Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Lý Thái Tổ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Lý Thái Tổ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT Lí THÁI TỔ NĂM HỌC 2017 – 2018 Mụn thi: Toỏn – Lớp 11 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 14 thỏng 04 năm 2018 (Đề gồm 01 trang) Cõu I. (4,0 điểm) x 3 Cho hàm số yxxm=-++2 cú đồ thị là C . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để tiếp tuyến của đồ 3 thị C tại điểm M cú x M = 3 chắn hai trục tọa độ một tam giỏc cú diện tớch bằng 2 . Cõu II. (6,0 điểm) 1) Giải phương trỡnh ổử ỗ p ữ 2sin2ỗ xxx-=ữ sin + cos - 1 ốứỗ 4 ữ 2) Tỡm số nguyờn dương lẻ n sao cho 1 2 23 34nn- 1 CCnn-+2.2 3.2 C n - 4.2 C n ++= nC .2 n 2019. 2017(2018 x 2 ) 2017 3) Tớnh giới hạn I = lim x 1 x - 1 Cõu III. (4,0 điểm) 1) Giải phương trỡnh: 23xxx++ += 13162253 - + xx2 + + ỡ 33 2 ùxy-+36340 x +-+= xy 2) Giải hệ phương trỡnh: ớù ()xy, ẻ  ù34xxyxy++ 1 223 + 4 - 8 = + 2 + 5 ợù Cõu IV. (4,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hỡnh vuụng ABCD cú đỉnh C thuộc đường thẳng dx:260+-= y , điểm M (1; 1) thuộc cạnh BD biết rằng chỡnh chiếu vuụng gúc của điểm M trờn cạnh AB, AD đều nằm trờn đường thẳng D+-=:10xy . Tỡm tọa độ đỉnh C . 2) Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a . Gọi O là giao điểm của hai đường chộo. Trờn nửa đưởng thẳng Ox 0 vuụng gúc với mặt phẳng chứa hỡnh vuụng, ta lấy điểm S sao cho gúc SCB = 60 . Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BC và SD . Cõu V. (2,0 điểm) Cho abcd,,, là cỏc số thực thoả món ab22+=25;c 22 += d 16 và ac+³ bd 20 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: Pad=+. Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: . . . .; Số bỏo danh: .
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THPT Lí THÁI TỔ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn: Toỏn – Lớp 11 Cõu Lời giải sơ lược Điểm 1(4,0 điểm) Ta cú y' x2 2x 1 Theo giả thiết ta cú M(3;3 m) (C), phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là: 2,0 yy'(3)(x3)3m y4(x3)3m y4x9m(Δ) 9m Gọi AΔOxA  ;0; BOyBm  0; 9 4 119m (m 9)2 Diện tớch tam giỏc OAB: SOA.OBm9OAB = 224 8 2,0 2 (m 9) 2 m13 Theo giả thiết: S2OAB 2(m9)16 8 m5 Vậy m5;m13. ổử ỗ p ữ 2.1 (2 điểm) 2sin2ỗ xxx-=ữ sin + cos - 1. (1) ốứỗ 4 ữ (1) sin 2x cos2xxx sin cos 1 sin 2x sinxxx cos 2 cos 1 0,5 2 2sinx cosxx sin 2cos x cos x 1 sinxx (2cos 1) (2cosx 1)(cosx 1) 1 cosx (a ) 1,0 (2cosxx 1)(sinx cos 1) 0 2 sinx cosxb 1( ) ()ax k 2 3 xk 2 0,5 44 x k2 (b) 2 sin x 1 2 4 3 x k2 xk 2 44 2.2 (2 điểm). n 01 2233 nn Ta cú ()1+=++xCCxCxCxCxnn n + n ++ n n-1 1,0 12 32nn- 1 Lấy đạo hàm 2 vế ta được: nx()123 +=++ CCxCxCxnn n ++ n n-1 nn-11 2 32 Cho xnCCCnC=-2(1) - =nn - 2232 + n - + n() - 2 12 32nn- 1 1,0 Vỡ n lẻ nờn ta cú: nC=-nn2 C 2 + 3 C n 2 -+ n 2 C n = 2019 Vậy n = 2019 2.3 (2 điểm) 2 2017 2018 x 2017 2017 1 x2 + I lim lim 1,0 x 1 x 1 x 1 xx 1 20182 2017
