Câu 23. Biết lim L . Khi đĩ 1 L2 bằng 2 n 4 n3 3 1 A. 1. B. . C. 0 . D. . 4 4 Lời giải Chọn B 3 1 4 3 2 n 2 2n n 4 n n3 2 1 Ta cĩ lim3 lim . 2 n 4 n 3 2 1 4 2 n 4 n3 n 2 2 1 2 1 3 Suy ra L . Khi đĩ 1 L 1 . 2 2 4 5x 3 lim x 2 Câu 24. Tính x 5 . 3 3 A. . B. . C. 5. D. 5. 5 5 Lời giải Chọn D Ta cĩ: 3 3 3 x 5 x 5 5 5x 3 x x lim lim lim limx 5 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5 x 1 x 1 1 . x2 x2 x2 2x 1 lim Câu 25. Tính x 0 x bằng A. 2 . B. . C. . D. 1. Lời giải Chọn C 2x 1 Vì lim 2x 1 1; x 0 nên lim x 0 x 0 x Câu 26. Cho limx2 ax 5 x 5 . Giá trị của a bằng bao nhiêu ? x A. 6 . B. 10. C. 10 . D. 6 . Lời giải ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Chọn C a. x 5 a Cách 1: limx2 ax 5 x lim x x 2 x ax 5 x 2 a Mà limx2 ax 5 x 5 5 a 10. x 2 Cách 2: Bấm máy tính như sau x2 Ax 5 x + CACL + x 1010 . x2 4 khix 2 Câu 27. Cho hàm số f() x x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 4 khix 2 A. Hàm số chỉ liên tục tại điểm x 2 và gián đoạn tại các điểm x 2 . B. Hàm số khơng liên tục trên . C. Hàm số liên tục trên . D. Hàm số khơng liên tục tại điểm x 2 . Lời giải Chọn C x2 4 + Với x 2 : f() x . x 2 Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên ( ; 2), ( 2; ) . x2 4 ( x 2)( x 2) + Tại x 2 : f ( 2) 4 ; lim lim lim(x 2) 4 . x 2x 2 x 2 x 2 x 2 Hàm số đã cho liên tục tại x 2 Vậy hàm số liên tục trên . x3 27 ,x 3 Câu 28. Cho hàm số: f x x 3 , tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 27x 3 I. f x liên tục tại x 3 . II. f x gián đoạn tại x 3 . III. f x liên tục trên R . A. I. và II. B. I. và III. C. Chỉ I. D. II. và III. Lời giải Chọn B Ta cĩ: 2 x3 27 x 3 x 3 x 9 limf x lim lim lim x2 3 x 9 27 . x 3 x 3x 3 x 3 x 3 x 3 f 3 27 . Ta lại thấy limf x f 3 27 . x 3 Vậy hàm số liên tục tại x 3 hay hàm số liên tục trên R . x2 x 2 khix 2 Câu 29. Cho hàm số f x x 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục mx 2 khi x 2 tại x0 2 . ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 5 5 A. . B. . C. 2 . D. 2 . 2 2 Lời giải Chọn A TXĐ: D x2 x 2 x 2 x 1 limf x lim lim lim x 1 3. x 2 x 2x 2 x 2 x 2 x 2 f 2 2 m 2 . 5 Hàm số liên tục tại x0 2 khi và chỉ khi limf x f 2 3 2 m 2 m . x 2 2 2x2 x 6 nếu x 2 f x Câu 30. Tìm tham số m để hàm số x 2 liên tục trên . mx3 nếu x 2 A. m 1. B. m 1. C. m 2 . D. m 4 . Lời giải Chọn C Tập xác định D . 2x2 x 6 + Nếu x 2 thì hàm số f x liên tục trên các khoảng ;2 và 2; . x 2 + Tại x 2 : Ta cĩ f 2 2 m 3 . 2x2 x 6 2x 3 x 2 limf x lim lim lim 2 x 3 7 . x 2 x 2x 2 x 2 x 2 x 2 Hàm số f x liên tục trên f x liên tục tại điểm x 2 limf x f 2 x 2 2m 3 7 m 2 . Vậy m 2 . Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Gĩc giữa hai đường thẳng BA và CC ' bằng: A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . Lời giải Chọn B Ta cĩ CC'//' BB BA ,' CC BA ,' BB A ''45 BB  .   Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Gĩc giữa hai vectơ BD và CD bằng A. 90 . B. 30 . C. 45. D. 60. Lời giải Chọn C ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 A' D' B' C' A D B C       Ta cĩ CD B A B D , CD B D , B A A B D 45  . Câu 33. Cho hình chĩp S. ABC cĩ SA SB SC AB AC 1, BC 2 . Tính gĩc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 45. Lời giải Chọn A S B C H A Tam giác ABC vuơng tại A vì AB AC 1, BC 2 . Tam giác SBC vuơng tại S vì SB SC 1, BC 2 .          