Chuyên đề các bài toán về số chính Phương - Nguyễn Quốc Bảo

74 trang hoahoa 18/05/2024 1580

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề các bài toán về số chính Phương - Nguyễn Quốc Bảo", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_cac_bai_toan_ve_so_chinh_phuong_nguyen_quoc_bao.pdf

Nội dung text: Chuyên đề các bài toán về số chính Phương - Nguyễn Quốc Bảo

GV: NGUY N QU C B O Zalo: 039.373.2038 Ễ Ố Ả Gmail:Tailieumontoan.com@Gmail.com Website: Tailieumontoan.com Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN V S CHÍNH Ề Ố PHƯƠNG C huyên đê CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG LƯU HÀNH NỘI BỘ
NGUYỄN QUỐC BẢO BÍ QUYẾT GIẢI TOÁN CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8, 9 ● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán ● Phân dạng và phương pháp giải rõ ràng LƯU HÀNH NỘI BỘ
3 Website:tailieumontoan.com Lêi giíi thiÖu Các em học sinh và thầy giáo, cô giáo thân mến ! Cuốn sách Chuyên đề số chính phương được các tác giả biên soạn nhằm giúp các em học sinh học tập tốt môn Toán ở THCS hiện nay và THPT sau này. Các tác giả cố gắng lựa chọn những bài tập thuộc các dạng điển hình, sắp xếp thành một hệ thống để bồi dưỡng học sinh khá giỏi các lớp THCS. Sách được viết theo các chủ đề tương ứng với các vấn đề quan trọng thường được ra trong các đề thi học sinh giỏi toán THCS, cũng như vào lớp 10 chuyên môn toán trên cả nước. Mỗi chủ đề được viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, các dạng toán thường gặp, bài tập rèn luyện giúp các em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện được các kiến thức đã học. Mỗi chủ đề có ba phần: A. Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt những kiến thức cơ bản, những kiên thức bổ sung cần thiết để làm cơ sở giải các bài tập thuộc các dạng của chuyên đề. B. Một số ví dụ: Phần này đưa ra những ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng những kĩ năng và phương pháp luận mà chương trình đòi ỏhi. Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo những nhận xét, lưu ý, bình luận và phương pháp giải, về những sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán. C. Bài tập vận dụng: Phần này, các tác giả đưa ra một hệ thống các bài tập được phân loại theo các dạng toán, tăng dần độ khó cho học sinh khá giỏi. Có những bài tập được trích từ các đề thi học sinh giỏi Toán và đề vào lớp 10 chuyên Toán. Các em hãy cố gắng tự giải. Các tác giả hi vong cuốn sách này là một tài liệu có ích giúp các em học sinh nâng cao trình độ và năng lực giải toán, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp THCS. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn song cuốn sách này vẫn khó tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
4 Website:tailieumontoan.com chuyªn ®Ò båi dìng SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. KiÕn thøc cÇn nhí 1. Định nghĩa số chính phương. Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên. (tức là nếu n là số chính phương thì: nk=2 () kZ ∈ ) 2. Một số tính chất cần nhớ 1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. 3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N). 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n ∈ N ). 5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. 7. Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4. 8. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào. 9. Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó là số 0. 10. Số các ước của một số chính phương là số lẻ. Ngược lại, một số có số các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương. 11. Nếu n2 < k < (n + 1)2 ( n ∈ Z) thì k không là số chính phương. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5 Website:tailieumontoan.com 12. Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số a, b cũng là các số chính phương. 13. Nếu a là một số chính phương, a chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p2 . 14. Nếu tích hai số a và b là một số chính phương thì các số a và b có dạng a mp22; b mq B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương, hoặc là tổng nhiều số chính phương. * Cơ sở phương pháp: Để chứng minh một số n là số là số chính phương ta thường dựa vào định nghĩa, tức là chứng minh : nk=2 () kZ ∈ * Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng: A nn 1 n 2 n 31 là số chính phương. Hướng dẫn giải 22 Ta có: Annnn 2233 2 1323 nn 2 nn 2 13 nn 21 Vì n nên nn2 31 . Vậy A là số chính phương. Bài toán 2. Cho: B 1.2.3 2.3.4 kk 1 k 2 với k là số tự nhiên. Chứng minh rằng 4B + 1 là số chính phương. Hướng dẫn giải Ta thấy biểu thức B là tổng của một biểu thức chúng ta nghĩ đến việc phải thu gọn biểu thức B trước. Ta có: 11 nn 12 n nn 12 n n 3 n 1 nn 123 n n n 1 nn 12 n 44 Áp dụng: 1 1.2.3 1.2.3.4 0.1.2.3 4 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6 Website:tailieumontoan.com 1 2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 4 1 3.4.5 3.4.5.6 2.3.4.5 4 1 kk 12 k kk 123 k k k 1 kk 12 k 4 Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được: 1 B 1.2.3 2.3.4 kk 1 k 2 kk 1 k 2 k 3 4 4B 1 kk 1 k 2 k 31 2 Theo ví dụ 1 ta có: 4B 1 kk2 31 Vì k nên kk2 31 . Vậy 41B là số chính phương. Bài toán 3. Chứng minh rằng: C 11 1 44 4 1với n là số tự nhiên. Chứng minh rằng 2n n C là số chính phương. Hướng dẫn giải Ta có: C 11 100 0 11 1 44 4 1 nnnn n Đặt a =11 1 thì 9a = 99 9 . Do đó 99 9 += 1 10 = 9a + 1 n n n C a.10n a 4 a 1 aa 9 1 5 a 1 2 Ca 92 6131 a a 2 C 33 34 . n 1 Vậy C là một số chính phương. Nhận xét: Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau thành một số chính phương ta nên n đặt 11 1 = a và như vậy 99 9 += 1 10 = 9a + 1. n n Bài toán 4. Cho a =11 1 , b =10 05 . Chứng minh ab +1 là số tự nhiên. 2016 2015 Hướng dẫn giải Cách 1: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7 Website:tailieumontoan.com Ta có: ba=10 05 = 10 0 −+= 1 6 9 9 += 6 9 + 6 . 2015 2016 2016 ⇒ ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 ⇒ ab +1 = 3( a + )1 2 = 3a +1∈ N . Vậy ab +1 là số tự nhiên. Cách 2: 2016 10− 1 2016 Ta có: ab=11 1 = , = 10 + 5 . 2016 9 2 2016 102016+ 4.10 2016 −+ 5 9 2016 2 10− 1 2016 () 10+ 2 ⇒ab +=1 .() 10 + 5 += 1 = . 993 ()102016 + 2 ⇒ab +=1 . 3 Mà ()102016 + 2 3. Do đó, ab +1 là số tự nhiên. Vậy ab +1 là số tự nhiên. Bài toán 5. Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số 2. Chứng minh a - b là một số chính phương. Hướng dẫn giải Cách 1: 1060 − 1 1030 − 1 Ta có: a =11 1 = , b =22 2 = 2. . 60 9 30 9 2 2 1060− 1 2(10 30 − 1) 10 60 −+ 2.10 30 1 1030 − 1  ⇒−=ab − = = = 33 3 . 99 93 30 Cách 2: 30 b =22 2 = 2.11 1 , a =11 1 = 11 1.00 0 + 11 1 =11 1.10 + 11 1 . 30 30 60 30 30 30 30 30 30 Đặt c =11 1 . ⇒9c += 1 99 9 += 1 10 . 30 30 Khi đó: ac=.9() c + 1 += c 9 c2 + 2 c. bc= 2 . Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8 Website:tailieumontoan.com 2 2 2  ⇒−=ab9 c + 2 c − 2 c =() 3 c = 33 3 . 30 Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên a gồm 2k chữ số 1 và số tự nhiên b gồm k chữ số 2. Chứng minh rằng ab− là một số chính phương. n2 −1 Bài toán 6. Cho n∈ sao cho là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng 3 n là tổng của hai số chính phương liên tiếp. Hướng dẫn giải n2 −1 Giả sử ta có: = aa()+1 . 3 Từ đó có naa22=3 ++ 31 ⇒ 4n22−= 1 12 aa + 12 + 3 2 ⇒ ()()()2nn− 1 2 += 1 32 a + 1 . Vì 2nn+− 1; 2 1 là hai số lẻ liên tiếp nên ta có các trường hợp: 2np−= 132 Trường hợp 1: .  2 21nq+= Khi đó qp22=32 + ( Vô lí ). Vậy trường hợp này không xảy ra. 21np−= 2 Trường hợp 2: .  2 2nq+= 13 Từ đó p là số lẻ nên pk=21 + . 2 2 Từ đó 2nk=() 21 ++ 1 ⇒ nk=++2 () k1 (đpcm). Bài toán 7. Cho k là một số nguyên dương và ak 32 31 k a) Chứng minh rằng 2a và a2 là tổng của ba số chính phương. b) Chứng minh rằng nếu a là một ước của một số nguyên duong b và b là một tổng gồm ba số chính phương thì bn là một tổng của bà số chính phương. Hướng dẫn giải 22 a) Ta có 2ak 622 6221 k k k 1 k 2 4 3 2 22 2 22 2 222 và a 9 k 18 k 15 k 6 k 1 kk 2 k 3 k 1 2 kk aaa1 23. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9 Website:tailieumontoan.com b) Vì ba nên đặt b ca . 222 Vì b là tổng của ba số chính phương nên đặt bbbb 1 23. 2222222 Khi đó bcacaaa . 1 23 Để kết thúc việc chứng minh, ta tiến hành như sau: cho np 21 ta được: 21pp 2 222 np2 2222 b b bbb1 23 và cho np 22 ta được b bbaaa 1 23  Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phương. * Cơ sở phương pháp: Để chứng minh n không là số chính phương, tùy vào từng bài toán t a có thể sử dụng các cách sau: 1) Chứng minh n không thể viết được dưới dạng một bình phương một số nguyên. 2) Chứng minh k2 1 không phải là số chính phương. Hướng dẫn giải Ta có: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10 Website:tailieumontoan.com Annnn 4322 2 21 nnnnn 4322 2 21 222 nn22 n 11 nnn  2 Annn 2  1 Mặt khác: 2 nn2 1 n 4322 2 n 2 nn 21 n nnnn432 2 2 21 nAnAn 2 2  1 2 Ann 2 1 22 Do đó nn22 Ann1 Ta có (n2 + n) và (n2 + n + 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên A không thể là số chính phương. Bài toán 3. Cho A =++1 2 22 + 2 3 + + 2 33 . Hỏi A có là số chính phương không? Vì sao? Hướng dẫn giải Ta có A =++1 2()() 22345 + 2 + 2 + 2 + + 2 303 + 213 + 223 + 2 3 =+3 22 .()() 1 ++ 2 2 23 + 2 + + 2 30 . 1 ++ 2 2 23 + 2 =+3 2.30 ++ 229 .30 =+ 3() 2 ++ 2 29 .3.10 . Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3. Mà số chính phương không có chữ số tận cùng là 3. Do đó, A không là số chính phương. Vậy A không là số chính phương. Bài toán 4. Chứng minh rằng A =+++20124444nnnn 2013 2014 2015 không phải là số chính phương với mọi số nguyên dương n. (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016) Hướng dẫn giải Ta có: nn * 201244 4; 2014 4 , ∀∈nN. 201344nn= 2013 −+= 1 1() 2013 4 n − 1 + 1 chia cho 4 dư 1. 