Đề thi môn Toán - Kỳ thi giáo viên dạy giỏi cấp THCS - Năm học 2015-2016

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi giáo viên dạy giỏi cấp THCS - Năm học 2015-2016

1. UBND HUYỆN BÌNH XUYÊN KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. Khi làm bài toán: Trong một hình tròn có diện tích S lấy 17 điểm tuỳ ý. Chứng minh S rằng ít nhất có 3 điểm là ba đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn . Nếu ta lấy n điểm 8 bất kỳ thì kết quả sẽ ra sao? Một học sinh đã trình bày lời giải như sau: Nếu chia hình tròn thành 8 phần thì ít nhất có một phần chứa 3 điểm. Bởi vì nếu cả 8 phần đó đều chứa không quá 2 điểm thì tổng số điểm sẽ không quá 16 điểm, trái giả thiết. Rõ ràng, 3 điểm ở trong một phần hình tròn nói trên lập thành một tam giác có diện S tích nhỏ hơn . 8 Trong trường hợp tổng quát, nếu lấy n điểm thì cũng giống như trên, chia hình tròn n 1 thành k phần bằng nhau (với k ) thì có ít nhất một phần chứa 3 điểm. Ba điểm này lập 2 S thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn . k Thầy (cô) xem lời giải trên đã đúng chưa? Câu 2. Cho bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến DE CK BD. Lấy điểm E trên DH , điểm K trên CB sao cho . Chứng minh rằng ·AEK 900 . DH CB Thầy (cô) hãy phân tích để giúp học sinh lớp 8 tìm được lời giải bài toán trên. Câu 3. Một số tự nhiên chia cho 3 thì dư 1, chia cho 4 thì dư 2, chia cho 5 thì dư 3, chia cho 6 thì dư 4, và chia hết cho 13. Tìm số nhỏ nhất và dạng chung của tất cả các số có tính chất trên. a4 c4 1 Câu 4. Cho các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a2 c2 1 và . Chứng b d b d a2n c2n 2 minh rằng (n N * ). bn d n b d n 2 x 9 2 x 1 x 3 Câu 5. Tìm m để có x sao cho: x m . x 5 x 6 3 x x 2 HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên giáo viên dự thi: Số báo danh:
2. UBND HUYỆN BÌNH XUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÀI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Câu 1 (4,0 điểm) Tóm tắt câu trả lời Điểm Lời giải ghi thiếu từ “bằng nhau” khi chia hình tròn thành 8 phần nên dẫn đến sai thứ 1,0 nhất. Trong trường hợp tổng quát lấy n điểm lời giải của học sinh trên chỉ đúng trong trường hợp n là số lẻ. Vậy sai thứ hai là không xét hết các khả năng có thể xẩy ra trong bài 1,0 toán (n chẵn, n lẻ). Lời giải đúng là: Nếu chia hình tròn thành 8 phần bằng nhau thì ít nhất có một phần chứa 3 điểm. Bởi vì nếu cả 8 phần đó đều chứa không quá 2 điểm thì tổng số điểm sẽ không quá 16 điểm, trái giả thiết. Rõ ràng, 3 điểm ở trong một phần hình tròn nói trên lập thành một tam giác có S diện tích nhỏ hơn . 8 Trong trường hợp tổng quát, nếu lấy n điểm thì: 2,0 i) Khi n 2k 1 . Giống như trên, chia hình tròn thành k phần bằng nhau thì có ít nhất S một phần chứa 3 điểm. Ba điểm này lập thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn . k ii) Khi n 2k . Chia hình tròn thành k 1 phần bằng nhau thì có ít nhất một phần chứa S 3 điểm. Ba điểm này lập thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn . k 1 Câu 2 (5,0 điểm) Đây là câu hỏi mở do đó có nhiều cách phân tích để tìm ra lời giải bài toán bằng kiến thức của học sinh lớp 8. Chẳng hạn, bằng cách xét các vị trí đặc biệt và dự đoán GV có thể phân tích tìm lời giải như sau: A B 2 1 K O H 1 E 1 D C DE CK Vì E thuộc DH, K thuộc CB sao cho nên khi E di chuyển trên đoạn DH thì K di DH CB chuyển theo (trên đoạn CB). Do đó khi cho E di chuyển dần đến D thì K di chuyển dần đến C. Khi E  D thì K  C đó tam giác AEK trùng tam giác ADC, ta có ·AEK ·ADC 900 (phù hợp điều phải chứng minh.