1 Ta cĩ SC. AB SC SB SA SC SB SC SA 0 SC . SB .cos 60  . 2     SC. AB 1 Suy ra cos SC , AB cos SC , AB . SC. AB 2 Vậy gĩc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 60 . Câu 34. Cho hình hộp ABCD EFGH Gọi I là tâm của hình bình hành ABEF và K là tâm của hình bình hành  BCGF  . Khẳng định nào dưới đây là đúng?   A. BD,, AK GF đồng phẳng. B. BD,, IK GF đồng phẳng.       C. BD,, EK GF đồng phẳng. D. BD,, IK GC đồng phẳng. Lời giải Chọn B ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 D C A B I K H G E F Vì IK, lần lượt là trung điểm của AF và CF. Suy ra IK là đường trung bình của tam giác AFC IK // AC IK // ABCD .    Mà GF // ABCD và BD ABCD suy ra ba vectơ BD,, IK GF đồng phẳng. Câu 35. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD , G là trung điểm của đoạn thẳng IJ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?          A. GA GB GC GD 0 . B. GA GB GC GD 2 IJ .           C. GA GB GC GD JI . D. GA GB GC GD 2 JI . Lời giải Chọn A   Ta cĩ G là trung điểm của đoạn thẳng IJ nên GI GJ 0 .   Lại cĩ I là trung điểm của cạnh AB nên IA IB 0   và J là trung điểm của cạnh CD nên JC JD 0 . T ừ đĩ  ta cĩ           GA GB GC GD GI IA GI IB GJ JC GJ JD       2 GI GJ IA IB JC JD 0 . II. TỰ LUẬN 2n 4 n2 n Câu 36. Tìm giới hạn: lim . n n2 2 n Lời giải Ta cĩ: 2 2 2n 4 n n 2 n 4 n n n lim 2n 4 n2 n lim lim 2 2 2n 4 n n 2n 4 n n 1 1 lim 1 4 2 4 n lim n n2 2 n 2 2 n n 2 n n n 2 n n2 n 2 2 n 2 n lim lim lim n n2 2 n n n 2 2 n n n 2 2 n 2 lim 1 2 1 1 n ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 2n 4 n2 n 1 Suy ra lim . n n2 2 n 4 Câu 37. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hai điểm M, N lần lượt thuộc BC, CD BM 1 NC 3 sao cho , . Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng. BC 4 ND 2 Lời giải BM 1      Ta cĩ: MC 3MB 4AM AC 3AB (1). A BC 4 NC 3      2NC 3ND 5AN 2AC 3AD (2). ND 2 D Cộng vế với vế c ủa (1)  với (2), ta được: B    M 4AM 5AN G N AB AC AD (3) 3 C  1    Vì G trọng tâm BCD nên AG AB AC AD (4). 3  4  5     Thay (3) vào (4) được: AG AM AN , từ hệ thức này chứng tỏ ba véc tơ AG, AM, AN đồng 9 9 phẳng. Suy ra bốn điểm A, M, N, G đồng phẳng. B lim x ( x2 2 x 2 x 2 x x ) Câu 38. Tìm giới hạn của x ? Lờigiải 2x2 2 x 2 x x 2 2 x 4 x 2 4 x Ta cĩ: x2 2 x 2 x 2 x x x2 2 x 2 x 2 x x x2 2 x x 1 2x x2 2 x 2 x 2 x x 2x . (x2 2 x 2 x 2 x x )( x 2 2 x x 1) Nên 2x2 B lim x (x2 2 x 2 x 2 x x )( x 2 2 x x 1) 2 1 lim . x 2 1 2 1 4 ( 1 2 1 1)( 1 1 ) x x x x m 2 3 2 m 2 Câu 39. Với tìm số nghiệm của phương trình x 2 mx 2 0 , với Lời giải Xét hàm số f x x3 2 mx 2 2 là hàm số liên tục trên Với m 2 , ta cĩ: f 1 1 2 m 2 1 2 m 0 1 f 0 2 0 2 f 1 1 2 m 2 3 2 m 0 3 lim f x 4 . x Từ 1 , 2 , 3 và 4 f x 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 x1 0 x 2 1 x 3 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 3 Do đĩ suy ra phương trình x 2 mx2 2 0 cĩ 4 nghiệm phân biệt. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 ĐỀ SỐ 4 ĐỀ ƠN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II Mơn: Tốn 11 Thời gian: 90 phút (Đề gồm 35 câu TN, 4 câu tự luận) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. limvn 0 nếu lim vn a 0 . B. limvn a nếu lim vn a 0 . C. limvn 0 nếu lim vn a 0 . D. limvn a nếu lim vn a 0 . Câu 2. [ NB] Cho limun 4 , limvn 1. Khi đĩ lim un v n bằng A. 3. B. 4 . C. 5. D.5. Câu 3. [ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ? Nếu limun a và limvn b thì un a A. lim un v n a b . B. lim . vn b C. lim un v n a b . D. lim un . v n a . b Câu 4. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. Ta nĩi dãy số un cĩ giới hạn khi n , nếu un cĩ thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. B. Ta nĩi dãy số un cĩ giới hạn khi n , nếu un cĩ thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. C. Ta nĩi dãy số un cĩ giới hạn khi n , nếu un cĩ thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. D. Ta nĩi dãy số un cĩ giới hạn khi n , nếu un cĩ thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. Câu 5. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? A. limqn 0,  q R . B. limc c với c là hằng số. n 1 1 C. limk 0 với k nguyên dương . D. lim 0 . n n Câu 6. [ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng ? vn A. Nếu limun a và lim vn thì lim 0 . un un B. Nếu limun a , limvn 0 và vn 0 với mọi n thì lim . vn C. Nếu un 0 với mọi n và limun a thì a 0 và lim un a . D. Nếu limun và limvn a thì limun v n . un Câu 7. [ NB] Cho limun 2, limvn 0 và vn 0 . Khi đĩ lim bằng vn A. 2. B. . C. 0 . D. . x 2019 Câu 8. [NB] Tính lim . x 1 x 2020 2019 2021 2018 2020 A. . B. . C. . D. . 2020 2022 2019 2021 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Câu 9. [NB] Cho limg x 3 , limh x 10 . Tính lim h x g x . x 2 x 2 x 2 A. 7. B. 7. C. 13. D. 13 . 3x 8 khi x 2 Câu 10. [NB] Cho hàm số f x . Tìm lim f x . 2 x 2 x khi x 2 x 2 A. 0. B. 2. C. 8 . D. 14 . Câu 11. [NB] Cho limf x L ; lim g x M , với LM, . Chọn khẳng định sai. x x0 x x 0 A. lim f x g x L M . B. lim f x .g x L . M . x x0 x x0 f x L C. lim . D. lim f x g x L M . x x0 g x M x x0 Câu 12. [NB] Cho k là một số nguyên dương. Chọn mệnh đề sai. 8 A. lim x2k . B. lim xk . C. lim 0 . D. lim 8xk . x x x xk x Câu 13. [NB] Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm số y f x . Hãy quan sát đồ thị và cho biết limf x , lim f x , lim f x , lim f x lần lượt cĩ giá trị bằng: x 1 x 1 x x A. 1; ; ;1. B. ; ;1;1 C. 1;1; ; D. ; ;1;1. Câu 14. [NB] Cho hàm số f x xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f x liên tục tại x a nếu A. f x cĩ giới hạn hữu hạn khi x a . B. limf x lim f x . x a x a C. lim f x f a . D. limf x lim f x a . x a x a x a x2 1 Câu 15. [NB] Hàm số f x liên tục trên khoảng nào sau đây? x2 5 x 6 A. 6;1 . B. 1;6 . C. 1; . D. ;6 . Câu 16. [NB] Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu P tại điểm A thì hình chiếu của a sẽ là A. Điểm A. B. Trùng với phương chiếu. C. Đường thẳng đi qua A. D. Đường thẳng đi qua A hoặc chính A. Câu 17. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cắt nhau từng đơi một thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. B. Nếu trong ba vectơ a , b , c cĩ một vectơ 0 thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 C. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. D. Nếu trong ba vectơ a , b , c cĩ hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp . Chọn đẳng thức đúng.    