4n 201544nn= 2015 −−() 1 + 1 chia cho 4 dư 1. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11 Website:tailieumontoan.com Do đó, A =+++20124444nnnn 2013 2014 2015 chia cho 4 dư 2. Ta có: A2 , nhưng A không chia hết cho 22 , mà 2 là số nguyên tố. Suy ra A không là số chính phương. Vậy A không là số chính phương. Bài toán 5. Cho 2 n , Chứng minh rằng An 6432 n22 n n không thể là số chính phương Hướng dẫn giải Ta có Annnnnnnn 642 3 2 2 242 22 nnn22 2 12 n 1 nnn22 n n 1 12 1 nn22 1 2 n 22 n 2 Với 2 n , ta có nn22 22 nn 21 n 1 2 Và nn22 22 n 2 n 1 n 2. Do đó n 1 nn22 22 n Như vậy nn2 22 không phải là số chính phương nên A không phải là số chính phương. Bài toán 6. Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là một số chính phương. Hướng dẫn giải Giả sử: am 21, bn 21, với mn, 22 Ta có: a22 b 2 m 1 2 n 1 4 m2 mn 2 n 24 k 2 với k . Không có số chính phương nào có dạng 42k vì vậy ab22 không phải số chính phương.  Dạng 3: Điều kiện để một số là số chính phương. * Cơ sở phương pháp: Chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau: - Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa. - Phương pháp 2: Sử dụng tính chẵn, lẻ. - Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết và chia có dư. - Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12 Website:tailieumontoan.com * Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Tìm số nguyên n sao cho nn 3 là số chính phương. Hướng dẫn giải Để A nn 3 là số chính phương thì nn 3 k2 với k là số tự nhiên, do đó: n22 3 nk 4n22 12 nk 4 4nn22 12 9 4 k 9 23nk 22 2 9 2232239nk nk Ta có 223nk 223 nk Và 9 9.1 3.3 1 . 9 3 . 3 2n 2 k 39 nk 3 n 1 Trường hợp 1 : A 4 2n 2 k 31 nk 1 k 2 2n 2 k 33 nk 0 n 0 Trường hợp 2 : A 0 2n 2 k 33 nk 0 k 0 223n k 1 nk 2 n 4 Trường hợp 3 : A 4 223n k 9 nk 6 k 2 223n k 3 nk 3 n 3 Trường hợp 4 : A 0 223n k 3 nk 3 k 0 Vậy khi n 4; 3;0;1 thì ta có A là số chính phương. Bài toán 2. Tìm số nguyên n sao cho n +1955 và n + 2014 là một số chính phương. Hướng dẫn giải 2 2 Giả sử na+=1955 ; nb+=2014 với a, b∈ và ab< . ba−=1 a = 29 Khi đó b22−= a59 ⇔−()() baba += 59 ⇔ ⇔ . ba+=59 b = 30 Dễ dàng suy ra n = −1114. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13 Website:tailieumontoan.com Bài toán 3. Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương: a) A n25 n 2 bB )2 n n Hướng dẫn giải a) Với n = 1 thì A = n2 – n + 2 = 2 không là số chính phương Với n = 2 thì A = n2 – n + 2 = 4 là số chính phương Với n > 2 thì A = n2 – n + 2 không là số chính phương vì n 1 2 n2 21 n nn 22 2 n Vậy n = 2 thì A là số chính phương. b) Ta có: n5 n n 22 11 nn Với n = 5k thì n chia hết cho 5. Với nk 51thì n2 1chia hết cho 5 Với nk 52thì n2 1chia hết cho 5 Do đó nn5 luôn chia hết cho 5 Nên nn5 2 chia cho 5 thì dư 2 nên nn5 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên Bn 5 n2 không là số chính phương Vậy không có giá trị nào của n thỏa để B là số chính phương. Bài toán 4. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho các số n +1, 21n + , 51n + đều là các số chính phương. Hướng dẫn giải Nếu nk=31 + ()k ∈ thì nk+=13 + 2, không là số chính phương. Nếu nk=32 + thì 2nk+= 16 + 5, cho cho 3 dư 2 nên không là số chính phương. Vậy n3. 21n + là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1. Suy ra 28nnn⇒ 4 ⇒+ 1 lẻ. Do n +1 là số chính phương lẻ nên n +1 chia cho 8 dư 1, suy ra n8. n chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau 3 và 8 nên n24 . Với n = 24 thì n +=1 25 = 52 , 2n += 1 49 = 72 , 5n += 1 121 = 112 . Giá trị nhỏ nhất của n phải tìm là 24 . Bài toán 5. Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + + n! là một số chính phương. (Đề thi HSG lớp 6 - Phòng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14 Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn giải Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; ; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương. Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3. Bài toán 6. Tìm số nguyên dương n sao cho An=+()3() 4 n2 ++ 14 n 7 là số một chính phương. (Đề thi chọn HSG Toán 9 tỉnh Thái Bình) Hướng dẫn giải Ta có: 4nn2 + 14 += 7()() n + 3 4 n + 2 + 1 và n là số nguyên dương nên n + 3 và 4nn2 ++ 14 7 là nguyên tố cùng nhau. Vì vậy, để A là số chính phương thì 4nn2 ++ 14 7 và n + 3 phải là số chính phương. 22 Do nZ∈ + nên ta có ()()2n+ 3 ≤ 4 nn2 + 14 +< 7 2 n + 4 . 2 ⇒4nn2 + 14 += 7() 2 n + 3 ⇒=n 1. Khi đó n + 3 = 4 là số chính phương. Thử lại, với n =1, ta có A =102 . Vậy số nguyên dương cần tìm là n =1. Bài toán 7. Tìm 3 ≤∈a sao cho aa()−1. aa() −= 1()() a − 2 aaa − 1. Hướng dẫn giải 2 Ta có aa()−1. aa() −= 1()() a − 2 aaa −⇔ 1 aa() − 1 =()() a − 2 aaa − 1. (*) Vì VT(*) là số chính phương nên VP(*) cũng là số chính phương. Vì số chính phương chỉ có chữ số tận cùng thuộc tập hợp {}0;1; 4;5;6;9 nên a có chữ số tận cùng thuộc tập hợp {}1;2;5;6;7;0 . Do a là chữ số nên a ≤ 9. Kết hợp với 3 ≤∈a nên a ∈{}5;6;7 . Thử lần lượt từng giá trị ta thu được a = 7 thỏa mãn 762 = 5776. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15 Website:tailieumontoan.com Bài toán 8. Tìm số tự nhiên n sao cho 29n + là số chính phương. Hướng dẫn giải n Giả sử 29+=m2 , m∈⇔ ()() mm −3 += 3 2.n m −=32a Vì mm−<33 + nên , v i a, b∈ và ab< .  b ớ m +=32 Ta có 2b− 2 a =⇔ 6 2 a() 2 ba− −= 1 6. Vì 2a() 2 ba− − 12 mà 22a() ba− − 14 nên a =1. Điều này dẫn đến m = 5 và n = 4.  Dạng 4: Tìm số chính phương. * Cơ sở phương pháp: Dựa vào định nghĩa về số chính phương Ak 2 , với k là số nguyên và các yêu cầu của bài toán để tìm ra số chính phương thỏa bài toán. * Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Tìm số chính phương abcd biết ab−= cd 1. Hướng dẫn giải Giả sử n2 = abcd =100 ab += cd 100() 1 + cd + cd =101cd + 100 , nZ∈ . ⇒101.cd =−=− n2 100()() n 10 n + 10 . Vì n <100 và 101 là số nguyên tố nên n +=10 101. ⇒=n 91. Thử lại: abcd =912 = 8281 có 82−= 81 1. Vậy abcd = 8281. Bài toán 2. Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B. Hướng dẫn giải Gọi A= abcd = k 2 . Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16 Website:tailieumontoan.com A= abcd = k 2 Theo đề bài ta có: .  2 B= abcd +=1111 m (với km, ∈ N* và 31 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương. Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101 mk 11 m 56 A 2025 Do đó: mk 101 k 45 B 3136 Vậy A = 2025, B = 3136. Bài toán 3. Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương. Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm là abcd với a; b; c; d là các số tự nhiên và 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b, c, d ≤ 9. Ta có abcd chính phương ⇒ d ∈{}9,6,5,4,1,0 . Vì d là số nguyên tố ⇒ d = 5. Đặt abcd k 2 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100, kN∈ . Do k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5 ⇒ k tận cùng bằng 5 Tổng các chữ số của k là một số chính phương ⇒ k = 45 (vì k tận cùng bằng 5 và có 2 chữ số) ⇒ abcd 2025 Vậy số phải tìm là: 2025. C. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho abc;; là 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện ab++= bc ca 1. Chứng minh rằng (abc222+++ 1)( 1)( 1) là 1 số chính phương. nn()21− Bài 2: Tìm số nguyên dương n sao cho là số chính phương . 26 (Đề TS lớp 10 THPT Chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa 2012-2013) Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho An=++432 n n có giá trị là số chính phương. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17 Website:tailieumontoan.com (Đề TS lớp 10 THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An 2010-2011 ) Bài 4: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì biểu thức A=++()()()() xyx234 yx + yx ++ y y4 có giá trị là số chính phương. Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương: a) A 22499 9100 09 b) B 11 155 56 nn 2 nn 1 Bài 6: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số liên tiếp không thể là số chính phương. Bài 7: Cho dãy số 49;4489;444889;44448889; Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương Bài 8: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p −1 và p +1 không thể là các số chính phương. Bài 9: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương. Bài 10: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương Bài 11: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24. Bài 12: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. Bài 13 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau. Bài 14: Cho số nguyên dương n và các số A = 444 4   (A gồm 2n chữ số 4); B = 888 8    (B 2n n gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương. (Đề vào chuyên toán Hà Nam năm 2013-2014) Bài 15: Giả sử N = 1.3.5.7 2007 Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N − 1, 2,N và 21N + không có số nào là số chính phương. Bài 16: Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu Sn là tổng của n số nguyên tố đầu tiên SS12 2, 2 3, S 3 2 3 5, . Chứng minh rằng trong dãy số SSS123, , , không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là các số chính phương . (Đề vào chuyên toán sư phạm Hà Nội năm 2013-2014) Bài 17: Cho p là một số nguyên tố. Tìm p để tổng các ước nguyên dương của p4 là một số chính phương. (Đề vào chuyên Hưng Yên năm 2013-2014) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18 Website:tailieumontoan.com Bài 18: Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho nn2 14 256 là một số chính phương. (Đề thi HSG lớp 9 Thanh Oai năm 2012-2013) 111 1 Bài 19: Cho các số nguyên a, b, c ≠ 0 thoả mãn: ++= a b c abc Chứng minh rằng: ()()()1a+++2 1b 