Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Khối 11 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Khối 11 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Hà Nội (Có đáp án)

1. Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội Trường Phùng Khắc Khoan ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn : Toán- Khối: 11 Năm học 2018-2019 Thời gian: 150 phút ( Đề có 01 trang) === Câu 1 ( 4 điểm) 1 - Tính tổng các nghiệm của phương trình sinx cos x cos x sin x 1 trên 0;2 . 2 - Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3 7 x 2 2 m 2 6 m x 8 0. Câu 2 ( 6 điểm) 1 - Cho n là số dương thỏa mãn 5.CCn 13 nn 2 n 5 nx 1 Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton P . 14 x 2 - Một tổ gồm 9 em, trong đó có 3 nữ được chia thành 3 nhóm đều nhau. Tính xác xuất để mỗi nhóm có một nữ. 3 - An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn có tối đa 5 séc , người nào thắng trước 3 séc sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là 0, 4 (không có hòa). Tính xác suất để An thắng chung cuộc . Câu 3 ( 4 điểm) 1-Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm AA 2;3 , 1;5 và BB 5; 3 , 7; 2 . Phép quay tâm I x; y biến A thành A và B thành B , tính xy . 2- Cho đường tròn OR; đường kính AB . Một đường tròn O tiếp xúc với đường tròn O và đoạn AB lần lượt tại C và D . Đường thẳng CD cắt OR; tại I . Tính độ dài đoạn AI . Câu4 (4điểm) Cho hình chóp S. ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng qua song song với SA,, SB SC cắt các mặt phẳng SBC ,, SAC SAB lần lượt tại ABC ,, . a) Chứng minh rằng . b) Chứng minh rằng khi di động trong tam giác MA MB MC c) Tìm vị trí của trong tam giác để đạt giá trị lớn nhất. SA SB SC Câu5 (2điểm) Cho a, b, c là ba hằng số và ()un là dãy số được xác định bởi công thức: un a n 1 b n 2 c n 3 (  n *). Chứng minh rằng limun 0 khi và chỉ khi abc 0. n HẾT
2. ĐÁP ÁN Thi học sinh giỏi cấp trường MÔN TOÁN LỚP 11 ( 2018- 2019) Câu 1 Nội dung Thang điểm Tính tổng các nghiệm của phương trình sinx cos x cos x sin x 1 trên 0;2 (3) Đặt t sin x cos x 2 sin x t 0; 2 . 4 22 22tt 11 t 1 t 1 2sin x cos x sin x cos x 3 t 1 t 2 t 3 0 22 tl 3 2 2 điểm sin x 42 Với tx 1: 2 sin 1 1,0 4 2 sin x 42 xk 2 44 xk 2 x k22 x k 4 4 2 x k22 x k 4 4 2 xk 2 xk 2 44 1,0 3 Suy ra phương trình có 3 nghiệm trên 0;2 là x ;; x x 22 3 Vậy tổng 3 nghiệm là 3. 22 2 - Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3 7 x 2 2 m 2 6 m x 8 0. + Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1,, x 2 x 3 lập thành một 2 cấp số nhân.Theo định lý Vi-ét, ta có x1 x 2 x 3 8. 2 3 điểm Theo tính chất của cấp số nhân, ta có x1 x 3 x 2 . Suy ra ta có xx22 8 2. + Điều kiện đủ: Với m 1 và m 7 thì mm2 67 nên ta có phương trình 1,0 x32 7 x 14 x 8 0. Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1,2,4. Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị q 2. 1,0 Vậy, m 1 và m 7 là các giá trị cần tìm.