3. 2017 1 x 2 2017 lim 1 x 1 2018 x2 2017 2 2017 1,0 Vậy I 1 3.1 (2 điểm) ĐKXĐ: x ³-1 Đặt tx=+++23 x 1, đk: t > 0 =tx22342253 ++ xx + + +32253xxxt22 ++=- 4 1,0 ột =-4 PT trở thành: tt= 2 416 = tt2 20 0 ờ =t 5 ờt = 5 ởờ Với txx= 523 ++ += 15 ++34225325xxx2 ++= ùỡ21-³ 3x 0 2 ù ++=-22xx 5 3 213 x ớù ù4(2xx22++= 5 3) 441 - 126 xx + 9 ợù 1,0 ỡ ỡ ùx Ê 7 ùx Ê 7 ớù ớ =x 3 ùxx2 -+=146 429 0 ùxx==143 3 ợù ợù Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = 3 ỡ 33 2 ùxy-+36340 x +-+= xy (1) 3.2 (2 điểm) Giải hệ phương trỡnh: ớù (xy, ẻ ) ù34xxyxy++ 1 223 + 4 -=+ 8 2 + 5(2) ợù ỡ ùx ³-1/4 Điều kiện ớ 0,5 ù2480xy+-³ ợù Phương trỡnh (1) tương đương với (1)3(1)x 33xyy 3 22 (x 1 y) (xx 1) ( 1) y y 3 0 (*) 0,5 Vỡ (1)(1)yy30,,x 22xxy nờn (*) x 1yyx 0 1 Thay vào phương trỡnh (2) của hệ ta được 3 4x 1 23 6x 4 3x 7 3 34x1 2x5 26x4 (x2) 0 4(x 2)22 (x 2) (x 10) 0 34x1 2x5 43 (6x 4)22 2(x 2)3 6x 4 (x 2) 1,0 (x 2)2 0 x 2(tm) y 3(tm) 4 (x 10) 0( ) 3 223 32x8 x 12 4 (6x 4) 2(x 2) 6x 4 (x 2) Nhận xột: Với x 1/4,vế trỏi của phương trỡnh ( ) luụn õm , nờn ( ) vụ nghiệm Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ( 2;3) 4.1 (2 điểm)
4. Gọi H và K là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn AB và A H B AD; Gọi N là giao điểm của KM và BC, gọi I là giao điểm của CM và HK. Ta cú DKM vuụng tại K và I MDK 450 KM = KD=NC. K N Lại cú MHMN (do MHBN là hỡnh vuụng) suy ra M 1,0 KMH CNM HKM MCN . Mà NMC IMK 0 nờn IMK HKM NMC NCM 90 CI HK . D C Đường thẳng CI qua M(1;1) và vuụng gúc với đường thẳng d nờn cú phương trỡnh: (1)(1)0xy xy 0 . Do điểm C thuộc đường thẳng CI và đường thẳng nờn tọa xy 02 x 1,0 độ điểm C là nghiệm hệ pt xy 260 y 2 Vậy C(2;2). 4.2 (2 điểm) S Gọi I, H là trung điểm của BC và SD. Ta cú SO là trục hỡnh vuụng và SCB 600 SA=SB=SC=SD=CB=a và BC//mp(SCD) nờn dBCSD(,) dImp (,(SAD)) Ta lại cú ADSIH () ()()SIH SAD theo giao tuyến J 1,0 SH. Trong mặt phẳng (SIH) dựng A B IJSHIJSAD () dI(,( SAD )) IJ H 60 O I D C a 2 SO.6 HIa. a Tam giỏc SIH cú: IJ 2 SH a 3 3 1,0 2 a 6 Vậy dBCSD(,) 3 5 (2 điểm) Cho abcd,,, là cỏc số thực thoả món ab22+=25;c 22 += d 16 và ac+³ bd 20 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: Pad=+. 22 22 ab 5sin ; 5cos Từ ab+=25;c += d 16 tồn tại hai gúc ; sao cho cd 4cos ; 4sin Khi đú biểu thức ac+³ bd 20 cú dạng sinab cos+³ cos ab sin 1 hay sin()ab+³ 1 , 1,0 p nờn sin()ab+= 1 do đú bap=-+kk2, ẻ . Vậy sinba= cos 2 Ta cú P 5sin  4sin 5sin 4cos 41 P 41 max 1,0 Vậy giỏ trị lớn nhất của P là 41
5. 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trỡnh bày sơ lược một cỏch giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tớnh toỏn chớnh xỏc mới được tớnh điểm tối đa. 2. Với cỏc cỏch giải đỳng nhưng khỏc đỏp ỏn, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng khụng được vượt quỏ số điểm dành cho bài hoặc phần đú. Mọi vấn đề phỏt sinh trong quỏ trỡnh chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. 3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của cỏc phần đó chấm, khụng làm trũn điểm