Đề kiểm tra vòng 1 học sinh giỏi môn Toán học Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Tân Tiến (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra vòng 1 học sinh giỏi môn Toán học Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Tân Tiến (Có đáp án)

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KT VềNG 1 HỌC SINH GIỎI LỚP 7 TRƯỜNG THCS TÂN TIẾN NĂM HỌC 2018 – 2019 Mụn: Toỏn Thời gian làm bài: 150 phỳt (Đề gồm 02 trang) Bài 1. (3 điểm) 2 2 1 1 0,4 0,25 2018 1) Tớnh giỏ trị biểu thức: A 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2019 9 11 6 a 2 2) Cho biết b c : và a, b, c khỏc 0. Tớnh giỏ trị biểu thức: 2 3 5 5 5 c 1 a 3 b Q = 2018 . 2 . a 3 b 2 c Bài 2. (4,5 điểm) a b c 1) Tỡm a, b, c biết a2 + 3b2 – 2c2 = - 16 và 2 3 4 2020 2018 3 2) Tỡm x, y biết: (3x – 1) + y 0 5 3) Tỡm cỏc cặp số nguyờn dương (a,b) biết: 3a – b + ab = 8 Bài 3. (4,0điểm) + 3 + 4 a3 33 1) Cho = . Tớnh giỏ trị biểu thức D = ― 3 ― 4 b3 43 2) (3,0 điểm). 3 2 1 a) Cho cỏc số a,b,c thỏa món ( giả thiết cỏc tỉ số đều cú nghĩa). Tớnh a b b c c a a b 2019c giỏ trị biểu thức P . a b 2018c ab bc b) Cho ab , bc (c 0 ) là cỏc số cú hai chữ số thỏa món điều kiện: . a b b c Chứng minh rằng: b2 ac . Bài 4. (2,5 điểm) Ba thửa ruộng hỡnh chữ nhật A, B, C cú cựng diện tớch. Chiều rộng của 3 thửa ruộng A, B, C lần lượt tỷ lệ với 3; 4; 5. Chiều dài của thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài của 2 thửa ruộng B và C là 35 một. Tớnh chiều dài mỗi thửa ruộng,
2. Bài 5. (6 điểm) 1 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, Cà Bà , kẻ AH vuụng gúc với BC tại H. Trờn tia HC 2 lấy điểm D sao cho HD = HB. Từ C kẻ đường thẳng CE vuụng gúc với đường thẳng AD. a) Tam giỏc ABD là tam giỏc gỡ? Vỡ sao? b) Chứng minh rằng AD = CD; DE = DH; HE // AC BC 2 AD2 c) So sỏnh: HE2 và 4 .Hết
3. HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN 7 Năm học: 2018 – 2019 Hướng dẫn chấm Điểm Bài 1. (3 điểm) 1) 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 0,5 0,4 0,25 9 11 3 5 2018 5 9 11 3 4 5 2018 A : : 7 7 1 2019 7 7 7 7 7 7 2019 0,5 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6 5 9 11 6 8 10 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 0,5 5 9 11 3 4 5 2018 5 9 11 3 4 5 2018 A : : 7 7 7 7 7 7 2019 1 1 1 7 1 1 1 2019 7( ) ( ) 5 9 11 6 8 10 5 9 11 2 3 4 5 2 2 2018 A ( ) : 0 7 7 2019 2) a 2 a 2b 3c 0,25 Vỡ: b c : 0 0 a 2b 3c 0 2 3 2 Suy ra: a – 2b = 3c; 3c – a = - 2b; 3c + 2b = a 0,25 Ta cú: 5 5 5 3c a a 2b 3c 2b Q = 2018 . . 3a b 2c 5 0,5 3c a a 2b 3c 2b => Q = 2018 . . 3a b 2c 5 2b.3c.a 0,5 Q = 2018 2018 ( 1) 2019 3a.b.2c Bài 2. (4,5 điểm) 1) a b c Tỡm a, b, c biết a2 + 3b2 – 2c2 = - 16 và 2 3 4 a b c a2 3b2 2c2 0,5 Ta cú: => và a, b, c cựng dấu. 2 3 4 4 27 32 Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau: 0,25 a2 3b2 2c2 a2 3b2 2c2 16 16 4 27 32 4 27 32 1 Suy ra: a2 = 16.4 => a = ± 8 0,5 b2 = 16.9 => b = ± 12 c2 = 16.16 => c = ± 16 Vậy cỏc số a, b, c cần tỡm là: 0,25 (a = 8; b = 12; c = 16) hoặc (a = -8; b = -12; c = -16) 2) 2020 2018 3 Ta cú: (3x – 1) + y 0 5