22 1c là số chính phương (Đề thi HSG lớp 9 trường Trần Mai Ninh năm 2012-2013) Bài 20: Tìm số tự nhiên n sao cho An 2 n6 là số chính phương (Đề thi HSG lớp 9 huyện Vĩnh Lộc năm 2018-2019) Bài 21: Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết rằng nó là một số chính phương, chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố. (Đề thi HSG lớp 9 quận Ngô Quyền năm 2018-2019) Bài 22: (Đề thi HSG lớp 9 huyện Cẩm Giang năm 2018-2019) Cho S 2 22 2 3 2 98 . Chứng tỏ S không phải là số chính phương. Bài 23: Tìm x nguyên dương để 4x32+ 14x +− 9x 6 là số chính phương (Đề thi HSG lớp 9 TP Bắc Giang năm 2017-2018) Bài 24: Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương? (Đề thi HSG lớp 9 huyện Kim Thành năm 2012-2013) Bài 25: Tìm các số nguyên dương n sao cho 234nnn++ là số chính phương. (Đề thi HSG lớp 9 huyện Vũ Quang năm 2018-2019) Bài 26: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2014 là một số chính phương (Đề thi HSG lớp 9 Trường Thanh Văn năm 2017-2018) Bài 27: Tìm các số nguyên x sao cho x32− 3x ++ x 2 là số chính phương. (Đề thi HSG lớp 9 huyện Lục Nam năm 2018-2019) Bài 28: Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai: a) A+ 51 là số chính phương. b) Chữ số tận cùng bên phải của A là số 1. c) A− 38 là số chính phương. (Đề thi HSG lớp 9 huyện Đan Phượng năm 2018-2019) Bài 29: Tìm các số hữu tỉ n thỏa mãn tổng sau là số chính phương: nn2 ++503 . Giả sử tồn tại số hữu tỉ n và số nguyên dương m để nn22++503 = m. (Đề thi HSG lớp 9 huyện Vũ Quang năm 2018-2019) Bài 30: Tìm các số tự nhiên n sao cho n 50 và n 50 đều là số chính phương. (Đề thi HSG lớp 9 huyện Thăng Bình năm 2018-2019) Bài 31: Tìm số tự nhiên n sao cho: n 24 và n 65 là hai số chính phương. (Đề thi HSG lớp 9 huyện Phù Ninh năm 2018-2019) Bài 32: Chứng minh rằng: B 4 xxyxyzxz yz22 là một số chính phương với x, y, z là các số nguyên. (Đề thi HSG lớp 9 huyện Tiền Hải năm 2017-2018) Bài 33: Tìm n∈ * sao cho: nn43++1 là số chính phương. (Đề thi HSG lớp 9 huyện Thanh Oai năm 2012-2013) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19 Website:tailieumontoan.com Bài 34: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ()xy; sao cho 2() x22+−+ y 3x 2y − 1 và 5() x22++++ y 4x 2y 3 đều là số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Nam Định năm 2019-2020) 4 Bài 35: Chứng minh rằng số M=+() n1 ++ n4 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương. (Đề vào 10 Chuyên Bình Thuận năm 2019-2020) 2 Bài 36: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 12n 1 là số nguyên. Chứng minh rằng 2 2 12n 1 2 là số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Bắc Ninh năm 2019-2020) Bài 37: Cho a, b, c là các số nguyên dương nguyên nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn 111 . Chứng minh rằng ab là số chính phương. abc (Đề vào 10 Chuyên Thái Nguyên năm 2016-2017) Bài 38: Chứng minh rằng nếu a và b là các số tự nhiên lẻ thì ab22+ không phải là số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Hòa Bình năm 2016-2017) Bài 39: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2 + 3n là một số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Quốc Học Huế năm 2017-2018) Bài 40: Chứng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì b2 4 ac không là số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Bình Định năm 2017-2018) Bài 41: Tìm các số nguyên m sao cho m2 +12 là số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Phú Thọ năm 2017-2018) Bài 42: Tìm tất cả các cặp (x; y) nguyên dương sao cho xy2 + 8 và yx2 + 8 là các số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Toán Hải Dương năm 2017-2018) 2 Bài 43: Cho biểu thức A=+() mn ++3 mn với m, n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu A là một số chính phương thì n3 +1 chia hết cho m. (Đề vào 10 Chuyên TP Hồ Chí Minh năm 2017-2018) Bài 44: Cho p là một số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên n để An=41 + 4 np− là số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu năm 2017-2018) Bài 45: Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn mn++1là một ước nguyên tố của 22 21()mn+−. Chứng minh rằng mn. là số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Nghệ An năm 2018-2019) 3 Bài 46: Tìm các giá trị nguyên của x để Mx=++42() x12 − x − 2 xlà số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Hưng Yên năm 2018-2019) Bài 47: Cho số tự nhiên n ≥ 2 và số nguyên tố p thỏa mãn p −1chia hết cho n đồng thời n3 −1chia hết cho p . Chứng minh rằng np+ là một số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Đại học Vinh Nghệ An năm 2018-2019) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20 Website:tailieumontoan.com Bài 48: Tìm hai số nguyên tố p và q, biết rằng pq+ và pq+ 4 đều là các số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Nam năm 2018-2019) Bài 49: Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của 2 số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên n thì n là tổng 2 số chính phương liên tiếp. (Đề vào 10 Chuyên Bắc Ninh năm 2018-2019) Bài 50: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để 2018 + n2 là số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Bắc Giang năm 2018-2019) Bài 51: Cho A= mn22 −−42 m n với mn, là các số nguyên dương. Khi n = 2 tìm m để A là số chính phương. Khi n ≥ 5chứng minh rằng Akhông thể là số chính phương. (Đề vào 10 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019) Bài 52: Chứng minh nếu ab; là các số nguyên thỏa mãn hệ thức 23aa22+= bb + thì ab− và 2ab 21là những số chính phương. Bài 53: Tìm số tự nhiên x để biểu thức xx2 ++2 20 có giá trị là một số chính phương. Bài 54. Tìm các số nguyên x sao cho A xx( 1)( x 7)( x 8) là một số chính phương. Bài 55. Cho A =−+11 1 88 8 1. Chứng minh A là một số chính phương. 2nn Bài 56. Tìm tất cả số tự nhiên x,y để 25xy là số chính phương. Bài 57. Tìm nN∈ để 28 + 211 + 2n là số chính phương . Bài 58. Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 21n + và 31n + đều là các số chính phương.  11 11 A =      2m  11 11 ; 8 Bài 59. Cho các số: B =     Chứng minh rằng: ABC+++ là một số chính phương.  m+1 C = 66 66       m Bài 60. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n432 22 n nn 7 là số chính phương. (Đề thi vào lớp 10 chuyên, trường ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội năm 1992) Bài 61. Tìm tất cả các số nguyên không âm n sao cho có các số nguyên a, b thỏa mãn n2 = ab + và nab3= 22 + . (Romanian MO 2004) Bài 62. Hãy tìm hai số chính phương phần biệt aaaa1234 và bbbb1234 biết rằng abababab11−= 22 −= 33 −= 44 − Bài 63. Có tồn tại hay không 2013 số nguyên dương a1, a2 , , a2013 sao cho các số 2222222 2 aa12+ , aaa1++ 23, aa1+ 2 ++ a 2013 đều là số chính phương? Bài 64. Thay các dấu * bằng các chữ số sao cho số sau đây là một số tự nhiên. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
21 Website:tailieumontoan.com 6 A = 4 nn−+11 n Bài 65. Với mỗi n∈ , đặt An =()()10 + 10 ++ 10 + 1 10 + 5 + 1 . Chứng minh rằng An là số chính phương. Bài 66. Giả sử rằng 21n + và 31n + là các số chính phương. Chứng minh rằng 53n + là một hợp số. Bài 67. Có hay không các số xy, phân biệt thuộc khoảng ()988;1994 sao cho xy+ x và xy+ y đều là các số chính phương ? ( Thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP.HCM năm 1994) Bài 68. Có tồn tại hay không một số tự nhiên n sao cho số kn= ++11 n − là một số hữu tỉ. a =144 a =1444 a = Bài 69. Cho dãy số , 2 , 3 , n 1444 44    n chu so4 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho an là số chính phương. Bài 70. Chứng minh rằng có vô số bộ ba 3 số tự nhiên ()abc,, sao cho abc,, nguyên tố cùng nhau và số n=++ ab22 bc 22 ca 2 2 là một số chính phương. Bài 71. Tìm các số nguyên m và n để cho đa thức pxxmxxnxx( )=+43 + 29 2 ++ 4, ∈ là một số chính phương. Bài 72. 1. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất, a ≠ 0 sao cho a chia hết cho 6 và 1000a là số chính phương. 2. Tìm số tự nhiên b nhỏ nhất sao cho số ()b −1 không chia hết cho 9, b chia hết cho tích của bốn số nguyên tố liên tiếp và 2002.b là số chính phương. Bài 73. Cho a và b là 2 số tự nhiên, ab22 có thể là một số chính phương không? 2 Bài 74. Tìm số tự nhiên k= ab có hai chữ số sao cho k+=+ ab a b () Bài 75. Tìm tất cả các số nguyên n để A 20172432 nnn là số chính phương (Tạp chí Toán & học tuổi trẻ số 468) n 37 Bài 76. Tìm số nguyên dương n để là bình phương của một số hữu tỷ dương tùy ý. n 43 (HSG Nam Định 2015 -2016) 2 Bài 77. Tìm số tự nhiên có dạng abc thỏa mãn: abc= n2 −1 và cba=() n − 2 với nn∈> ,2. (HSG Sóc Trăng 2015 - 2016) Bài 78. Tìm số tự nhiên n sao cho n +12 và n −11 đều là số chính phương. (HSG Sóc Trăng 2016 - 2017) Bài 79. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho nn2 −−14 256 là một số chính phương. (HSG Quảng Nam 2014 - 2015) Bài 80. Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm n biết n + 4 và 2n đều là các số chính phương. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