ABCD  . A B C D     A. DB DA DD DC . B. AC AC AB AD .         C. DB DA DD DC . D. AC AB AB AD . Câu 19. [NB] Cho hai đường thẳng a, b lần lượt cĩ véc tơ chỉ phương là u, v . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu a b thì u. v 0 . B. Nếu u. v 0 thì a b . u. v u. v C. cos(a , b ) . D. cos(a , b ) . u. v u. v Câu 20. [NB] Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuơng gĩc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuơng gĩc với một đường thẳng thì vuơng gĩc với nhau. C. Một đường thẳng vuơng gĩc với một trong hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau thì song song với đường thẳng cịn lại. D. Một đường thẳng vuơng gĩc với một trong hai đường thẳng song song thì vuơng gĩc với đường thẳng cịn lại. 5un 7 Câu 21. [TH] Cho dãy số un cĩ limun 7 . Tính giới hạn lim . 7un 5 5 14 7 A. 7 . B. . C. . D. . 7 15 11 Câu 22. [TH] Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 A n 1 n . 3 9 27 3 2 4 8 2 4 2 5 A. . B. 1. C. . D. . 3 3 6 4 2n3 1 2 n 3 10 Câu 23. [TH] Giới hạn của dãy số u với u là: n n 2n22 2 15 A. 2 . B. . C. 213 . D. 218 . 4 3x2 2 x 3 Câu 24. [TH] Tính giới hạn sau: lim 2 . x 4x 1 2 x 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 x3 2 x 5 Câu 25. [TH] Kết quả của lim 2 bằng: x 2 x 2 x 9 1 A. . B. . C. . D. . 8 8 Câu 26. [TH] Cho limx2 ax 6 x 5 với a . Giá trị của a là: x A. 6 B. 10 C. 10 D. 6 Câu 27. [TH] Hàm số nào được cho dưới đây liên tục trên tập số thực ? ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 x 1 x 1 x 1 x 1 A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 x 1 x2 1 x2 1 3 khi x 1 x4 x Câu 28. [TH] Hàm số f x 2 khi x 1; x 0 liên tục tại x x 1 khi x 0 A. x 0; x 1. B. Mọi điểm x . C. Mọi điểm trừ x 1. D. Mọi điểm trừ x 0 . x2 4 khi x 2 Câu 29. [TH] Cho hàm số y f x x 2 . 5 khi x 2 Khẳng định nào sau đây đúng về tính liên tục của hàm số đã cho? A. Hàm số liên tục trên . B. Hàm số liên tục trên các khoảng ;2 và 2; , gián đoạn tại x 2 . C. Hàm số liên tục trên các khoảng ;4 và 4; , gián đoạn tại x 4 . D. Hàm số liên tục trên các khoảng ;5 và 5; , gián đoạn tại x 5 . x2 a khi x 1 Câu 30. [TH] Cho hàm số y f x . 3 khi x 1 Với giá trị nào của tham số thực a thì hàm số đã cho liên tục trên ? A. a 2. B. a 1. C. a 4 . D. a 3. Câu 31. [TH] Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D . MN, lần lượt là trung điểm của AB và BB'.   Gĩc giữa hai vectơ MN và AC'' bằng. A. 0o . B. 60o . C. 90o . D. 30o . Câu 32. [TH] Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của BC và AD''. Gĩc giữa hai đường thẳng MN và BC' là. A. 90 . B. 45. C. 30 . D. 60 . Câu 33. [TH] Cho tứ giác ABCD cĩ ABC CDA 900 , AB DC . Gọi MNEF,,, lần lượt là trung điểm của AB,,, CD AD BC . Biết AC BD . Gĩc giữa MN và EF bằng A. 900 . B. 300 . C. 600 . D. 450 . Câu 34. [TH] Cho hình hộp ABCD. EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABFE và K là tâm hình bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?       A. BD , AK , GF đồng phẳng. B. BD , IK , GF đồng phẳng.       C. BD , EK , GF đồng phẳng. D. BD , IK , GC đồng phẳng.  