Đề thi môn Đại số - Kỳ thi Olympic Toán sinh viên học sinh năm 2018

Nội dung text: Đề thi môn Đại số - Kỳ thi Olympic Toán sinh viên học sinh năm 2018

1. HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2018 ĐỀ THI MÔN: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 180 phút Bảng PT Thí sinh được sử dụng kết quả của các câu trước trong chứng minh của câu sau. Nếu một câu được chứng minh không dựa vào kết quả của các câu trước thì có thể dùng để chứng minh các câu trước. Biến đổi Abel và một số ứng dụng A. Biến đổi Abel và bất đẳng thức Abel Trong các bài toán sau đây, ta cho 2 dãy số thực: x1, x2, . . . , xn; y1, y2, . . . , yn (n ≥ 1). Đặt Xk = x1 + ··· + xk,Yk = y1 + ··· + yk (1 ≤ k ≤ n). Bài PT.1. Chứng minh rằng n n−1 ! n−1 ! X X X xkyk = xnYn − (xk+1 − xk)Yk = Xnyn − (yk+1 − yk)Xk . k=1 k=1 k=1 (Tổng trên một tập rỗng được quy ước là có giá trị bằng 0, chẳng hạn khi n = 0, biểu thức trong các dấu ngoặc trên đây bằng 0.) Bài PT.2. Giả sử x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ≥ 0. Đặt m = min1≤k≤n Yk và M = max1≤k≤n Yk. Chứng minh rằng n X x1m ≤ xkyk ≤ x1M. k=1 Bài PT.3. Cho dãy số thực y1, y2, . . . , yn. Kí hiệu m, M như trong PT.2. Chứng minh rằng 1 1 m ≤ y1 + y2 + ··· + yn ≤ M. 2 n 1 (Xem tiếp trang sau)
2. B. Ứng dụng vào việc tính một số tổng và thiết lập một số đẳng thức 1 1 Đặt H0 = 0 và với mỗi số nguyên dương k, đặt Hk = 1 + 2 + ··· + k . Bài PT.4. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên không âm n, ta có Pn a) k=0 Hk = (n + 1)Hn − n. Pn n(n+1) n(n−1) b) k=0 kHk = 2 Hn − 4 . Pn k
   k
   Bài PT.5. Cho các số nguyên dương n ≥ m. Đặt Tm,n = k=m m Hk; trong đó, m là số tổ hợp chập m của k phần tử. Hãy tìm một công thức tính Tm,n theo và chỉ theo m, n và Hn. C. Một số ứng dụng khác a1+a2+···+ak a1+a2+···+an Bài PT.6. Cho dãy số thực a1, a2, . . . , an thoả mãn tính chất k ≥ n với mọi 1 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng với mọi dãy số thực b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn ta có n n ! n ! X X X n akbk ≥ ak bk . k=1 k=1 k=1 Bài PT.7. a) Giả sử a1, a2, . . . , an là các số thực dương sao cho a1a2 . . . an ≥ 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương p ta có n n X p+1 X p ak ≥ ak. k=1 k=1 b) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x1, x2, . . . , xn ta có s s s x3 x3 x3 x x x 2 + 3 + ··· + 1 ≥ 2 + 3 + ··· + 1 . 3 3 3 x1 x2 xn x1 x2 xn 2  k(k+1)  Bài PT.8. Xét các số thực dương a1, a2, . . . , an sao cho a1 + a2 + ··· + ak ≤ 2 với mọi √ √ √ 3 3 3 k = 1, 2, . . . , n. Tìm giá trị lớn nhất của a1 + a2 + ··· + an. Hết Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 2