22 Website:tailieumontoan.com (HSG Trà Vinh 2016 - 2017) Bài 81. Cho n là số tự nhiên. Hãy tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho số 195 A=1010 n2 + 2010() np ++ 10 10 có thể viết dưới dạng hiệu của 2 số chính phương. (HSG Lâm Đồng 2016 - 2017). Bài 82. Tìm nghiệm nguyên dương x để 3x + 171 là số chính phương. (HSG Lai Châu 2015 - 2016) Bài 83. Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho 5xx+ 12 là một số chính phương. (HSG Bắc Giang 2015 - 2016) Bài 84. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A là một số chính phương với An=44 + 22 n 32 + 37 n +− 12 n 12. (Chuyên Yên Bái 2016 - 2017). Bài 85. Tìm các số nguyên k để kk43−+8 23 k 2 − 26 k + 10 là số chính phương. (Chuyên Hải Dương 2015 - 2016). 123222+ + +⋅⋅⋅+n 2 Bài 86. Tìm số tự nhiên n (n > 1) bé nhất sao cho là số chính phương. n (Tạp chí toán học tuổi trẻ số 362). Bài 87: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho cả hai số 9n + 16 và 16n + 9 đều là số chính phương. Bài 88: Lấy một số tự nhiên có 2 chữ số chia cho số có 2 chữ số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 4 và dư 15. Nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được một số bằng tổng bình phương của 2 chữ số tạo thành số đó. Tìm số tự nhiên ấy. Bài 89. Viết các số 1, 2, 3, , 2007 thành dãy theo thứ tự tùy ý được số A. Hỏi số A ++20082007 2009 có phải là số chính phương hay không? Vì sao? (Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 377) Bài 90. Cho các số hữu tỉ x, y thỏa mãn xy5+= 52x 22 y. Chứng minh 1− xy là bình phương của một số hữu tỉ. Bài 91. Cho mn, là hai số nguyên dương lẻ sao cho n2 1 chia hết cho [mn22 1]. Chứng minh rằng [mn22 1] là số chính phương. Bài 92. Chứng minh rằng trong ba số chính phương tuỳ ý luôn tồn tại hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 4 . Bài 93. Chứng minh rằng nn5 1999 2017 ()nN không phải là số chính phương. (HSG Tỉnh Quảng Ngãi 2017 – 2018) Bài 94. Giả sử n là số nguyên dương thoả mãn điều kiện nn2 3 là số nguyên tố. Chứng minh rằng n chia 3 dư 1 và 7nn2 6 2017 không phải số chính phương. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
23 Website:tailieumontoan.com (Chuyên Tỉnh Quảng Ngãi 2017-2018) Bài 95. Cho xy, là các số nguyên thoả mãn 23xx22 yy . Chứng minh x yx;2 2 y 1và 331xy đều là các số chính phương. (HSG Tỉnh Thanh Hoá 2015-2016) Bài 96. Cho biểu thức A 2(122 2 2017 2 ) . Hỏi A có là bình phương của một số nguyên hay không? (Toán học tuổi thơ số 120) Bài 97. Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2016aa22 2017 bb (1). Chứng minh rằng ab là một số chính phương. (Toán học tuổi thơ số 120) Bài 98. Cho xyz,, là các số nguyên tố cùng nhau và thoả mãn (x zy )( z ) z2 . Chứng minh rằng tích 20172 xyz là một số chính phương. (Toán học tuổi thơ số 120) Bài 99: Xác định số điện thoại của THCS thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82x x yy với xx yy là số chính phương. (HSG Bình Dương 2016 – 2017) Bài 100: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho C= 2019n + 2020 là số chính phương. (HSG Quảng Bình 2018 – 2019) Bài 101: Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p3 −+ 4p 9 là số chính phương. (HSG Bắc Ninh 2018 – 2019) Bài 102: Cho B=1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ++ nn .()() − 1 . n − 2 với n∈ * . Chứng minh rằng B không là số chính phương. (HSG Bắc Ninh 2018 – 2019) Bài 103: Cho số nguyên tố pp 3 và hai số nguyên dương ab, sao cho pab222 . Chứng minh a chia hết cho 12 và 21 pa là số chính phương. (HSG Quảng Nam 2018 – 2019) Bài 104: Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ; 625 chọn ra 311 số sao cho không có hai số nào có tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương. (HSG Hưng Yên 2017 – 2018) Bài 105: Tìm các số tự nhiên n sao cho n22++ 2n n +++ 2n 18 9 là số chính phương. (HSG Hải Dương 2016 – 2017) Bài 106: Tìm các số có 2 chữ số ab() a≠ b sao cho số n= ab − ba là một số chính phương Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
24 Website:tailieumontoan.com (HSG Hưng Yên 2015 – 2016) a 111 1 b 1 000 0 5 Bài 107: Cho =  và =  . Chứng minh rằng số M= ab + 1 là số chính 2017 sè 1 2016 sè 0 phương. (HSG Đăk Lăk 2015 – 2016) 2.6.10 (4n − 2) Bài 108: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số: a =1 + là một n (nn++ 5)( 6) (2 n ) số chính phương (Trích đề chuyên toán Đại học sư phạm Hà Nội 2014 – 2015) Bài 109: Tìm ab, để f()() x= x4 +2 x 32 − x + xa − 42 ++ b viết thành bình phương của một đa thức. (HSG huyện Chương Mỹ 2019 – 2010) Bài 110: Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương. (HSG tỉnh Bình Dương 2016 – 2017) Bài 111: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 23aabb22+= +. Chứng minh rằng 2a + 3b + 1 là số chính phương. (HSG tỉnh Hải Dương 2016 – 2017) Bài 112: Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2. Chứng minh rằng n2 + m không là số chính phương. (HSG tỉnh Hải Dương 2016 – 2017) 9 13 n Bài 113: Tìm tất cả các số nguyên dương n để A =++22 2 là số chính phương. (HSG tỉnh Hải Dương 2009 – 2010) Bài 114. Cho a, b là hai số nguyên dương, đặt A=+−()() ab222, a22 B =+− ab 2. b Chứng minh rằng A và B không đồng thời là số chính phương. (Vào 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2018 – 2019) Bài 115. Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a22+ b +=1 2( ab + a + b ). Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp. (Vào 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015 – 2016) Bài 116. Cho hai số hữu tỉ a, b thỏa mãn đẳng thức a3 b+ ab 3 +2 a 22 b + 2 a + 2 b += 1 0. Chứng minh rằng 1 – ab là bình phương của một số hữu tỉ. (Vào 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2011 – 2012) Bài 117. Giả sử m và n là những số nguyên dương với n > 1. Đặt S= mn22 −+4 m 4. n Chứng minh rằng: 2 1) Nếu m > n thì ()mn2−<2. n 2 S < m 24 n Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
25 Website:tailieumontoan.com 2) Nếu S là số chính phương thì m = n. (Vào 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2010 – 2011) Bài 118. Cho x, y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho 4xy22−+ 77 x y là số chính phương. Chứng minh rằng: xy= . (Vào 10 Chuyên Khoa học tự nhiên 2014 – 2015) 2 Bài 119. Cho biểu thức A=+() mn ++3 mn với m, n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu A là một số chính phương thì n3 +1 chia hết cho m. (Vào 10 Chuyên TP. Hồ Chí Minh 2017 – 2018) Bài số 120. Chứng minh rằng: Nếu abc là số nguyên tố thì b2 − 4 ac không phải là số chính phương. ()()nn++14 3 Bài 121. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để là số chính phương. 3 Bài 122. Tìm các số nguyên tố xy, sao cho: x22++3 xy y là số chính phương. 2 Bài 123. Cho 2 số tự nhiên yx> thỏa mãn: ()()()21y−= 2 yx − 6 yx +. Chứng minh 2yx− là số chính phương. Bài 124. Cho các số nguyên dương abc,, thỏa mãn: ()()abc, ,= 1, ab = c a − b . Chứng minh: ab− là số chính phương. Bài 125. Cho xy, là số nguyên dương sao cho xyx22+− chia hết cho xy . Chứng minh: x là số chính phương. Bài 126. Cho 3 số tự nhiên abc,, thỏa mãn điều kiện ab− là số nguyên tố và 3c2 =++ abcab() . Chứng minh: 81c + là số chính phương. Bài 127. Giả sử n là số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho 81n + và 24n + 1 là số chính phương. Chứng minh rằng: 83n + là hợp số. Bài 128. Cho ab, là hai số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp c và d để a−= b ac22 − bd. Chứng minh rằng ab− là số chính phương. 222 Bài 129. Cho các số tự nhiên abc,, sao cho a222++=− b c()()() ab +− bc +− ca. Chứng minh rằng các số ab,, bc ca và ab++ bc ca đều là số chính phương. 22 Bài 130. Cho A =33 3 + 55 544 4 . Chứng minh rằng A là số chính phương. n nn−1 Bài 131. Tìm tất cả các số tự nhiên n để 49n + và 9n + 10 đều là số chính phương. Bài 132. Tìm tất cả các số tự nhiên n để 3n + 144 là số chính phương. Bài 133. Tìm tất cả các số nguyên dương n để 3n + 63 là số chính phương. Bài 134. Chứng minh rằng không thể thêm chữ số 0 vào giữa chữ số 6 và 8 trong số 1681 để thu được một số chính phương. Bài 135. Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2222012++ 2015 n là số chính phương. Bài 136. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên mn, sao cho 23mn+ là số chính phương. Bài 137. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ()mn, để 2mn .5+ 25 là số chính phương. Bài 138. Tìm các số nguyên dương xy, sao cho xy2 + 3 và yx2 + 3 là số chính phương. Bài 139. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
26 Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh rằng: Nếu n là số tự nhiên sao cho 21n + và 31n + là số chính phương thì n40 . b) Tìm tất cả các số tự nhiên ab để 2ab++ 1, 3 ab 1 là các số chính phương. Bài 141. a) Chứng minh: n =1984 là giá trị lớn nhất của n để số 4431++ 1008 4n là số chính phương. b) Tìm các số nguyên dương xyz,, để: 444xyz++ là số chính phương. Bài 142. Cho số nguyên dương n và d là một ước số nguyên dương của 3n2 . Chứng minh: nd2 + là số chính phương khi và chỉ khi dn= 3 2 . Bài 143. Cho mn, là 2 số nguyên dương lẻ sao cho n2 −1 chia hết cho mn22−+1 . Chứng minh rằng: mn22−+1 là số chính phương. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Ta có: a22+=+++=+1 a ab bc ca()() a b a + c Tương tự: b22+=1()()()() abbc + + ;1 c += bcca + + 222 2 Do đó: ()()()a+111 b + c +=()()() abbcca + + + Vậy bài toán được chứng minh. Bài 2: Đặt n(2n – 1) = 26q2 (1) Do VP chẵn và (2n – 1) lẻ nên n chẵn hay n = 2k Do đó: (1) suy ra k(4k – 1) = 13q2 (2) Nhận thấy (k, 4k – 1) = 1 nên: ku=22 k = 13 u ⇔∨ ()1 22 411k−=3 v 41 kv −= Xét trường hợp 1 ta có:  ku= 2 ⇒k = v2 += vv 22 + +⇒ v 2 + ⇒ v 2 ≡  2 4 13 1 12 1 1 4 3() mod 4 (vô lý) 4kv−= 1 13 Xét trường hợp 2 ta có:  ku= 13 2 ⇒=+kv2  2 41(vô lý) 41kv−= Vậy không tồn tại n thỏa mãn yêu cầu đầu bài. Bài 3: Ta có A = nnnnnn432+ + = 22() ++1 Với n = 0 thì A = 0 (thỏa mãn) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