Câu 35. [TH] Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB b ,   AC c , AD d .Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1 A. MP c d b . B. MP d b c . 2 2  1  1 C. MP c b d . D. MP c d b . 2 2 II. PHẦN TỰ LUẬN 1 lim 9n 2.3 n 3 n Câu 1. [VD] Tính 2021 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Câu 2. [VD] Cho tứ diện ABCD, trên cạnh AB, CD lấy điểm P, Q sao cho AP 4 PB , CD 5 CQ .    Chứng minh AD,, BC PQ đồng phẳng. 4x 3 3 6 x 5 Câu 3. [VD] Tính lim . x 1 x3 x 2 x 1 Câu 4. [VDC] 1. Cho phương trình: x3cos 3 x m x cos x 1 x cos x 2 0 . Chứng minh phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi m. 2. Cho phương trình: m2 m 2021 x 3 2 m 2 2 m 4040 x 2 4 x m 2 m 2021 0 . Chứng minh phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. Hết ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 1B 2D 3B 4C 5A 6C 7B 8D 9A 10A 11C 12B 13B 14C 15B 16D 17A 18A 19D 20D 21D 22B 23C 24A 25B 26C 27C 28B 29B 30A 31B 32D 33A 34B 35A LỜI GIẢI I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. limvn 0 nếu lim vn a 0 . B. limvn a nếu lim vn a 0 . C. limvn 0 nếu lim vn a 0 . D. limvn a nếu lim vn a 0 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số : limvn a nếu lim vn a 0 Câu 2. [ NB] Cho limun 4 , limvn 1. Khi đĩ lim un v n bằng A. 3. B. 4 . C. 5. D.5. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn hữu hạn. Ta cĩ: lim un v n 4 1 5. Câu 3. [ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ? Nếu limun a và limvn b thì un a A. lim un v n a b . B. lim . vn b C. lim un v n a b . D. lim un . v n a . b Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lí về giới hạn hữu hạn u a Theo định lý về giới hạn hữu hạn, ta cĩ: lim n (nếu b 0 ). vn b Câu 4. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. Ta nĩi dãy số un cĩ giới hạn khi n , nếu un cĩ thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. B. Ta nĩi dãy số un cĩ giới hạn khi n , nếu un cĩ thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. C. Ta nĩi dãy số un cĩ giới hạn khi n , nếu un cĩ thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. D. Ta nĩi dãy số un cĩ giới hạn khi n , nếu un cĩ thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định nghĩa dãy số dẫn tới vơ cực. Theo định nghĩa giới hạn vơ cực: Ta nĩi dãy số un cĩ giới hạn khi n , nếu un cĩ thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. Câu 5. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? A. limqn 0,  q R . B. limc c với c là hằng số. ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 n 1 1 C. limk 0 với k nguyên dương . D. lim 0 . n n Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được một số giới hạn đặc biệt. Ta cĩ limqn 0 nếu q 1 Câu 6. [ NB] Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng ? vn A. Nếu limun a và lim vn thì lim 0 . un un B. Nếu limun a , limvn 0 và vn 0 với mọi n thì lim . vn C. Nếu un 0 với mọi n và limun a thì a 0 và lim un a . D. Nếu limun và limvn a thì limun v n . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn vơ cực và giới hạn hữu hạn. un Nếu limun a và lim vn thì lim 0 . vn un Nếu limun a 0 , limvn 0 và vn 0 với mọi n thì lim . vn Nếu limun và limvn a 0 thì limun v n . un Câu 7. [ NB] Cho limun 2, limvn 0 và vn 0 . Khi đĩ lim bằng vn A. . B. . C. 0 . D. . