Đề thi Olympic môn Toán Lớp 11 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic môn Toán Lớp 11 (Có đáp án)

1. TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN TUYÊN QUANG 2017 LỚP 11 Ngày thi: 29 tháng 7 năm 2017 Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 2 Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 2 và (n 1)un 1un nun 1 với mọi số nguyên dương n . 1 1 1 a) Chứng minh rằng:  2018u2018 2. u1 u2 u2017 b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho un c với mọi số nguyên dương n . Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB AC và , B·vềA Cphía 1 2ngoài00 ) tam giác ABC dựng các tam giác đều ABB', ACC ' . Gọi M , N, P, M ', N ', P' theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB, B'C ', C ' A, AB' . Chứng minh rằng: a) Các tam giác MN 'P', M ' NP là các tam giác đều. b) MM ', NN ', PP' đồng quy. Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thoả mãn f (x) (x2 y2 ) f (y) với mọi số thực x, y . Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên (xn ) xác định bởi: x0 0 , x1 1 và xn 2 3xn 1 x nvới mọi số tự nhiên n . a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4. b) Chứng minh rằng xn 100  xn (mod 101) với mọi số tự nhiên n . Câu 5 (4,0 điểm) Xét k là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con 2017 A1,, A2017 của tập {0,1,,10 1} (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng k 2017 phần tử và mỗi phần tử của tập {0,1,,10 1} đều biểu diễn được dưới dạng x1 x2  x2017 trong đó xi Ai với i 1,,2017 . Hãy xác định giá trị bé nhất của k . HẾT Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII MÔN TOÁN 11 (Hướng dẫn này có 04 trang) 2 Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 2 và (n 1)un 1un nun 1 với mọi số nguyên dương n . 1 1 1 a) Chứng minh rằng:  2018u2018 2. u1 u2 u2017 b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho un c với mọi số nguyên dương n . (Dựa trên đề đề xuất của THPT chuyên Lào Cai) Điểm Hướng dẫn chấm 4,0 1 * a) Từ giả thiết suy ra un 0 và (n 1)un 1 nun ,n ¥ (1). 1,0 un 1 1 1 Do đó: (2u2 u1) (2018u2018 2017u2017 ) 2018u2018 2. 1,0 u1 u2 u2017 b) Ta chứng minh c 1 . * Trước hết ta chứng minh un 1,n ¥ (2) bằng quy nạp. Với n 1,2 thì hiển nhiên (2) đúng. 1 1 1,0 Giả sử (2) đúng với n k (k 2) . Khi đó: uk 1 1 (uk 1) k (a). k 1 uk k 1 1 k 1 2 1 k Mặt khác: uk uk 1 2 2 ,k 2 (b). k kuk 1 k k uk 2 1 1 Từ (a), (b) và giả thiết quy nạp ta được uk 1 1 (uk 1) k 0 uk 1 1 . Vậy (2) k 1 uk 0,5 đúng với n k 1 . Theo nguyên lí quy nạp thì (2) đúng. Vậy c 1. 1 1 k 1 1 Từ uk 1 1 (uk 1) k 0 uk 1 1 (uk 1) nên | un 1| (u1 1) . k 1 uk k 1 n n 0,5 Suy ra limuk 1 . Do đó c 1. Vậy c 1 (đpcm). Chú ý. Nếu học sinh chỉ chứng minh được limuk 1 mà chưa chứng minh được c 1 thì cho 1 điểm. Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB AC và , B·vềA Cphía 1 2ngoài00 ) tam giác dựng ABC các tam giác đều ABB ', ACC ' . Gọi M , N, P, M ', N ', P ' theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB, B 'C ', C ' A, AB ' . Chứng minh rằng: a) Các tam giác MN ' P ', M ' NP là các tam giác đều. b) MM ', NN ', PP ' đồng quy. (Đề xuất của Tổ ra đề)