27 Website:tailieumontoan.com Với n ≠ 0 thì A là số chính phương khi và chỉ khi nn2 ++1 là số chính phương. 2 Khi đó nn22+ +=1 kk() ∈ .⇒4()nn22 ++ 14 = k ⇒() 21 n + − 4 k 2 =− 3 ⇒()()212212n +− kn ++ k =− 3 Vì 212212,n++ kn ≥ +− kn ∀∈ , k ∈ nên 2nk +− 12 =− 3  2nk++ 12 = 1  2nk+− 12 =− 1  2nk++ 12 = 3 2nk+− 12 =− 3  ⇒=−n 1 (thỏa mãn) 2nk++ 12 = 1  2nk+− 12 =− 1  ⇒=n 0 (loại) 2nk++ 12 = 3  Vậy nn=0; = − 1 Bài 4: Ta có A=++()()()() xyx234 yx + yx ++ y y4 =++()()x254 xy y 22 x ++ 56 xy y 2 + y 4 22 Đặt x++=55 xy y t ( t ∈ Z ) thì A = ( tytyytyyt−2)( + 2 ) +=−+==+ 42 4 42 ( x 2 5 xyy + 5 22 ) Vì x, y, z ∈ Z nên xZ2∈, 5 xyZ ∈ ,5 yZ 22 ∈ ⇒+ x 5 xyyZ + 5 2 ∈ Vậy A là số chính phương. Bài 5: a) Ta có: A 22499 9100 09 nn 2 224.102n 99 9.10 nn 21 10 9 224.102nn 10 2 1 .10 n 21 10 n 9 224.1022n 10 nn 10 2 10 n 1 9 225.102nn 90.10 9 2 15.10n 3 Vậy A là số chính phương. b) Ta có : n B =11 155 56 = 11 155 5 += 1 11 1.10 + 5.11 1 + 1 nn−1 n n n n n n2 nn n 10− 1n 10 − 1 10 − 10 + 5.10 −+ 5 9 =.10 + 5. += 1 99 9 102nn++ 4.10 4 = 9 2 10n + 2 =  3  Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
28 Website:tailieumontoan.com Do đó B là số chính phương. Bài 6: Giả sử: n 2; n 1; nn ; 1; n 2 với 2 n là 5 số tự nhiên liên tiếp Ta có: n 2 22 n 1 nn22 1 2 n 25 2 n 2 Vì n2 không thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên nn22 25  5 2 không là số chính phương. Vậy tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không phải số chính phương. n Bài 7: Ta có 44 488 89 = 44 488 8 += 1 44 4. 10 + 8. 11 1 + 1 nn−1 n n n n 10nn−− 1 10 1 =4. .10n ++ 8. 1 99 4.1022nnn− 4.10 + 8.10 −+ 8 9 4.10 nn + 4.10 + 1 = = 99 2.10n + 1 =  3 Ta thấy 2.10n += 1 200 01 ( có n −1 chữ số 0 ) có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 2.10n + 1 Suy ra ∈ hay các số có dạng 44 488 89 là số chính phương. 3 Bài 8: Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên Nên p  2 và p không chia hết cho 4 ()1 2 a) Giả sử p +1 là số chính phương. Đặt p+=1 mm() ∈ Vì p chẵn nên p +1 lẻ ⇒ m2 lẻ ⇒ m lẻ. Đặt mk=+∈21() k . Ta có: mkk22=4 ++ 41 2 ⇒p +=14 kk + 4 + 1 2 ⇒=p4 k + 4 k = 4 kk() + 14 mâu thuẫn với ()1 ⇒+p 1 là số chính phương. b) p =235 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ là số chia hết cho 3 ⇒−p 1 có dạng 32k + . Không có số chính phương nào có dạng 32k + Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
29 Website:tailieumontoan.com Nên p −1 không là số chính phương. Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p −1 và p +1 không là số chính phương. Bài 9: Giả sử 2010 + n2 là số chính phương thì 2010 + n2 = m2 (m∈ N ) Từ đó suy ra m2 - n2 = 2010 ⇔ (m + n) (m – n) = 2010 Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) ⇒ m + n và m – n là 2 số chẵn. ⇒ (m + n) (m – n)  4 nhưng 2006 không chia hết cho 4 ⇒ Điều giả sử sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương. Bài 10: Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n−2, n − 1, nn , ++ 1, n 2() n ∈ , n ≥ 2 . 22 2 2 Ta có: ()()()()n−2 +− n 1 +++ nn22 1 ++ n 2 = 5.() n + 2 Vì n2 không thể tận cùng bởi 3hoặc 8 Do đó n2 + 2 không thể chia hết cho 5 Suy ra: 5.()n2 + 2 không là số chính phương Hãy nói cách khác: A không là số chính phương Bài 11: Vì n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương nên đặt n + 1 = k2, 2n + 1 = m2 (k, m ∈ N ) Ta có m là số lẻ ⇒ m = 2a + 1 ⇒ m2 = 4a(a + 1) + 1 m 2 −1 4a(a + )1 Mà n = = = 2a(a + )1 2 2 ⇒ n chẵn ⇒ n + 1 lẻ ⇒ k lẻ ⇒ đặt k = 2b + 1 (với b∈ N ) ⇒ k2 = 4b(b+1) + 1 ⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n  8 (1) Ta có: k2 + m2 = 3n + 2 ≡ 2 (mod3) Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1 Nên để k2 + m2 ≡ 2 (mod3) thì k2 ≡ 1 (mod3) m2 ≡ 1 (mod3) ⇒ m2 – k2  3 hay (2n + 1) – (n + 1)  3 ⇒ n  3 (2) Mà (8; 3) = 1 (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ n  24 Bài 12: Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9 Ta có: n2 = aabb = 11. a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
30 Website:tailieumontoan.com Nhận xét thấy aabb  11 ⇒ a + b  11 Mà 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương Bằng phép thử với a = 1; 2; ; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn ⇒ b = 4 Số cần tìm là: 7744 Bài 13: Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n - 1 ; 2n + 1 ; 2n + 3 (n ∈ N) Ta có : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 . a với a lẻ và 1 ≤ a ≤ 9 ⇒ 12n(n + 1) = 11(101a – 1) ⇒ 101a – 1  3⇒ 2a – 1  3 Vì 1 ≤ a ≤ 9 nên 1 ≤ 2a – 1 ≤ 17 và 2a – 1 lẻ nên 2a – 1 ∈{}15;9;3 ⇒ a∈{}8;5;2 Vì a lẻ ⇒ a = 5 ⇒ n = 21 3 số cần tìm là: 41; 43; 45 n Bài 14: Ta có A =444 4 = 444 4000 0 + 444 4 = 444 4.() 10 −+ 1 888 8 2n nn n n n 2  = 4.111 1.999 9 +=B 4.111 1.9.111 1   += BB 6.111 1  + nn n n n 2 2 33 =.888 8   +=B BB + 44n  Khi đó 22 2 3  33  3  A+2BB += 4 ++B 2BBB += 4  + 2. .2 += 4  B + 2  4  44  4  2 22 3    =.888 8  += 2  3.222 2    += 2  666 68    4 n  nn −1  Ta có điều phải chứng minh. Bài 15: a. 2N −= 1 2.1.3.5.7 2007 − 1 Có 23N  ⇒−21N không chia hết cho 3 và 2N−= 13 kk + 2() ∈ Suy ra 21N − không là số chính phương. b. 2N = 2.1.3.5.7 2007 Vì N lẻ nên N không chia hết cho 2 và 22N  . Nhưng 2N không chia hết cho 4. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
31 Website:tailieumontoan.com 2N chẵn nên 2N không là số chính phương. c. 2N += 1 2.1.3.5.7 2007 + 1 21N + lẻ nên 21N + không chia hết cho 4. 2N không chia hết cho 4 nên 21N + không chia cho 4 dư 1. Do đó: 21N + không là số chính phương. Bài 16: Kí hiệu pn là số nguyên tố thứ n. Giả sử tồn tại số tự nhiên m mà 22 * Smm−1 = a;, S = b() ab ∈ N Vì SS12=2; = 10; S 4 = 17 ⇒> m 4 22 Ta có: pmm=− S S−1 =−=− b a()() abab +.Vì pm là số nguyên tố và b + a > 1. 2  ba−=1 pm +1 Nên  . Suy ra: pbm=2 −= 12 S mm −⇒ 1 S =() 1 ba+= pm 2 22 ppmm++11 Do m > 4 nên Sm≤()1 + 3 + 5 + + pp mm−1 + + 2 −− 1 9 = − 8 n – k – 7 Trường hợp 1: n – k – 7 = 1 và n + k – 7 = 305 => n = 160 (nhận) Trường hợp 2: n – k – 7 = - 305 và n + k – 7 = -1 => n = -146 (loại) Trường hợp 3: n – k – 7 = 5 và n + k – 7 = 61 => n = 40 (nhận) Trường hợp 4: n – k – 7 = -61 và n + k – 7 = -5 => n = -26 (loại) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
32 Website:tailieumontoan.com Vậy n = 40, k = 28 hoặc n = 160 , k = 152 111 1 Bài 19: Ta có: ++= ⇒++=ab bc ca 1 a b c abc ⇒+=+++=1 a22 ab bc ca a a(a ++ b) c(a +=+ b) (a b)(a + c) ⇒+=+++=1 b22 ab bc ca b b(a ++ b) c(a +=+ b) (a b)(b + c) ⇒+=+++=1 c22 ab bc ca c b(a ++ c) c(a +=+ c) (a c)(b + c) 1a2 1b 22 1c ab222 bc ac abbcca2 ⇒+()()() + +=+()()()()()() + +=+ + + Vì a, b, c là các số nguyên ⇒+(a b)(b + c)(c +∈ a) Z ⇒+(1 a2 )(1 + b 22 )(1 + c ) là số chính phương. Bài 20: Để A là số chính phương thì An=22 ++= n6 aaN() ∈ - Ta có: nn22++=6 a ⇔4n22 ++= 4n 24 4a 22 ⇔()()2a − 2n += 1 23 ⇔()()2a + 2n + 1 . 2a − 2n −= 1 23 - Vì a, n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và 2a + 2n + 1 > 2a – 2n -1. Do đó 2a + 2n += 1 23  4a = 24 = a 6 ⇔⇔  2a− 2n −= 1 1  4n = 20 n = 5 - Vậy n = 5 Bài 21: Ta có + d là số nguyên tố và abcd là số chính phương nên d = 5. 2 + abcd<10000 =⇒= 1002 abcd() x 5 ; với x ∈{}1;2;3;4; ;9 2 + Vì abcd chia hết cho 9 ()x5 9⇒ xx 5 3 ⇒ +∈ 5{}{} 6;9;12 ⇒∈ x 1; 4;7 Kiểm tra lại ta được hai số: 2015 và 5625. 2 3 98 Bài 22: Gọi M=+2 2 + 2 ++ 2 ⇒=+ SM 2 24 M=2 MM − =()()() 22 + 2 3 ++ 2 99 − 2 + 2 2 + + 2 98 = 2 99 −⇒ 2S = 2 99 = 2 4 .2 3 = 8.16 24 Vì 1624 có chữ số tận cùng là 6 ⇒ S có chữ số tận cùng là 8 Nên S không là số chính phương. Bài 23: Vì 4x32+ 14 xx +− 9 6 là số chính phương, nên ta có 4x32+ 14 xx +− 9 6 =k2 với k ∈N Ta có 4 x32+14 xx +− 9 6= =()x+24() xx2 +− 6 3nên ta có ()x+24() xx2 +− 6 3= k 2 Đặt ()x+2, 4 xx2 + 6 −= 3 d với d∈ N * Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
33 Website:tailieumontoan.com Ta có x+2 d ⇒+()() x 242 x −  d ⇒ 464 xx +− d Ta lại có 463xxd2+− ⇒()() 4634641 xx 22 +−− xx +−= dd ⇒= 1 Vậy ()x+2, 4 xx2 + 6 −= 3 1 mà ()x+24() xx2 +− 6 3= k 2 nên ta có x+2 và 4xx2 +− 63 là số chính phương⇒+=x2 av22 à 4x + 6 x −= 3 b 2 với a,b∈ N * 22 Vì x > 0 nên ta có 4xb22 ⇒ ()()knkn− + =17 ⇔ ⇒= n 8 kn+=17 Vậy với n = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 25: Đặt A =++234nnn. Nếu n =1 thì A = 9 (thỏa mãn) Xét n >1 hay n ≥ 2 thì 24nn+ chia hết cho 4 . Ta có 3n chia 4 dư 1 với n chẵn hoặc −1 với n lẻ. Mà một số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1 nên A phải chia 4 dư 1 nên 3n phải chia 4 dư 1. Suy ra n chẵn. Với n chẵn: 2n chia 3 dư 1, 4n chia 3 dư 1, 3n chia hết cho 3. Do đó A chia 3 dư 2 (vô lí, vì một số chính phương chia 3 có số dư là 0 hoặc 1). Vậy n =1. Bài 26: Giả sử n2+=2014 kk 22 ( ∈ N ) ⇔=−⇔=+−2014k22 n 2014()()() k nkn 1 Suy ra (k + n) và (k – n) = 2k là số chẵn nên (k + n) và (k – n) cùng tính chẵn lẻ Do 2014 là số chẵn nên (k + n) và (k – n) đều là số chẵn ⇒ (k + n)(k − n 4) Khi đó từ (1) suy ra ta lại có 20144 (điều này vô lí) Vậy không có số nguyên n nào để n 2 + 2014 là số chính phương Bài 27: Ta có: x32−3 xx ++= 22() x −() xx 2 −− 1 * Xét xx−=⇒=20 2: thỏa mãn yêu cầu bài toán. * Xét xx2 − −=10: Loại. * Xét x−=21 xx2 −− ta có: x =1. * TH xx≠≠2; 1. Với x nguyên ta chứng minh được ()x−1; xx2 −− 1 = 1 . Nên x32−32 xx ++ là số chính phương khi x − 2 và xx2 −−1 cùng là số chính phương. Để xx2 −−1 là số chính phương thì xx22− −=1 y với y ∈ . Tìm được x = 2 (loại do x ≠ 2 ) và x = −1. Thử lại x = −1 ta có x32−32 xx ++ có giá trị bằng −1 không phải là số chính phương nên ⇒=−x 1 (loại). Vậy x = 2 hoặc x =1 thì x32−32 xx ++ là số chính phương. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