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được định lý về giới hạn vơ cực. un Ta cĩ limun 2 0 , limvn 0 và vn 0 nên theo định lý về giới hạn vơ cực ta cĩ lim . vn x 2019 Câu 8. [NB] Tính lim . x 1 x 2020 2019 2021 2018 2020 A. . B. . C. . D. . 2020 2022 2019 2021 Lời giải Yêu cầu cần đạt: nhận biết được giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. x 2019 1 2019 2020 Ta cĩ: lim . x 1 x 2020 1 2020 2021 Câu 9. [NB] Cho limg x 3 , limh x 10 . Tính lim h x g x . x 2 x 2 x 2 A. 7. B. 7. C. 13. D. 13 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: nhận biết được hiệu của hai giới hạn (định lý về giới hạn hữu hạn) Cĩ lim h x g x limh x lim g x 10 3 7 . x 2 x 2 x 2 3x 8 khi x 2 Câu 10. [NB] Cho hàm số f x . Tìm lim f x . 2 x 2 x khi x 2 x 2 A. 0. B. 2. C. 8 . D. 14 . Lời giải ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Yêu cầu cần đạt: nhận biết được giới hạn trái của hàm số. Ta cĩ: limf x lim x2 2 x 2 2 2.2 8 . x 2 x 2 Câu 11. [NB] Cho limf x L ; lim g x M , với LM, . Chọn khẳng định sai. x x0 x x 0 A. lim f x g x L M . B. lim f x .g x L . M . x x0 x x0 f x L C. lim . D. lim f x g x L M . x x0 g x M x x0 Lời giải Yêu cầu cần đạt: nắm chắc các quy tắc tính giới hạn Khẳng định C chỉ đúng khi M 0 . Câu 12. [NB] Cho k là một số nguyên dương. Chọn mệnh đề sai. 8 A. lim x2k . B. lim xk . C. lim 0 . D. lim 8xk . x x x xk x Lời giải Yêu cầu cần đạt: nắm chắc các giới hạn vơ cực và giới hạn 0 Khi k là số chẵn tức là k cĩ dạng k 2 m thì limxk lim x2 m . x x Câu 13. [NB] Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm số y f x . Hãy quan sát đồ thị và cho biết limf x , lim f x , lim f x , lim f x lần lượt cĩ giá trị bằng: x 1 x 1 x x A. 1; ; ;1. B. ; ;1;1 C. 1;1; ; D. ; ;1;1. Lời giải Yêu cầu cần đạt: nắm chắc kiến thức về giới hạn 1 bên và giới hạn tại vơ cực Chọn B Câu 14. [NB] Cho hàm số f x xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f x liên tục tại x a nếu A. f x cĩ giới hạn hữu hạn khi x a . B. limf x lim f x . x a x a C. lim f x f a . D. limf x lim f x a . x a x a x a Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 Cho hàm số f x xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f x liên tục tại x a nếu lim f x f a . x a x2 1 Câu 15. [NB] Hàm số f x liên tục trên khoảng nào sau đây? x2 5 x 6 A. 6;1 . B. 1;6 . C. 1; . D. ;6 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng TXĐ : D\;. 1 6 Hàm số liên tục trên các khoảng: ; 1 ; 1;6 ; 6; . Vì vậy hàm số liên tục trên khoảng 1;6 . Câu 16. [NB] Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu P tại điểm A thì hình chiếu của a sẽ là A. Điểm A. B. Trùng với phương chiếu. C. Đường thẳng đi qua A. D. Đường thẳng đi qua A hoặc chính A. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm phép chiếu song song. Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là điểm A. Nếu phương chiếu khơng song song hoặc khơng trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm A. Câu 17. [NB] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cắt nhau từng đơi một thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. B. Nếu trong ba vectơ a , b , c cĩ một vectơ 0 thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. C. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. D. Nếu trong ba vectơ a , b , c cĩ hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đĩ đồng phẳng. Lời giải Tác giả: Hồ Hữu Tình Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái niệm ba vectơ trong khơng gian đồng phẳng Dựa vào khái niệm ba vectơ đồng phẳng. Câu 18. [NB] Cho hình hộp . Chọn đẳng thức đúng.    ABCD  . A B C D     A. DB DA DD DC . B. AC AC AB AD .         C. DB DA DD DC . D. AC AB AB AD . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Chỉ ra được quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong khơng gian B' C' A' D' B C A D ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11     Theo quy tắc hình hộp ta cĩ DB DA DD DC . Câu 19. [NB] Cho hai đường thẳng a, b lần lượt cĩ véc tơ chỉ phương là u, v . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu a b thì u. v 0 . B. Nếu u. v 0 thì a b . u. v u. v C. cos(a , b ) . D. cos(a , b ) . u. v u. v Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết khái niệm tích vơ hướng của hai véc tơ trong khơng gian u. v Gĩc giữa 2 đường thẳng trong khơng gian luơn là gĩc nhọn hoặc vuơng nên cos(a , b ) . u. v Câu 20. [NB] Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuơng gĩc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuơng gĩc với một đường thẳng thì vuơng gĩc với nhau. C. Một đường thẳng vuơng gĩc với một trong hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau thì song song với đường thẳng cịn lại. D. Một đường thẳng vuơng gĩc với một trong hai đường thẳng song song thì vuơng gĩc với đường thẳng cịn lại. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được khái ni ệm và điều kiện vuơng gĩc giữa hai đường thẳng Đường thẳng cĩ véc tơ chỉ phương u1 1 Đường thẳng cĩ véc tơ chỉ phương u 2 2 Đường thẳng d cĩ véc tơ chỉ phương v   // u ,u cùng phương  1 2 1 2 v.u 0 d d  2  2  1 v.u 0 1 5un 7 Câu 21. [TH] Cho dãy số un cĩ limun 7 . Tính giới hạn lim . 7un 5 5 14 7 A. 7 . B. . C. . D. . 7 15 11 Lời giải Yêu cầu cần đạt: Tìm được một số giới hạn đơn giản. 5u 7 5.7 7 7 Ta cĩ lim n . 7un 5 7.7 5 11 Câu 22 . [TH] Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 A n 1 n . 3 9 27 3 2 4 8 2 4 2 5 A. . B. 1. C. . D. . 3 3 6 Lời giải Yêu cầu cần đat: Học sinh tính được tổng một cấp số nhân lùi vơ hạn đơn giản. u Áp dụng cơng thức cấp số nhân lùi vơ hạn: S 1 ta cĩ: 1 q ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 1 1 1 1 1 1 Xét S 3 . 1 n 1 3 9 27 31 2 3 1 1 1 1 1 Xét S 1 2 . 2 n 1 2 4 8 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đĩ: ASS n 1 n 1 . 2 .2 1. 3 9 27 3 2 4 8 2 2 4 2n3 1 2 n 3 10 Câu 23. [TH] Giới hạn của dãy số u với u là: n n 2n22 2 15 A. 2 . B. . C. 213 . D. 218 . 4 Yêu cầu cần đạt: Tìm được một số giới hạn đơn giản. Ta cĩ: 4 2n3 1 2 n 3 10 limu lim n 2n22 2 4 10 4 10 12 1 10 3 1 3 n 2 . n 2 2 . 2 n3 n n 3 n lim lim 213 . 2 22 2 n 2 2 22 n22 n 3x2 2 x 3 Câu 24 . [TH] Tính giới hạn sau: lim 2 . x 4x 1 2 x 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 Lời giải Yêu cầu cần đat: Học sinh biết cách tính giới hạn đến vơ cực 2 2 3 3x2 2 x 3 3x 2 x 1 2 x 4 x 1 2 x 4 2 x 3 3 x 2 Ta cĩ: lim 2 lim lim x 4x 1 2 x 1 x 4x 1 2 x2 1 x 4 x 1 2 x 2 1 4 2 3 2 3 x 2 2 x 2 2 x x x x lim lim . x x 3 1 1 1 1 x 4 2 2 4 2 2 x x x x x3 2 x 5 Câu 25. [TH] Kết quả của lim 2 bằng: x 2 x 2 x 9 1 A. . B. . C. . D. . 