3. Điểm Hướng dẫn chấm 4,0 a) Xét thế hình như hình vẽ (Học sinh chỉ dựa vào thế hình chứng minh thì vẫn cho điểm tối đa) Cách 1. Xét phép quay véc tơ ngược chiều kim đồng hồ. Ta có  1   1   1    Q60 (MN ') Q60 ( (BA' CC ')) (Q60 (BA) Q60 (CC ')) (BB ' CA) MP '. 2 2 2 Suy ra tam giác MN ' P ' đều. Tương tự, tam giác M ' NP đều. C' N' A M' 2,0 P' B' N P Q B M C Cách 2. Chứng minh các tam giác P ' AN ', P ' PM và MNN ' bằng nhau. Suy ra tam giác 2,0 MN ' P ' đều. Tương tự, tam giác M ' NP đều. b) Vì BAC 1200 nên các đường thẳng MM ', NN ', PP ' không song song. Gọi Q là giao điểm của NN ', PP ' . Đặt M· PN ·ANP ; ·APN M· NP . Ta có các điều kiện sau tương đương: 1) MM ', NN ', PP ' đồng quy. 2) M , M ',Q thẳng hàng. 3) P(NMM 'Q) N(PMM 'Q) . 2,0 4) P(NMM ' P ') N(PMM ' N ') . sin M· ' PN sin P· ' PN sin M· ' NP sin N· ' NP 5) : : . sin M· ' PM sin P· ' PM sin M· ' NM sin N· ' NM sin 60 sin(60  ) sin 60 sin(60 ) 6) : : . sin(60 ) sin(60  ) sin(60  ) sin(60  ) 7) sin(60 )sin(60  ) sin(60  )sin(60 ) (luôn đúng). Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thoả mãn f (x) (x2 y2 ) f (y) với mọi số thực x, y . (Đề xuất của Tổ ra đề) Hướng dẫn chấm Điểm
4. 4,0 Theo giả thiết ta có f (x) (x2 y2 ) f (y) với mọi x, y. 2 1,5 Đổi vai trò x, y được f (y) x2 y2 f (x). Do đó f (y) x2 y2 f (x) x2 y2 f (y) . Cho x 2 thì f (y) (4 y2 )2 f (y) . Suy ra f (y) 0 với mọi y . 1,0 Mặt khác x y 0 ta được f (0) 0 . Vậy f (0) 0 . 0,5 Cho y 0 ta được f (x) 0 với mọi x . Vậy f  0 . 1,0 Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên (xn ) xác định bởi: x0 0 , x1 1 và xn 2 3xn 1 xn với mọi số tự nhiên n . a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4. b) Chứng minh rằng xn 100  xn (mod 101) với mọi số tự nhiên n . (Đề đề xuất của Tổ ra đề) Điểm Hướng dẫn chấm 4,0 a) Ta có xn  xn 3 (mod 4) . Suy ra x2017  x1 (mod 4) , do đó x2017 1(mod 4) . 1,0 b) Cách 1. Ta chỉ ra x100  0 (mod101) và x101 1(mod101) . Đầu tiên ta có n n 3 5 3 5 2 2 x . 1,0 n 5 k 1 n k n k 2 Khai triển Newton cho ta: 2 xn  Cn 3 5 . k 0,n 2Œk Ta có 452  5 (mod101) . Suy ra n n n n n k n k k 1 3 45 3 45 48 ( 42) 2 xn   Cn 3 45  (mod101) . k 0,n 45 45 1,5 2Œk 24n ( 21)n Hay x  (mod101) . n 45 Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta được: x100  0 (mod101) và x101 1(mod101) . Do công thức 0,5 truy hồi, suy ra xn 100  xn (mod101) với mọi số tự nhiên n . Cách 2. Học sinh có thể xét tìm dãy các số dư của xn modulo 101. Danh sách các số dư của dãy khi chia cho 101 như dưới đây: 2,0 [0, 1, 3, 8, 21, 55, 43, 74, 78, 59, 99, 36, 9, 92, 65, 2, 42, 23, 27, 58, 46, 80, 93, 98, 100, 0, 1, 3, 8, .]. Sau đó học sinh giải thích do tính truy hồi nên dãy các số dư tuần hoàn. Suy ra đpcm. 1,0 Chú ý. Với cách 2, nếu học sinh chỉ tìm một vài số dư mà chưa ra đến số dư lặp (chu kỳ) thì không cho điểm.
5. Câu 5 (4 điểm) Xét k là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con A1,, A2017 của tập {0,1,,102017 1} (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng k phần tử và mỗi phần tử của 2017 {0,1,,10 1} đều biểu diễn được dưới dạng x1  x201 7trong đó xi A vớii i 1,,201 .7 Hãy xác định giá trị bé nhất của k . (Đề đề xuất của Tổ ra đề) Điểm Hướng dẫn chấm 4,0 Ta kí hiệu A1  A2017 là tập tất cả các số có dạng x1  x2017 trong đó xi A ivới mọi 2017 2017 2017 1,5 i 1,,2017 . Ta có A1  A2017 k . Thành thử k 10 hay k 10 . Ta chỉ ra 10 chính là giá trị bé nhất có thể của k . Với mọi số nguyên không âm m ta có thể viết s 1,5 m as10  a110 a0 , trong đó s là số tự nhiên và a0 ,,as {0,1,,9} và as 0 . 2017 s 2017 Với mỗi số m {0,1,,10 1} thì s 2017 vì nếu s 2017 thì m as10 10 , mâu thuẫn. j 1 2017 1,0 Với mỗi j 1,,2017 ta đặt Aj {10 t :t 0,,9}. Khi đó với mọi m {0,1,,10 1} , j 1 thì m x1  x2017 , trong đó x j 10 a j 1, j 1,2, , s 1 và x j 0, j s 2, ,2017 . Hết Ghi chú: Học sinh có thể làm theo nhiều cách khác nhau. Nếu giải đúng thì cho điểm tối đa.