34 Website:tailieumontoan.com Bài 28: Nếu mệnh đề b) đúng thì A + 51 có chữ số tận cùng là 2 và A – 38 có chữ số tận cùng là 3 nên cả hai số này đều không là số chính phương. Vậy mệnh đề b) sai và các mệnh đề a) và c) đúng. Giả sử A+=51 m22 ; A −= 38 n ( mn , ∈ Nm ; > n ) ⇒mn22 −=89 hay (m – n)(m + n) = 89 Vì 89 là số nguyên tố nên m + n = 89 và m – n = 1 => m = 45 và n = 44 nên A = 1974. Bài 29: Giả sử tồn tại số hữu tỉ n và số nguyên dương m để nn22++503 = m. a Vì: n là số hữu tỉ nên tồn tại ab,∈≠ Z ,0 b sao cho n = và ()ab;1= b 2 2 2aa 2 2 2 22 Ta có: n++=⇒ n503 m ++=⇔++ 503 m a ab 503 b = m b bb ⇔=−+a2 b() a503 b − mb 22 ⇒ a 2 b Mà ()ab;1= nên b =1 hay baZ= ∈ 2 Do đó: nnmnn2++503 = 22 ⇔ 4 + 4 + 2012 = 4 mmn 2 ⇔ 4 2 −() 2 + 1 = 2011 ⇔()()2mn − 2 − 1 2 mn + 2 += 1 2011 Vì: ()()2mn−−+ 21 2 mn −−= 214 m > 0. Ta có các trường hợp sau: 2mn− 2 −= 1 1 m = 503 - Trường hợp 1: ⇔ 2mn+ 2 += 1 2011 n = 502 2mn− 2 −= 1 2011 m = 503 - Trường hợp 2: ⇔ 2mn+ 2 += 1 1 n =− 503 Vậy, nn=502 ; = − 503 thỏa mãn bài toán. na−=50 2 Bài 30: Giả sử với ab, nguyên dương và ab< .  2 nb+=50 Suy ra ba22−=100 ⇔−(baab )( += ) 222 .5 Do baab−<+ và chúng có cùng tính chẵn, lẻ nên ba− và ab+ phải là các số chẵn. ba−=2 a = 24 Do đó  ⇔  ab+=50 b = 26 Vậy n = 626 thỏa mãn yêu cầu bài toán. nk+=24 2 Bài 31: Ta có:  2 nh−=65 ⇔−=+k22 24 h 65 ⇔−()()k h k +== h 89 1.89 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
35 Website:tailieumontoan.com +k h = 89 = k 45 ⇔⇒ k−= h 1 h = 44 Vậy: n= 452 −= 24 2001 Bài 32: Ta có : B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 B = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 B = 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2 B = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Vì x, y, z là số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz là số nguyên B là số chính phương Bài 33: 2 ⇒nn43 + +=1() nk 2 + = n 4 + 2 knkk 22 + () ∈ * ⇒n3 −2 kn 22 = k −⇒ 1 n 2() n − 2 k = k 2 −≥ 10 Mà k2−11 nk 22 ⇒=hoặc nk22≤−1 Nếu k22=⇒=⇒1 k 1 nn() − 20 =⇒= n 2 Thử lại 24 + 23 +1 = 52 ( thỏa mãn) Khi k≠⇒11 k22 > k −≥ n 2 ⇒ kn > ⇒−nk20 < mâu thuẫn với điều kiện nn22()−2 k = k −≥ 1 0. Vậy n = 2 . Bài 34: + Giả sử tồn tại cặp số tự nhiên ()xy; thỏa mãn yêu cầu. Khi đó ab,*∈ N mà  22 2 2()xy+ − 32 x + y −= 1 a 22 22 , suy ra ab+=71()() x + ++ y 1  22 2  5()xy++ 423 x + y += b 22 22 Nói cách khác phương trình (1): AB+=7() XY + có nghiệm ()XY;;; AB với XY,*∈ N và AB, ∈ N . Ta coi ()XY;;; AB là bộ nghiệm của (1) thỏa mãn điều kiện X + Y nhỏ nhất. 22 + Từ (1) có ()AB+ 7 . Nhận thấy một số chính phương chia cho 7 chỉ có thể cho số dư 22 là 0.1.2.4 nên ()AB+ 7 khi và chỉ khi A7 và B7 , dẫn tới biểu diễn AA= 7 1 , BB= 7 1 22 2 2 với AB11,*∈ N . Khi đó (1) trở thành XY+=7.() AB11 + Lập luận tương tự dẫn đến X=7, XY11 = 7 Y với XY11,*∈ N . Bài 35: Ta có: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
36 Website:tailieumontoan.com 4 M=+() n1 ++ n4 1 2 =n2 + 2n + 1 − n 2 + n 42 + 2n +− 1 n 2 ()() 22 22 =()()()()n ++ n1n + 3n1n + + ++ n1n −+ n1 =()()n22 ++ n 1 2n + 2n + 2 2 =2n()2 ++ n 1() * 2 * 2 Vì n ∈Ν nên ()n++ n1là số chính phương khác 1. 4 4 Do đó, từ (*) suy ra M=+() n1 ++ n 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương (đpcm). 2 Bài 36: Vì 12n 2 1 là số lẻ nên để 12n 2 1 là số nguyên thì 12n2 1 2 mm 1 , . Suy ra, mm 13 n2 . m 3; um22 1 v * Vì mm; 11 nên xảy ra hai trường hợp ,,uv . m vm22; 13 u Nếu m vm22; 13 u thì vu22 31 hay v2 là số chính phương chia 3 dư 2 . Điều này không xảy ra vì mọi số chính phương chia 3 dư là 0 hoặc 1. Do đó chỉ xảy ra m 3; um22 1 v. Ta có 2 12n22 1 2 2 2 m 1 2 4 mv 4 4 là số chính phương (điều phải chứng minh) 111 ab 1 Bài 37: Từ ta được c a b ab ab ac bc 0 . abc ab c Từ đó ta được ab ca bc c22 c a c b c c 2. Gọi d a cb; c , khi đó ta có cd22 nên cd ., từ đó dẫn đến a dbd; . Mà do a, b, c nguyên tố cùng nhau nên ta được d 1 . Do đó ước chung lớn nhất của ac và bc là 1. Mà ta lại có a cb c c2 nên suy ra ac và bc là các số chính phương. Đặt acmbcnmnN 22*;, . Khi đó ta có c2 a c b c m 22. n c mn . 2 Từ đó ta có abacbc 22 cm 22 n mn mn . Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
37 Website:tailieumontoan.com Vậy ab là số chính phương. Bài 38: Vì a, b là các số tự nhiên lẻ nên ta đặt a 2 m 1; b 2 n 1 mn ,  . 22 Khi đó ta có a22 b 2 m 1 21 n 4 m2 n 2 mn 2 Ta có một số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4 Mà ab22 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4, nên ab22 không phải là số chính phương Bài 39: Giả sử 3nmn2+= 2 với m là một số nguyên dương. mn3−=k Ta có 3n2+= n m 2 ⇔ mnmn − += 3 n, do đó ta được ()()  nk− mn3+= Do mnmn+> − nên nkk−>⇒− n2k0 > hay n−≥ 2k 1. Ta xét các trường hợp • Trường hợp 1: Nếu n−= 2k 1, khi đó từ hệ phương trình trên ta được 2n= 3nk−− − 3 k = 3 k() 3 n2k −= 1 2.3 k ⇒= n 3 k = 2k + 1 k Dễ dàng chứng minh được với k2≥ thì 3kk=() 2 + 1 > 2 +> 1 2k + 1 Từ đó để 3k = 2k + 1 thì k0= hoặc k1= , từ đó ta tìm được n1= hoặc n3= . • Trường hợp 2: Nếu n−≥ 2k 2 , khi đó ta được knk2≤−− nên 33k≤ nk2−− Do đó 2n= 3nk− − 3 k ≥ 3 nk − − 3 nk2 −− = 3 nk2 −−() 3 2 −= 1 8.3 nk2 −− Do k là số nguyên dương nên nk21−−≥, do đó ta được nk2−− 3nk2−− =()() 2 + 1 ≥+ 1 2n −− k 2 Từ đó suy ra 2n≥ 8 1 + 2() n −− k 2 hay ta được 8k+≥ 12 7n . Mặt khác ta lại có n≥+ 2k 2 nên 7n≥+ 14k 14 . Do đó ta được8k+≥ 12 14k + 14 , điều này vô lí. Do đó trong trường hợp này không có số tự nhiên n thỏa mãn. Vậy các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là n1= hoặc n3= . Bài 40: Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử b2 4 ac là số chính phương mmN2 () . Xét 4a . abc 4 a (100 a 10 b c ) 400 a2 40 ab 4 ac 2 2 22 (20ab ) ( b 4 ac ) (20 ab ) m (20 abm )(20 abm ) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
38 Website:tailieumontoan.com Tồn tại một trong hai thừa số 20abm ,20 abm chia hết cho số nguyên tố abc . Điều này không xảy ra vì cả hai thừa số trên đều nhỏ hơn abc . Thật vậy, do mb (vì m22 b 40 ac ) Nên: 20abm 20 abm 100 a 10 bc abc. Vậy nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì b2 4 ac không là số chính phương. Bài 41: Đặt m22+= 12 n với n là số nguyên. Khi đó , ta có: n22− m =⇔− 12()() n m n + m = 12. Do m, n là các số nguyên và n−+ m;n m là các số chẵn nên ta có các trường hợp như sau + Với nm−=− 6 và nm+=− 2 ta được n=−= 4; m 2. . +Với nm+=− 6 và nm−=− 2 ta được n=−= 4; m− 2. + Với n + m = 6 và n – m = 2 ta được n = 4; m = 2. . + Với n + m = 2 và n – m = 6 ta được n = 4; m = -2 Thử lại ta được các giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là m∈−{} 2; 2 . Bài 42: Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử xy≥ . 2 Khi đó ta có: xxyxxxx22 x = 1 => Cặp số (x; y) = (1; 1) thỏa mãn yêu cầu. 22 Xét y ≥ 2 ta có: yy2 +16 −= 8()()() y + 3 + 10 y − 17 > y + 3 và 22 yy2 +16 −= 8()() y + 8 − 72 < y + 8 . Do đó để: yy2 +−16 8 là số chính phương thì ta phải 2 2 22 có: yy2 +16 −∈ 8{}()()()() y + 7 ; y + 6 ; y + 5 ; y + 4 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
39 Website:tailieumontoan.com =y 3  x =5 Giải trực tiếp các trường hợp ta được:  ()TM y =11  x = 21 Vậy các cặp (x; y) = (1; 1) ; (5; 3) ; (3; 5) ; (21; 11) ; (11; 21). Bài 43: Do m, n là các số nguyên dương nên ta có: 22 2 ()()()mn+ 2, khi đó do p là số nguyên tố nên p là số lẻ. Do A là số chính phương nên tồn tại số nguyên t để A=+= n42 4np1− t . Dễ thấy với n = 0 thì A là số chính phương. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
40 Website:tailieumontoan.com 2 42p1−− p3 t Xét n0≠ , khi đó ta có n+ 4n = t ⇔+ 1 4n = . n2 2 p3− t p3− Do p là số nguyên tố lẻ nên 1+ 4n là số nguyên dương, do đó  và 4n là số chính n2 phương. 2 t 4np3− = a 2 ; = b 2 a, b ∈ Z Đặt 2 () ta có phương trình n  22 baba1−=+= b1;a0 = = 1a+=⇔− b baba +=⇔ 1  ⇔ ()() baba−=+=− 1 b =−= 1;a0  2 t 4np3− = 0; =⇒= 1 n 0 Với b = 1; a = 0 ta có 2 , điều này vô lý vì n0≠ n 2 t 4np3− = 0; =⇒= 1 n 0 Với b = -1 ; a = 0 ta có 2 , điều này vô lý vì n0≠ n Như vậy khi p > 2 không tồn tại số nguyên n để A là số chính phương. Vậy với n = 0; p = 2 thì A là một số chính phương. Bài 45: Giả sử mn≠ . Theo bài ra ta có: 2 ()()()()mn+ −=1 mn ++ 11 mn +− mn ++ 1 2 ⇒2()m22 + n −− 1()() mn + − 11 mn + +  ⇔()22m2 + n 22 − m − 2 mn − n 2() m ++ n 1 2 ⇔()()mn − mn ++1 Do mn++1 là số nguyên tố ⇒mn ++1là ước của mn− Mà mnmn−< −+1do đó vô lý Vậy giả sử sai ⇒=⇒m n mn. = m2 là số chính phương Ta có điều phải chứng minh. 3 Bài 46: Ta có: Mx=++42() x12 − x − 2 x Mx=43 + x +3 x 2 + 3 x +− 12 x 2 − 2 x Mxxxx=432 + + ++1 ⇒4Mxxxx = 44444432 + + ++ +) Ta có: 2 ()2xxxxxxxxxx2+=++≤+++++=++++= 44 4324322 44 2() 24444442 xxxx 432 M 2 Ta thấy dấu ""= không thể xảy ra nên ()2xx2 +< 4 M (1) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
41 Website:tailieumontoan.com +) Với x = 0 ⇒44MM =⇔=⇒ 1M là số chính phương Với x=⇒=⇔=⇒1 4 M 20 MM 5 không là số chính phương. Với xM=⇒=2 4 124 ⇒=⇒ M 31 M không là số chính phương xx−≥12 ≥ 3 22 Với x ≠ {}0;1; 2 ta có: ⇔ ⇒−≥⇔−−≤()()xx1 44 1 0 xx−12 ≤− ≤− 1 Ta có: 4Mxxxx= 44444432 + + ++ =4xxxx432 + 4 + 5 ++−++ 21 xx 2 23 2 2 =()2xx2 ++ 1 −() x − 14 + 2 ⇒4M ≤() 2 xx2 ++ 1 (2) 22 2 Từ (1) và (2) ⇒+ 0 ⇒()k −11 n +≥ k kn + ⇒≥+kn1 ⇒k = n +⇒1 p = kn += 11 n2 + n + ⇒npn + =2 +21 n +=() n + 12 Vậy np+ là một số chính phương.  pqa+=2   2 22 Bài 48: Theo đề ta có  p+=4 qb, suy ra b− a =33 q ⇔−()() baba += q  ab; ∈ N*  Từ q là số nguyên tố và ab+≥2 nên ta có các trường hợp sau: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