4. 2020 2018 3 Vỡ: (3x – 1) ≥0; y 0 0,5 5 2020 2018 3  (3x – 1) = 0; y 0 5 0,5 3  3x – 1 = 0; y 0 5 1 3  x = ; y = 3 5 0,5 3) 3a – b + ab = 8  (ab – b) + (3a – 3) = 5  b(a – 1) + 3(a – 1) = 5  (a – 1)(b + 3) = 5 0,5 Lập bảng ta cú: a – 1 1 5 -1 -5 a 2 6 0 -4 b + 3 5 1 -5 -1 b 2 -2 -8 -4 0,5 Nhận định Thỏa món Khụng tm Khụng tm Khụng tm Vậy cỏc cặp số nguyờn dương (a,b) cần tỡm là (2;2) 0,5 Bài 3. (4,0 điểm) 1) Ta cú: a 3 0,5 Từ GT ta chứng minh được: b 4 3 3 a 3 a3 33 a3 33 a3 33 27 Từ ⇔ 3 3 3 3 Suy ra D = 3 3 0,5 b 4 b 4 b 4 b 4 64 2) a (1,5 điểm). Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 3 2 1 6 3 0,5 a b b c c a 2(a b c) a b c 3 3 0,5 Từ đú ta cú: suy ra a b a b c => c 0 a b a b c a b 2019c a b 0,5 Do đú: P 1 a b 2018c a b b (1,5 điểm) ab bc 10a b 10b c 9a (a b) 9b (b c) Ta cú: 0,5 a b b c a b b c a b b c 9a 9b a b Từ đú suy ra: 1 1 0,5 a b b c a b b c a b Từ a(b c) b(a b) ab ac ab b2 b2 ac 0,5 a b b c Bài 4. (2,5điểm)
5. Gọi chiều dài của 3 thửa ruộng A, B, C lần lượt là x, y, t (m), (x, y, t > 0) Và y 0,5 + t – x = 35 Gọi chiều rộng của 3 thửa ruộng A, B, C lần lượt là a, b, c (m) (a, b, c > 0) 0,5 a b c Ta cú ax = by = ct (1) (do DT bằng nhau) và 3 5 4 0,5 a b c Đặt k nờn a = 3k, b = 5k, c = 4k (thay vào (1)) 3 5 4 x y t y t x 35 0,5 Ta được 2k.x = 5k.y = 4k.t suy ra: 5 20 12 15 12 15 20 7 Từ đú tớnh được x = 100; y = 60; t = 75 0,5 Bài 5. (6 điểm) A 1 3 2 1 B C 0,5 H 1 2 D I 1 E K a) Ta cú: ∆ABC vuụng tại A, suy ra Bà Cà 900 1 0,5 Mà Cà Bà nờn Cà 300 ; Bà 600 2 0,5 Chứng minh ∆AHB = ∆AHD (c-g-c) Suy ra AB = AD, nờn ∆ABD cõn tại A Mà Bà 600 (cmt) 0,5 Vậy ∆ABD là tam giỏc đều b) Chứng minh: ∆AHD = ∆CED (cạnh huyền – gúc nhọn) Suy ra: DH = DE (hai cạnh tương ứng) 0,5 Ta cú: ∆ABD là tam giỏc đều (cmt), suy ra Bã AD 600 ; AB = AD = BD à ã ã 0 0 0 Suy ra: A1 BAC BAD 90 60 30 à à 0 ∆ADC cú A1 C 30 nờn ∆ADC cõn tại D, suy ra AD = CD và ả 0 à 0 0 0 D1 180 2C 180 2.30 120 0,5 ả ả 0 Suy ra: D2 D1 120 Do ∆HDE cõn tại D
6. 1800 Dả 1800 1200 Suy ra: Hả Eà 2 300 1 1 2 2 0,5 à à 0 Suy ra: A1 E1 30 . Vậy HE // AC 0,5 c) ả à 0 ∆AHB = ∆AHD (cmt). Suy ra A2 A3 30 0,5 ả à 0 ∆AHE cú A2 E1 30 nờn ∆AHE cõn tại H Suy ra AH = HE => AH2 = HE2 ∆AHB vuụng tại H 2 2 2 2 2 2 2 BD 2 BD 3BD 0,5 AH = AB – BH = BD BD (1) 2 4 4 Ta cú: AD = BD = CD => BC = 2BD BC 2 AD2 (2BD)2 BD2 3BD2 0,5 => (2) 4 4 4 BC 2 AD2 Từ (1) và (2) suy ra HE 2 0,5 4