Đề thi định kỳ lần 4 môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT chuyên Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi định kỳ lần 4 môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT chuyên Bắc Ninh (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH ĐỀ THI ĐỊNH KÌ LẦN 4 NĂM HỌC 2018 - 2019 TỔ: TOÁN TIN Môn: TOÁN (Dành cho lớp 11 Toán) Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). a) Phương trình sin x cos x 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  2019 ;2019  ? Giải thích. 1 3 b) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 13n . Tìm số hạng không chứa xtrong khai n 1 1 triển của biểu thức x x 4 với x 0 . x Câu 2 (2,0 điểm). 3 2 * a) Cho dãy un xác định bởi: u1 e ,un 1 un (n ¥ ). Tìm số nguyên dương k thỏa mãn 3069 u1.u2 uk e . b) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3B3C3 , sao cho A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ,2 tam giác An BnC nlà tam giác trung bình của tam giác An 1Bn 1Cn 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S S1 S2 Sn Câu 3 (3,0 điểm). a) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm cạnh AD. Biết AB a, AD a 2 và góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 4Tính5o. khoảng cách từ .đếnS mặt phẳng (ABCD) và chứng minh hai mặt phẳng (SAC), (SBM) vuông góc với nhau. b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Gọi D là chân đường phân giác trong 5 kẻ từ A. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ABD lần lượt là phươngI(2;1 ), E( ;2); 3 trình AvàD điểm: x Ay có 0hoành độ lớn hơn 2. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. n 1 a a , n 1,2, Câu 4 (1,0 điểm). Cho dãy số n được xác định như sau n  k Chứng minh dãy k 0 Cn an có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Câu 5 (1,0 điểm). Bạn Hoan viết lên bảng các số 1, 2, 3, , 2019. Mỗi một bước Hoan xóa hai số a ab và b bất kỳ trên bảng và viết thêm số . Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi a b 1 1 thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số . 2019 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: . .
2. ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung Điểm 1 x k2 Ta có: sin x cos x 0 cos x 2 k,m ¢ 0,25 4 2 x m2 2019 k2 2019 2019 x 2019 2 2019 m2 2019 0,5 a 4039 4037 1009,75 k 1009,25 4 4 1009,5 m 1009,5 1 k 1009, 1008, ,1008,1009 Do k ¢ nên 0,25 m 1009, 1008, ,1008,1009 Vậy có 2019 2019 4038 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. n! n n 1 n 2 C1 C3 13n n 13n n 13n 6 n2 3n 2 78 n n 3! n 3 ! 6 0,5 2 n 7 . n 3n 70 0 . Vì n là số nguyên dương nên n 10 . n 10 n 1 11 k 11 11 k 11 3 b 1 1 k 1 k 11 k 4k x x x x C x x C x 2 . 4 4  11 4  11 x x k 0 x k 0 0,5 3 Số hạng không chứa x tương ứng với k tm: 11 k 4k 0 k 3 . 2 3 Vậy số hạng cần tìm là C11 165 . Chỉ ra u evn , với v 3.2n 1 ,n ¥ * . n n 0,25 k 3 2k 1 0,5 2 1 k v1 v2 vk Ta có: v1 v2 vk 3. 3 2 1 và u1.u2 uk e e . a 2 1 Do đó: 3 2k 1 3069 2k 1 1023 2k 1024 k 10 . 0,25 2 2 3 3 3 3 1 Ta có S . 3. 3 ; S . . .S ; 1 3 2 2 3 4 4 1 0,5 2 2 3 3 3 1 S . . .S 3 2 4 3 16 4 b Ta có S1 , S2 , S3 , , Sn tạo thành CSN lùi vô hạn với số hạng đầu là S1 3 1 S 3 và công bội q . Suy ra S S S S 1 4 . 1 2 n 1 0,5 4 1 q 1 4 S Góc giữa SD và (ABCD) là S· DA 45o. Suy ra: SA AD a 2. 0,5 M A D a B C
3.     1   1 Ta có: AC.BM (AB AD)( AD AB) AD2 AB2 0, suy ra 2 2 AC  BM (1). 0,5 Mặt khác SA  (ABCD) SA  BM (2). Từ (1) và (2) ta có (SAC)  BM. Vậy (SAC)  (SBM ). Vì A AD nên A(a;a) (a 2). Phương trình IE :3x y 7 0, phương trình AB qua A vuông góc với IE là: x 3y 2a 0. Tọa độ trung điểm M của AB 3 21 2a 6a 7 là M ( ; ). 10 10 21 7a a 7 Suy ra B( ; ). Gọi F là giao điểm khác A của AD với đường tròn 5 5 ngoại tiếp tam giác ABC và N là trung điểm AF. Ta có b 3 3 N( ; ) F(3 a;3 a). 2 2 1,0 Ta có D· BF B· AD, suy ra BF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Do đó BE  BF. A M E I N B D C F  1  1 BE (21a 38;9 3a); BF (2a 6;8 6a). 15 5   a 3 Khi đó: BE.BF 0 50 Suy ra: A(3;3); B(0;2); F(0;0). 1,0 a . 31 Phương trình IF : x 2y 0, BC : 2x y 2 0. Tọa độ trung điểm BC là 4 2 8 6 ( ; ). Do đó C( ; ). 5 5 5 5 n 1 Bằng quy nạp chứng minh hệ thức a a 1,n 2,3, n 2n n 1 0,25 Chỉ ra dãy an là dãy tăng và bị chặn bởi 3 suy ra tồn tại lim an L . 0,5 4 Từ hệ thức truy hồi ta được 0,25 n 1 L L lim .lim a 1 L 1 L 2 . Vậy lim a 2 . 2n n 1 2 n Với mỗi tập T a1;a2 ; ;an các số viết trên bảng thì đặt 1 1 1 A T 1 1  1 A 1;2;;2019 2020 a1 a2 an 1 1 a 1 b 1 1 0,5 Ta thấy: 1 1 1 a b ab ab 5 a b 1
4. ab Suy ra nếu xóa hai số a và b và thay bởi , tập T biến thành tập T a b 1 thì A T A(T ) . Giả sử sau khi thực hiện 2018 bước ta được số thực x ta có: 1 1 A x 1 2020 x x 2019 0,5 1 Vậy trên bảng luôn còn lại số . 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KIỂM TRA HÈ BẮC NINH Môn: TOÁN 11 Năm học: 2018 - 2019 Buổi thi: chiều ngày 20 tháng 8 năm 2018 Thời gian làm bài: 120 phút. (Dành cho các lớp 11: Lí, Hóa, Tin, Cận 1)