42 Website:tailieumontoan.com ba−=1 + TH 1:  suy ra ba= +1 và 2aq+= 13, suy ra q lẻ. ba+=3 q Ta viết qk=21 + ( kN∈ * ) Khi đó 2aq= 3 −= 16 k + 2 hay ak=31 + và pa=22– q = 9 k += 4 kkk() 94 + Do p nguyên tố nên k =1 và pq=13, = 3 . ba−=3 + TH 2:  , suy ra ba= + 3 và qa=23 + baq+= Lại có pa=22 −= qa− 2 a –3 =()() a + 1 a –3 . Do p nguyên tố nên a = 4 và pq=5, = 11. ba−= q + TH 3:  và ba>≥1. ba+=3 Suy ra b = 2 và a =1 khi đó q =1 không phải số nguyên tố. Kết luận: (p;q) = (5;11), (13;3). Trình bày cách khác:  pqa+=2   2 Theo đề ta có  p+=4 qb.  ab; ∈ N*  Suy ra b22− a =33 q ⇔−()() baba += q. Vì pq, là các số nguyên tố nên ab≥≥2, 4 . Do đó ta có các trường hợp sau: ba−=1 + TH 1:  . Khi đó ba= +1 và 2aq+= 13. Suy ra q lẻ. ba+=3 q Ta viết qk=21 + ( kN∈ * ) Khi đó 2aq= 3 −= 16 k + 2 hay ak=31 + và pa=22– q = 9 k += 4 kkk() 94 + Do p nguyên tố nên k =1. Suy ra pq=13, = 3 . ba−=3 + TH 2:  . Khi đó ba= + 3 và qa=23 + baq+= Lại có pa=22 −= qa− 2 a –3 =()() a + 1 a –3 . Do p nguyên tố nên a = 4 . Suy ra pq=5, = 11. Vậy pq=13, = 3 hoặc pq=5, = 11. Bài 49: Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp đó là aa,1+∈() a , theo đề bài ta có: 3 ()a+−=⇔+1 an32 a 3 3 a 2 ++−=⇔ 31 a an 32 3 a 2 ++= 31 a n 2 (*) a=⇒==0 n 1022 + 1 ⇒= a 0 () tm +)Xét TH: −≤10a ≤ ta có:  22 a=−⇒1 n = 1 = 0 + 1 ⇒ a =− 1( tm ) a > 0 222 +)Xét TH:  ⇒()()2a < 3 aa + 3121 +< a + a <−1 Vậy ta có n là tổng của hai số chính phương liên tiếp . 2 Bài 50: Giả sử 2018 + n là số chính phương thì 2018 +=nmm22() ∈ * Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
43 Website:tailieumontoan.com Suy ra 2018=−⇔m22 n 2018 =−()() mnmn + Như vậy trong hai số mn− và mn+ phải có ít nhất một số chẵn (1) Mà ()()mn−+ mn +=2 m nên suy ra hai số mn− và mn+ cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) suy ra hai số mn− và mn+ là hai số chẵn ⇒−()()mnmn + chia hết cho 4 Mà 2018 không chia hết cho 4 nên điều giả sử là sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2018 + n2 là số chính phương. 2 Bài 51: Khi n = 2 ta có: Am=422 − 4 m −= 4() 2 m − 1 −= 54 k ⇔()()2mk − 212215 − mk + −= 2mk− 2 −= 11 m = 2 TH1:⇔ ( tm ) 2mk+ 2 −= 15 k = 1 2mk− 21 −=− 1 m =− 1 TH2:⇔ ( ktm ) 2mk+ 21 −=− 5 k =− 1 2mk− 2 −= 15 m = 2 TH3:⇔ ( tm ) 2mk+ 2 −= 11 k =− 1 2mk− 21 −=− 5 m =− 1 TH4:⇔ ( ktm ) 2mk+ 21 −=− 1 k = 1 Vậy m = 2 22 Với n≥5, m =⇒ 1 An =2 − 2 n −= 4()() n − 1 − 8 n − 2 ( Do n ≥ 5) 22 ⇒−()()n21 ()() mn −12 ( Do n ≥⇒ 5 2 n − 2 −≥ 5 1) 2 Lại có: A= m22 n −42 m −≤ n() mn 22 ⇒()()mn −1 b và ⇔2()a22 − b +−= abb 2 ⇔()() ab − 2 a + 21 b + = b2 Đặt ()aba−;2 + 2 b += 1 d Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
44 Website:tailieumontoan.com ⇒−()()abd;2 a ++ 2 b 1 d và b d ⇒ 2a+ 212 b +−()() ab − d ⇒ 41 b + d mà b d ⇒ 1 d hay d = 1. Vậy ab− và 2ab++ 21nguyên tố cùng nhau, kết hợp với (*) ta có: ab− và 4ab++ 41đều là số chính phương. 2 Bài 53: Giả sử x22++=2 x 20 a() a ∈ Na , > 4 . ⇔ax2 −+()1 = 19 ⇔()()ax −−1 ax ++ 1 = 19 . ax− −=11 Vì ()()ax−−11 4y2 + 28y + 49 - 4m2 = 49 => (2y + 7 + 2m)(2y + 7 - 2m) = 49 = 49.1 = (-1).(-49) = 7.7 = (-7).(-7). Ta thấy 2y + 7 + 2m 2y + 7 - 2m nên ta có 4 trường hợp: 2ym++≥ 7 2 = 49 Trường hợp 1:  , do đó y = 9 . 2ym+− 72 = 1 Suy ra x ∈−{}1; 9 . 2ym++ 72 =− 1 Trường hợp 2:  , do đó y = −16 . 2ym+− 7 2 =− 49 Suy ra x = 4 . 2ym++ 72 = 7 Trường hợp 3:  , do đó y = 0. 2ym+− 72 = 7 Suy ra x ∈{}0;8 . 2ym++ 72 =− 7 Trường hợp 4:  , do đó y = −7 . 2ym+− 72 =− 7 Suy ra x ∈{}1; 7 . Vậy x ∈−{}1; 0;1; 4; 7; 8; 9 . Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
45 Website:tailieumontoan.com Bài 55. Ta có : A =11 100 0 +−+ 11 1 88 8 1. nn n n n Đặt a =11 1 thì 9a = 99 9 . Do đó 99 9 += 1 10 = 9a + 1. n n n Ta có Aa=.10n +− aa 8 += 1 aa() 9 + 1 +− aa 8 + 1 2 ⇒Aa =92 − 6131 a +=() a − . 2 ⇒=A 33 32 . n−1 Vậy A là một số chính phương. Bài 56. Giả sử 2x +5y = k2 (k thuộc N) Nếu x = 0 thì 1 + 5y = k2 do đó k chẵn => k2 chia hết cho 4 nhưng 1+5y chia 4 dư 2. Vậy x khác 0, từ 2x +5y = k2 => k lẻ và k không chia hết cho 5. Xét hai trường hợp. 2 +) Với = 0 thì 2x2+= 1 k =() 2n + 1 (vì k lẻ nên k=+∈2 n 1, nN). ⇒2x = 4nn ( +⇒= 1) n 1. Khi đó x = 3; y = 0 (thỏa mãn) Thử lại: 25xy+=+= 25930 là số chính phương. +) Với y ≠ 0 và k không chia hết cho 5 ⇒k 2 ≡±1(mod 5) Từ 2xy+ 5 =k 2 ⇒ 2 x ≡± 1(mod 5) ⇒ x chẵn Đặt xx= 2 1 ()xN1 ∈ , ta có y xx11 5= (kk+− 2)( 2) xy k +=2511 ⇒ yy+= y yy> 1 2  xy với 12 với 12, y , y là các số tự nhiên. k −=2512 x1+−1 y 2 yy 12 y 2 ⇒2 = 5 (5 −⇒ 1) 5 =⇒ 1y2 = 0 . x1 +1 y ⇒=yy1 . Khi đó 2= 51 − . x Nếu y = 2t ()tN∈ thì 21 +1 = 52tt −= 1 25 − 1 3 , vô lý x Vậy y lẻ, khi đó 21 +1 = 5y −= 1 4(5 yy−−12 + 5 + ++ 5 1) . Nếu y >1 thì 5yy−−12+ 5 ++ 1,lẻ (vô lý). Nếu yx=⇒=111 khi đó xy=2; = 1. Thử lại 25xy+ = 25921 += là số chính phương Vậy xy=2; = 1 hoặc x = 3, y = 0. Bài 57. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
46 Website:tailieumontoan.com -Với n∈ {}0;1;2; ;8 , bằng cách thử không có giá trị n thỏa mãn đề bài. - Với n ≥ 9, đặt 28 + 211 + 2n =t 2 , ta có t 28=2() 1 ++ 2 3 2nn−− 8 = 2 8 (9 + 2 8 ) ⇒+92n−8 là số chính phương - Đặt 92+=n−82k ()k∈> Nk*,3 a n−8 k +=32 2=−kk 33 +⇔ > b). Do đó: ()()  b (với a k −=32 Khi đó: ()()kk+−−=3 3 2.b() 2 ab− − 1 ⇔=2.3 2b .() 2 ab− − 1 22b =a = 3 ⇔⇔. ab− 2−= 13 b =1 Do đó nn−=+⇔8 3 1 = 12. Thử lại 28++= 2 11 2 12 80 2 . Vậy số tự nhiên cần tìm là n = 12. Bài 58. Ta có 10≤≤n 99 nên 21≤ 2n +≤ 1 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121; 169. Tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84. Số 31n + bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40 .  102m − 1 A =  9  10m+1 − 1 Bài 59. Ta có: B =  9  10m − 1 C = 6.  9 1021mm−− 1 10+ 1 10 m − 1 Nên: ABC+ + +=8 + + 6. + 8 99 9 1021mm−+ 1 10+ −+ 1 6.10 m − 6 + 72 = 9 2 mm 2 ()10++ 16.10 64 10m + 8 = = . 93 Bài 60. Vì n432 22 n nn 7 là số chính phương nên: 432 2 n+22 n + nn ++= 7 m , m∈ . Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
47 Website:tailieumontoan.com 22 Ta có: m22=()() nn + +++>+ nn 271 nn 2 ⇒>+⇒≥++ mnn 2 mnn 2 2 ⇒mnn ≥2 ++⇒1 m 22 ≥() nn ++ 1. 2 Khi đó n432+2 n + 2 nn ++≥ 7() nn 2 ++ 1 ⇔ nn 2 +−≤⇔−≤≤ 6 0 3 n 2. Vì n∈ nên n∈−{}3; − 2; − 1; 0;1; 2 . Thử lần lượt từng giá trị ta thu được n = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Bài 61. Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc 2()a22+ b ≥+() ab ta có được 2nn34≥ hay n ≤ 2. • Với n = 0, ta chọn ab= = 0. • Với n =1, ta chọn a =1, b = 0. • Với n = 2, ta chọn ab= = 2. Vậy các giá trị của n cần tìm là 0; 1; 2. 2 2 Bài 62. Đặt aaaa1234= a và bbbb1234= b với a, b∈ . Giả sử rằng aa12 a 3 a 4> bbbb 1234. Khi đó 22 32≤ bbbb 1234 =−=+ a b()() a b a −= b1111 c = 11.101 c (do việc đặt cabababab=−=11 22 −= 33 −= 44 −). Do 11; 101 là các số nguyên tố và ab+<200, ab−<100 nên ta có hệ phương trình ab+=101 ac=()101 + 11 2 ⇒ . ab−=11 c bc=()101 − 11 2 Vì b ≥ 32 nên c ≤ 3. Kết hợp với ab+=101 (số lẻ) nên c lẻ, nghĩa là c =1 hoặc c = 3. a = 56 a = 67 Điều này dẫn đến  ;  . b = 45 b = 34 Do đó các cặp số chính phương phải tìm là: 3136 và 2025; 4489 và 1156. Trong trường hợp ab+=11 c thì c =1 (bị loại). 2 22 Bài 63. Xuất phát từ đồng nhất thức ()21a++()() 2 aa22 + 2 = 2 aa ++ 21; 2 Ta chọn a =1 và aa1 =32 = + 1, a2 =4 = 2 aa + 2, ta được: 22 22 2 aa12+=()2 a ++ 2 a 1 = 5. 222 Chọn a3 =2()() aa + + 2 aa += 12 ta có: 2 2 2 aaa222++=2 aa 2 ++ 12 + aa 2 + + 2 aa 2 + 1 23()() ( ()()) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
48 Website:tailieumontoan.com 2 2 =(2()()aa22 + + 2 aa ++ 1) = 13 2 . Cứ như vậy ta chọn được 2013 số thỏa mãn. Bài 64. Ta có: AA=6 4 ⇒=6 4 A6 có chữ số tận cùng bên trái là 4 ⇒10000 ≤ và 21ab+> . Vậy 53n + là hợp số. Bài 67. Giả sử tồn tại yx>≥1 sao cho xy+= x m2 , xy+= y n2 với mn,*∈ . Vì yx> nên 2 xy+> x x2 ⇒ mx22> ⇒ mx> ⇒ mx≥+1. Ta có: yxn−=22 − m ≥ ()mm+−1 2 ⇒ 2 yx−>() x +1 − x2 ⇒ yx>+31 . Lúc này y ∈ ()988;1994 . Vậy không tồn tại các số xy, phân biệt thuộc khoảng ()988;1994 sao cho xy+ x và xy+ y đều là các số chính phương. Bài 68. Giả sử tồn tại n∈ *sao cho ta có n++11 nk −= là một số hữu tỉ  12  nk+=1  + 2 2 k ⇒nn +−11 −= Do đó ta có  k  12 nk−=2  −  2 k Ta suy ra ()n +1 và ()n −1 là hai số chính phương. np+=1 2  với pq,*∈  2 nq−=1 ⇒−=pq222*() ()pq+ và ()pq− cùng tính chất chẵn lẻ ()()* ⇒+pqvà ()pq− là hai số tự nhiên chẵn. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
49 Website:tailieumontoan.com ⇒+()()pq pq −4 ⇒ 24 vôlí. Do đó không có số tự nhiên n thỏa yêu cầu của bài toán. Bài 69. Ta có: a = * 1 14 không phải là số chính phương. 2 * a2 =144 = 12 a = = 2 * 3 1444 38 Ta hãy xét an là một số chính phương 2 akn = , k ∈ * an tận cùng là 4444 . Số dư của phép chia an cho 16 bằng số dư của phép chia 4444 cho 16. ⇒=aq16 + 12 n ⇒=kq2 16 + 12 (*) Suy ra: k2 và k4 . ⇒=kt22 += 1 4 t + 2 () ⇒k22 =16 tt + 16 += 4 16 h + 4 mâu thuẫn ()* . Ta suy ra: an với n > 4 không phải là số chính phương. Bài 70. Chọn 3 số tự nhiên abc,, nguyên tố cùng nhau và thỏa tính chất. abc= + 2 Ta có n= ab22 + bc 22 + ca 2 2 =+() b c() b 2 ++ c 2 bc 22 3 =b4 + c 4 +3 b 22 c + 22 b 3 c + bc 3 =() b ++ c bc . Do đó n là một số chính phương. Có vô số bộ ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau mà một trong 3 số bằng tổng hai số kia. TD: ()2,3,5= 1 và 523= + . ⇒=n 6222 + 15 + 10 = 19 2. Bài 71. px()là một đa thức bậc 4 và hệ số của x4 là 1 nên px()chỉ có thể là bình phương đúng của một tam thức bậc 2 có dạng: α()x=++ x2 px q 2 Do đó, ta có : x43+ mx +29 x 2 + nx += 4 () x 2 + px + q =+++x42 px 32() p 22 q x 2 + pqx + q 2 qq2 =42 =   25pq= n p = ± ⇔⇔ 2 pq+=2 29 m = ±10  2 pm= n = ±20 Vậy ()()()mn,= 10,20 , −− 10, 20 . Bài 72. Ta có : a 6, a≠⇔= 0 a 6 kk , ∈* Suy ra : 1000ak= 6000 = 202 .15 k 1000a là số chính phương khi và chỉ khi k=15 pp2* , ∈ ⇒=a90 pp2* , ∈ Do đó số tự nhiên a nhỏ nhất phải tìm là : a = 90 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