3. Đến đây ta dự đoán ở vị chí bất kỳ khi E di chuyển trên DH thỏa mãn tỉ lệ của đề thì tam giác AEK và tam giác ADC đồng dạng (1), tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACK (2). D¶ Cµ (3) 1 1 (2)  AD DE (4) AC CK (3)  Các tam giác OAD, OBC cân tại đỉnh O có góc ở đỉnh bằng nhau (O là giao điểm của AC và BD) AD DH DE CK (4)  (vì theo giả thết đã có ) tam giác ADH và tam giác ACB đồng AC CB DH CB ¶ µ D1 C1 (theo(3)) dạng  · · 0 AHD ABC ( 90 ) D· AC K· AE  µA ¶A  (2) 1 2 (1)  AE AD (2) AK AC Hướng dẫn cho điểm: Đây là bài toán có yêu cầu về phương pháp giải toán và phương pháp dạy toán. Tổ giám khảo nghiên cứu cách đánh giá sau: Mức độ đạt được Điểm tối đa GV phân tích khoa học tìm được lời giải cho đối tượng HS lớp 8 5 GV phân tích tìm được lời giải cho đối tượng HS lớp 8 nhưng quá trình phân tích 4 chưa hợp lý GV không phân tích mà chỉ trình bày đúng lời giải bài toán bằng kiến thức lớp 8 3 GV phân tích phải dùng đến kiến thức lớp 9 trở lên tìm được lời giải đúng 2 GV phân tích đúng nhưng chưa giúp HS lớp 8 tìm ra lời giải đầy đủ hoặc GV trình bày khác 4 mức độ gợi ý trên: Tổ giám khảo thống nhất cho điểm theo hướng phân tích hoặc trình bày của GV. Câu 3 (3,0 điểm) Tóm tắt một cách giải Điểm Gọi x là số phải tìm thì x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6 nên x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 0,5 6. BCNN(3,4,5,6) = 60. Số phải tìm phải thoả mãn hai điều kiện: x + 2 chia hết cho 60 (1),x chia hết cho 13 (2) 0,5 Từ (1) suy ra x + 182 chia hết cho 60 0,5 Từ (2) suy ra x + 182 chia hết cho 13 Vì (13, 60) = 1 nên x + 182 = 780k hay x = 780k – 182 (k = 1, 2, 3, ) 0,5 Với k = 1 giá trị nhỏ nhất của x = 598. 1,0 Câu 4 (3,0 điểm) Tóm tắt một cách giải Điểm 2 2 2 a4 c4 a c Sử dụng giả thiết a2 c2 1 ta có: 0,5 b d b d
4. 2 2 a4 d c4b b d a2 c2 bd hay a4 d 2 c4b2 2a2bc2 d a2 d c2b 0 1,0 a2 c2 a2 c2 1 do đó a2 d c2b 0,5 b d b d b d 2n 2n 2n 2n a c 1 a c 2 * n n n . Vậy n n n (n N ). 1,0 b d b d b d b d Câu 5 (5,0 điểm) Tóm tắt một cách giải Điểm 2 x 9 2 x 1 x 3 Đặt A . Điều kiện xác định x 0, x 4, x 9 . Rút gọn x 5 x 6 3 x x 2 1,5 x 1 A được A . x 3 t 1 Đặt t x x t 2 , đẳng thức đã cho trở thành t m (với t 0,t 2,t 3 ) t 3 t 1 t m t 3 t 1 t 2 m 3 t 3m t 2 m 4 t 3m 1 0 (*) là 1,0 phương trình bậc hai ẩn t có a 1,b m 4 ,c 3m 1 . Giá trị của m cần tìm là các giá trị m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm không âm khác 2 và khác 3. Ta xét các trường hợp sau: 1 i) ac 0 3m 1 0 m (1) 3 1,5 0 2 m 2 16 0 c 1 ii) P 0 3m 1 0 m (2) a 3 m 4 0 b S 0 a m 4 Xét t (ở trường hợp i), đây là nghiệm không âm của phương trình) 1 2 +) t1 2 m 0 m . - Nếu m 0 thì phương trình (*) vô nghiệm. - Nếu m 0 : m m 5 , không thuộc khoảng đang xét (m 0 ). 1,0 +) t1 3 2 m . - Nếu m 2 thì phương trình vô nghiệm. - Nếu m 2 : 2 m m 2 2 16 2 m 2 . Vô lí ! Vậy t1 luôn khác 2 và khác 3. Vậy, với mọi giá trị của m luôn luôn có x thoả mãn đảng thức đề bài. HẾT