8 8 Lời giải Yêu cầu cần đạt: Học sinh hiểu được giới hạn một bên để từ đĩ biết được khi nào ra hay . x3 2 x 5 Ta cĩ : lim 2 x 2 x 2 x ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 lim x3 2 x 5 1 x 2 Vì limx2 2 x 0 x 2 x 2 x 2 x2 2 x x x 2 0 Câu 26. [TH] Cho limx2 ax 6 x 5 với a . Giá trị của a là: x A. 6 B. 10 C. 10 D. 6 Lời giải Yêu cầu cần đạt: Học sinh nhận biết được thế nào là dạng và cách khử dạng vơ định đĩ. x2 ax 6 x x 2 ax 6 x Ta cĩ: limx2 ax 6 x lim x x x2 ax 6 x x2 ax 6 x 2 lim x x2 ax 6 x 6 x a x lim x a 6 x 1 2 1 x x 6 a a lim x x a 6 2 1 2 1 x x a Theo đề bài, ta lại cĩ: 5 a 10 2 Câu 27. [TH] Hàm số nào được cho dưới đây liên tục trên tập số thực ? x 1 x 1 x 1 x 1 A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 x 1 x2 1 x2 1 Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định. x 1 Phương án A hàm số y cĩ tập xác định là \ 1 nên hàm số gián đoạn tại x 1. x 1 x 1 Phương án B hàm số y cĩ tập xác định là \ 1 nên hàm số gián đoạn tại x 1. x 1 x 1 Phương án D hàm số y cĩ tập xác định là \ 1 nên hàm số gián đoạn tại x 1. x2 1 x 1 Phương án C hàm số y là hàm phân thức hữu tỉ cĩ tập xác định là nên nĩ liên tục x2 1 trên . 3 khi x 1 x4 x Câu 28. [TH] Hàm số f x 2 khi x 1; x 0 liên tục tại x x 1 khi x 0 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn tập BKII Tốn 11 A. x 0; x 1. B. Mọi điểm x . C. Mọi điểm trừ x 1. D. Mọi điểm trừ x 0 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Giải thích được tính liên tục tại một điểm của hàm số. Hàm số y f x cĩ TXĐ: D Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ; 1 , 1;0 và 0; . Xét tại x 1, ta cĩ: 4 x x 1 x2 x 1 x x 2 limf x lim2 lim lim x x 1 3 f 1 . x 1 x 1x x x 1 x x 1 x 1 hàm số y f x liên tục tại x 1. Xét tại x 0 , ta cĩ: 4 x x 1 x2 x 1 x x 2 limf x lim2 lim lim x x 1 1 f 0 . x 0 x 0x x x 0 x x 1 x 0 hàm số y f x liên tục tại x 0 . x2 4 khi x 2 Câu 29. [TH] Cho hàm số y f x x 2 . 5 khi x 2 Khẳng định nào sau đây đúng về tính liên tục của hàm số đã cho? A. Hàm số liên tục trên . B. Hàm số liên tục trên các khoảng ;2 và 2; , gián đoạn tại x 2 . C. Hàm số liên tục trên các khoảng ;4 và 4; , gián đoạn tại x 4 . D. Hàm số liên tục trên các khoảng ;5 và 5; , gián đoạn tại x 5 . Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định. x2 4 Trên các khoảng ;2 và 2; , hàm số y là hàm phân thức hữu tỉ xác định nên x 2 liên tục. Xét hàm số tại x 2 : x2 4 x 2 x 2 limf x lim lim lim x 2 4 x 2 x 2x 2 x 2 x 2 x 2 f 2 5 Vì limf x f 2 nên hàm số gián đoạn tại x 2 . x 2 x2 a khi x 1 Câu 30. [TH] Cho hàm số y f x . 3 khi x 1 Với giá trị nào của tham số thực a thì hàm số đã cho liên tục trên ? A. a 2. B. a 1. C. a 4 . D. a 3. Lời giải Yêu cầu cần đạt: Xét được tính liên tục của hàm số trên 1 khoảng, trên tập xác định. Trên khoảng ;1 , hàm số y x2 a là hàm đa thức nên liên tục. Trên khoảng 1; , hàm số y 3 là hàm đa thức nên liên tục. Xét hàm số tại x 1: ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đơng ID Tik Tok: dongpay