3. n 13 Câu 1 - Cho n là số dương thỏa mãn 5.CCnn 2 2 n 5 nx 1 Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton P 14 x Điều kiện nn , 3. n 13 5.nn ! ! 5 1 Ta có 5CCnn 1!. n 1!3!. n 3! n 3! n 2 n 1 6. n 3! n 7 TM 2 nn2 3 28 0 nL 4 điểm 1,0 2 7 x 1 Với n 7 ta có P 2 x 1 k Số hạng thứ k 1 trong khai triển là T Ckk x14 3 k 1727 k Suy ra 14 3kk 5 3 1,0 35 Vậy số hạng chứa x5 trong khai triển là Tx 5. 4 16 2 - Một tổ gồm 9 em, trong đó có 3 nữ được chia thành 3 nhóm đều nhau. Tính xác xuất để mỗi nhóm có một nữ. Bước 1: Tìm số phần tử không gian mẫu. 3 2 Chọn ngẫu nhiên em trong em đưa vào nhóm thứ nhất có số khả năng xảy ra là C9 Chọn ngẫu nhiên em trong 6 em đưa vào nhóm thứ hai có số khả năng xảy ra là C3 . điểm 6 Còn em đưa vào nhóm còn lại thì số khả năng xảy ra là 1 cách. 33 1,0 Vậy  CC96.1 1680 Bước 2: Tìm số kết quả thuận lợi cho A . Phân nữ vào nhóm trên có 3! cách. 22 1,0 Phân 6 nam vào nhóm theo cách như trên có CC64.1 cách khác nhau. 22 A 3!.CC64 .1 540.  540 27 Bước 3: Xác suất của biến cố là PA A .  1680 84 3-An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn có 5 séc , người nào thắng trước 3 séc sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là 0, 4 (không có hòa). Tính xác suất An thắng chung cuộc
4. Giả sử số séc trong trân đấu giữa An và Bình là x . Dễ dàng nhận thấy 35 x . 2 Ta xét các trường hợp: TH1: Trận đấu có 3 séc An thắng cả 3 séc. Xác suất thắng trong trường hợp này là: điểm P1 0,4.0,4.0,4 0,064 TH2: Trận đấu có 4 séc An thua 1 trong 3 séc: 1,2 hoặc 3 và thắng séc thứ 4 . 1 0,6. Số cách chọn 1 séc để An thua là: C3 (Chú ý xác xuất để An thua trong 1 séc là ) 1,0 PC 13.0,4 .0,6 0,1152 23 TH3: Trận đấu có 5 séc An thua 2 séc và thắng ở séc thứ 5 . 2 Số cách chọn 2 trong 4 séc đầu để An thua là C4 cách. 2 3 2 1,0 PC34 .0,4 .0,6 0,13824 Như vậy xác suất để An thắng chung cuộc là: PPPP 1 2 3 0,31744 1-Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm AA 2;3 , ’ 1;5 và BB 5; 3 , ’ 7; 2 . Phép quay tâm I x; y biến A thành A’ và B thành B’ , tính xy Q O, A A' IA IA ' 1 Q O, B B' IB IB ' 2 2 1,0 2 2 2 2 2 x 3 y 1 x 5 y điểm Từ 12 và 2 2 2 2 5 x 3 y 7 x 2 y 25 x 6xy 4 13 2 1,0 xy 3 4xy 12 19 31 y 2 Cho đường tròn OR; đường kính AB . Một đường tròn O tiếp xúc với đường tròn O và đoạn AB lần lượt tại C và D . Đường thẳng CD cắt OR; tại I . Tính độ dài đoạn AI . 2 C O' điểm B A D O I R R Ta có: V R O O CO CO 1 V R I D CD CI 2 C, R C, R R R CD CO 1,0 Từ 1 và 2 OI€ O D OI  AB I là điểm chính giữa của cung CD CI AB . 1,0
5. Câu Cho hình chóp S. ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng qua song 4 song với SA,, SB SC cắt các mặt phẳng SBC ,, SAC SAB lần lượt tại ABC ,, . a) Chứng minh rằng b) Chứng minh rằng khi di động trong tam giác ? MA MB MC c) nhận giá trị lớn nhất. Khi đó vị trí của trong tam giác là: SA SB SC 2 điểm a) Do MA ∥ SA nên bốn điểm này nằm trong cùng mặt phẳng. Giả sử E là giao điểm của mặt MA ME S 0,5 phẳng này với BC . Khi đó AME,, thẳng hàng và ta có: MBC . SA EA SABC MB S MC S MA MB MC B / Tương tự ta có: MAC , MAB . Vậy 1. Vậy đáp án đúng là . SB S SC S SA SB SC ABC ABC 0,5 c) Ap dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : MA MB MC MA MB MC MA MB MC 1 33 . . . . SA SB SC SA SB SC SA SB SC 27 . MA MB MC Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi: SSSMAC MAB MBC . SA SB SC 1,0 Điều này chỉ xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC . Vậy đáp án đúng là B. Câu5 (2điểm) Cho a, b, c là ba hằng số và un là dãy số được xác định bởi công thức: un a n 1 b n 2 c n 3 (  n *). Chứng minh rằng limun 0 khi và chỉ khi abc 0. n 2,0 đ u nn 23 Đặt v n a b c v a b c khi n nnn 1 nn 11 0, 5 Ta có: unn v n 1 0, 5 cho nên: nếu abc 0 thì limun ( ) 0. n 0, 5 Ngược lại nếu a b c 0 a b c thì khi n ta có bc2 un b n2 n 1 c n 3 n 1 0 n 2 n 1 n 3 n 1 0,5