50 Website:tailieumontoan.com 2. Ta có : 2002= 2.7.11.13 2002.b là số chính phương nên ta có :b=2002 kk2* , ∈ b chia hết cho bốn số nguyên tố liên tiếp mà b đã chứa ba thừa số nguyên tố liên tiếp là 7, 11 và 13 nên thừa số nguyên tố thứ tư là 5 hoặc 17, b nhỏ nhất nên ta chọn thừa số nguyên tố thứ 5. ⇒=b2002.25 tt2* , ∈ * Nếu tb2 =⇒1 = 50050 ⇒ b −= 1 50049 9 không thỏa mãn yêu cầu. 2 * Nếu tb=4 ⇒ = 200200 ⇒ b −= 1 200199 9 thỏa mãn. Vậy số b phải tìm là b =200200. Bài 73. Ta có: a22 b( a ba )( b ) Giả sử a 0 Muốn cho ab22 là một số chính phương, ta chỉ cần chọn 22 du() v 2 a a b du 2 a b dv2 , u v du()22 v b 2 Trong đó hoặc d chẵn hoặc u và v cùng tính chất chẵn, lẻ ()uv Lúc đó ta có: abc22 2 abc 2 22 Các nghiệm của phương trình là: a d( u22 v ), b 2 duv , c d ( u 22 v ) Vậy ab22 có thể là một số chính phương. 2 Bài 74. Ta có k= ab =10a + b nên k+=+ ab a b () ⇔10a ++b ab = a22 + b + 2a b ⇔ b 2 + ab −= b 10a − a 2 ⇔+−b2 ()() a1 ba = 10 − a Mà aa()10−≤ 25 do đó bab22+−()1 ≤ 25 ⇔≤ b 25 (vì ()ab−≥10) ⇒=b 0; 2;3; 4;5 . Ta xét từng trường hợp và kết luận. Vậy số k cần tìm là: 91; 13; 63. Bài 75.Chuyển về dạng A 201724 nnn 3 2 2017 222 nnn 1 Để A chính phương thì nn2 1 chính phương. Giá trị n thỏa mãn là n 1 hoặc n 0 2 nq 37 Bài 76. Giả sử với pq, là hai số nguyên dương và pq,1 . Ta có np 43 n 37 kq .22 , n 43 kq . với k là số nguyên dương kp q p q 80 24 .5.1 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
51 Website:tailieumontoan.com Trường hợp 1: Trong hai số pq, có một chữ số chẵn, một số lẻ pq và pq đều lẻ. pq 53 p Từ 1 pq 1 q 2 n 101 kk 16 16 Trường hợp 2: Cả hai số pq, đều lẻ. Đặt pa 2 1, qb 2 1 với ab, là các số nguyên dương Từ 1 ka b a b 1 20 22 .5.1 Ta có ab 1 ab và ab 1, ab khác tính chẵn lẻ. Xét các cặp số a ba;1 b lần lượt 1;2 , 1;4 , 1;20 , 2;5 , 4;5 , 5;20 . Tính ab, pqk ,, ta được n bằng 38,47,55,82,199,398 Vậy n bằng 38,47,55,82,199,398 Bài 77. Ta có: abc 100 a 10 b c n2 1 ; cba 100 cbann 10 2 4 4 99 acn 4 5 4 n 5 99 * Mặt khác: 100 nn22 1 999 101 1000 11 n 31(do n ∈ ) Từ * và 4nn 5 99 26 . Vậy abc 675 Bài 78. Giả sử: n+=12 a2 ; n −= 11 b 2 ( ab , ∈ ; a >⇒−=+−−= b ) a 22 b()() n 12 n 11 23 ab−=1 a = 12 Hay ()()aba− += b 1.23. Giải hệ phương trình: ()Do: a−<+ b a b ⇒ ab+=23 b = 11 a =12 Với  ⇒=n 132 b =11 Vậy n = 132. 2 Bài 79. Đặt: n22−−=14 n 256 kk() ∈ ⇒()()()n −7 − k2 = 305 ⇒ n −+ 7 kn −− 7 k = 305 Mà: 305 = 1.305 = (- 305)(- 1) = 5.61 = (- 61)(- 5) và ()()n−−77 kn ≤ −+ k nên xét các nk−−=71 nk−−=−7 305 nk−−=75 nk−−=−7 61 trường hợp:  hoặc  hoặc  hoặc  nk−+=7 305 nk−+=−71 nk−+=7 61 nk−+=−75 n =160 n = −146 n = 40 n = −26 ⇒  hoặc  hoặc  hoặc  k =152 k =152 k = 28 k = 28 n = 40 n = 40 Vì: nk, ∈⇒  Vậy  n =160 n =160 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
52 Website:tailieumontoan.com Bài 80. Vì: n là số có 2 chữ số nên 9 −>y 30. Mà: yy−3kk ++ 322 = y nên 2 số trên cùng tính chẵn lẻ. Mặt khác: 171 = ()()yy−3kk += 3 1.171 = 3.57 = 9.19. Xét từng trường hợp cụ thể ta có kết quả x = 6. Cách 3: Ta có: 3x ≡ 1, 3()mod 8 ; y2 ≡ 0,1, 4() mod 8 . Mà: 3x += 171 y2 ⇒≡31x ()mod 8. Do đó: x có dạng 2k ()k∈ . Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
53 Website:tailieumontoan.com 2 Phương trình trở thành Ay=()3k += 171 2 với k = 0, 1, 2 thì phương trình vô nghiệm nên nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó phải ≥ 3. Do đó theo nguyên lý kẹp được ta 222 có: 3kk+ 3 ≥>a 3. ()() 2 2 2 2 Khi đó: A =33k + hoặc A =32k + () () Giải từng trường hợp ra ta được k = 3 ⇒=⇒=xy6 30. Vậy x = 6. x Cách 4: Vì: 3 3; 171 3⇒ y 3. Đặt y = 3k ()kk∈≠ + , 1. x Khi đó: 3+= 171 9k 2 . Vì: 171 9; 9k2* 9⇒ 3x  9 ⇒= x 2 hh() ∈ 2 Khi đó: 9h−1+=⇔− 19kk 221()()() 3 h − = 19 ⇔+ k 3 hh −− 1 k − 3 1 = 19. Để ý rằng: 03 1 24 k = 2 kk .12 > 2.12 k (Loại) Với k = 1 (TM) ⇒=xy2, = 13. Vậy phương trình có nghiệm tự nhiên x = 2. 2 Bài 84. Ta có: An=+()2() 4 n2 +− 6 n 3. n = 3  TH1: A =0 ⇒ −±3 21 n =  4 TH2: A ≠ 0 và A là số chính phương ⇒()4nn2 +− 63 là số chính phương. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
54 Website:tailieumontoan.com 22 ⇔4n22 + 6 n −= 3 kk()()()()() ∈ ⇔ 4 n + 3 − 2 k = 21 ⇔ 4 n ++ 3 2 k 4 n +− 3 2 k = 21. n ∈ Ta thấy:  nên 4nk++ 32 và 4nk+− 32 là các ước của 21. k ∈ n ∈ 4nk+− 32 = 1 k = 5 +) 432432n+− kn ≤ ++ k với  Do đó ta có: ⇔ k ∈ 4nk++ 3 2 = 21 n = 2 k =1 k = 5 4nk+− 32 = 3  4nk+− 3 2 =− 21  hoặc: ⇔ 1 hoặc ⇔ −7 hoặc 4nk++ 32 = 7 n = 4nk++ 32 =− 1 n =  2  2 4nk+− 32 =− 7 k = 1 ⇔ 4nk++ 32 =− 3 n =− 2 Vậy n = ± 2 là giá trị cần tìm. Bài 85. Đặt: Mk=−+438 k 23 k 2 − 26 k + 10 ta có: Mkk=()()42 −2 +− 1 8 kkk 2 − 2 ++ 1 9 k 2 − 18 k + 9 22 2 ⇒=−Mk()()1() k −+ 31. M là số chính phương khi và chỉ khi: ()k −=10 hoặc 2 ()k −+31 là số chính phương. 2 TH1: ()kk−10 =⇔= 1 2 TH2: ()k −+31 là số chính phương 22 Đặt: ()()()()()k−3 += 1 mm22 ∈ ⇔ m − k − 3 =⇔ 1 mk − + 3 mk + − 31 = mk −+=31  mk+−=31 mk=1, = 3 Vì: mk,∈ ⇒ m −+∈ k 3, m +−∈ k 3 nên: ⇔ ⇒=k 3. mk−+=−31mk=−=1, 3  mk+−=−31 k =1 43 2 Vậy  thì kk−+8 23 k − 26 k + 10 là số chính phương. k = 3 123222+ + +⋅⋅⋅+n 2()()nn++12 1 Bài 86. Ta có: = Giả sử ()()n+12 n += 1 6 kk2*() ∈ (1) n 6 Do ()21n + lẻ nên ()n +1 chẵn ⇒ n lẻ. Đặt nm=+∈21() m * Thay vào (1) ta có: ()()mm+14 += 3 3. k2 Do: ()mm+1, 4 += 3 1 , 43m + không là số chính ma+=1 2 phương nên ta có: a,; b∈=* ab k Từ đó ta có: 431ab22−=  2 () 4mb+= 33 ⇔()()2aa − 12 += 1 3 b2 . Ta lại có ()2aa+ 1, 2 −= 1 1 nên có 2 khả năng: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
55 Website:tailieumontoan.com 21aa−= 2 (I) 1 ab, ∈ * nên ta suy ra ba22=32 + (Vô lý vì số chính phương chia 3 chỉ dư  2 ()11 11 21ab+=1 0 hoặc 1). 21aa−= 2 (II) 2 ab, ∈ * nên ta suy ra 32ba22−= suy ra a lẻ và không chia hết cho 3.  2 ()22 22 2 2ab+= 132 Dễ thấy an2 =⇒=5 337 là số nguyên dương bé nhất thỏa mãn bài toán. 123222+ + +⋅⋅⋅+n 2()()nn++1 2 1()() 337 + 1 2.337 + 1 Khi đó: = = =1952 n 66 Bài 87: Ta có: n = 0 thỏa mãn bài toán. Xét n > 0, nếu cả 2 số 9n + 16 và 16n + 9 đều là số chính phương thì số 2 22 2 Ann =()()()9 + 16 16 n += 9 12 n +() 9 + 16 n + 12 cũng là số chính phương.  2 22 2 Ann =()12 + 13 Mặt khác: ()()12n+ 12 < 12 n ++() 922 16 nn +< 12 2() 12 + 15 nên ta có:   2 Ann =()12 + 14 n =1 Từ đó thay vào giải ra được:  n = 52 Vậy có 3 giá trị của n thỏa mãn: n = {}0,1, 52 ab=4 ba + 15() 1 Bài 88: Gọi số phải tìm là: abab(),∈≤ ,1 ab , ≤ 9 ta có hệ:  22 ab−=92 a + b () Từ (1) ta thấy nếu b≥⇒2 4 ba + 15 ≥ 4.21 + 15 ⇒ ab ≥ 99 ⇒ ab = 99 ⇒ a = b = 9( KTM ) Vậy b = 1 thay b = 1 vào (2) ta được: a1−= 9 a22 + 1 ⇔ 10 a +−= 1 9 a 2 +⇔ 1 aa 2 − 10 += 9 0 a =1 ⇒  a = 9 Với a = 1 ⇒=a b() KTM Với a = 9 ⇒=ab91() TM :91 = 4.19 + 15 Vậy số phải tìm là 91. Bài 89. Gọi là tổng các chữ số của s thì s và ts có cùng số dư khi chia cho 9, nghĩa là st=s + 9a với a là số tự nhiên. Do đó số A được viết bơie 1, 2, 3, , 2007 nên * tA =++ t1 t 2007 =+++ 1 2 2007 − 9 kB =− 9 k ()kN∈ (1) Ta có tổng 9 số tự nhiên liên tiếp là aa+++++++=()()()()1 a 2 a 8 9 a + 4 9 nên tổng của 2007= 9.223số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho 9, nghĩa là Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
56 Website:tailieumontoan.com Bh=+++1 2 3 + 2007 = 9 ()hN∈ * (2) * Từ (1) và (2) ta có tA =99() hk − ⇒= A m ()mN∈ Mà ta có ()()()9u+ 1 9 v + 1 = 99 uv ++ u v + 1 với uv, ∈ N* Khi đó Cn=20082007 + 2009 =() 9.223 + 12007 + 9.223 += 2 9 + 3 ()nN∈ * (4) Từ (3) và (4) suy ra số AC+=93() mn + + (5). Nếu AC+ là số chính phương mà chia hết cho số nguyên tố 3 thì nó phải chia hết cho 9, nhưng điều này mâu thuẫn với (5). Vậy AC+ không là số chính phương. Bài 90. Với x = 0 hoặc y = 0 ta có 11−=xy 2 (đpcm) Với x≠≠0, y 0, xy , ∈ Q, ta có các cách sau: Cách 1: Bình phương hai vế đẳng thức (1) ta được: 10 10 5 5 4 4 10 10 5 5 4 4 5 5 xy++2x y = 4x y ⇒+− xy 2x y = 4x y − 4x y 552 5 52 44 xy− ()x− y =4x y() 1 − xy ⇒− 1 xy =22 (đpcm) 2x y Cách 2: Bình phương hai lần (1) xy10++ 102x 5 y 5 = 4x 4 y 4 xy10+= 102x 4 yxyxy 4() 2 −⇒++ 20 20 2x 10 y 10 = 4x 8 y 8() 4 − 4x yxy + 2 2 20 20 10 10 8 8 9 9 10 10 ⇒++xy2x y = 16x y − 16x y + 4x y 22 ⇒+−x20 y 202x 10 y 10 = 16x 8 y 8() 1 − xy ⇒()() x 10 − y 10 = 4x 4 y 4 () 1 − xy 2 xy10− 10 1−=xy 44 (đpcm) 4x y xy55 y 2 Cách 3: Chia cả hai vế của (1) cho x4 ta được +=2 xx44x 2 yy52 yy 63 ⇒+x =22 ⇒ xy + = (nhân cả hai vế với y ) x42x xx 42 yy63 y 3 2 11xy 1 1 xy (đpcm) xx42 x 2 xy33 xy 66 xy 66 Cách 4: (1) 2 24xy 244 xy xy yx22 yx 44 yx 44 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
57 Website:tailieumontoan.com 2 xy33 2 33 22 xy yx 4(1 xy ) 1 xy yx22 2 Cách 5: Đặt x ky thay vào (1) và biến đổi đồng nhất. Ta có ()ky5 y 5 2() ky 22 y Hay ky55 y 52. k 222 . y . y. Hay ky55 y 52. k 2 . y 4. Hay y45[( ky y ) 2 k 2 ] 0 . Với x 0, y 0, xy , Q ta có: (ky52 y )2 k 0. 2k 2 22kk23 Hay y và xk . k 5 1 kk55 11 2k2 2 k 3 ( k 52 1) 4 kk 5 ( 1) 5 k 1 5 Lúc này ta có: 1. xy  55 5 5 bình phương của kk 1 1 ( k 1) ( k 1) k 1 một số hữu tỷ. Bài 91. * Nếu mn thì ta có ngay đpcm. mn 2 x * Nếu m khác n : Đặt (xy , N *; x 0; y 0) mn 2 y mxy Khi đó và từ xy 0; xy 0 suy ra xy || nxy Do nmnm222222222 1| 1| |mnmk 1| (1)mn (1), kN . 22 2 Ta có (1) (xy ) kxy (4 1) x 2(2 kxyyk 1) ( ) 0 (*) Phương trình (*) có một nghiệm là x nên có một nghiệm nữa là x1 . xx 1 2(2 k 1) Ta có: xN 2 1 xx1 y k - Nếu x1 0 thì (;)xy1 là cặp nghiệm thoả mãn (*), suy ra xy1 || 22 Khi đó y k xx11 | y | k 0 0 x x 2(2 k 1) 0 , mâu thuẫn. 22 - Nếu x1 0 thì xx1 y k0 k y k 0 4 xy 10 y 0 2 22 2 Ta có: kx 12(2 k 1) xyyx 11 2(2 k 1) | xyy 1 | . Suy ra k 2(2 k 1) | xy1 | 2(2 k 1) k, mâu thuẫn. m2 Vậy x 0 . Khi đó ky 2 và mn22 1 là số chính phương. 1 k Do đó |mn22 1| là số chính phương (đpcm). Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
58 Website:tailieumontoan.com Bài 92. +) Vì một số nguyên bất kỳ phải là số chẵn hoặc là số lẻ. Do đó theo nguyên lý Đirichlet trong 3 số nguyên bất kỳ luôn chọn ra được 2 số có cùng tính chẵn lẻ. +) Áp dụng ta có trong 3 số chính phương bất kỳ luôn chọn ta được hai số có cùng tính chẵn lẻ. Gọi 2 số chính phương được chọn ra đó là a2 và b2 . Khi đó ta có: a22 b( a ba )( b ) . +) Vì a2 và b2 cùng tính chẵn lẻ nên ab, cũng cùng tính chẵn lẻ. Do đó ab là số chẵn cũng là số chẵn a22 b( a ba )( b ) 4 (đpcm). Bài 93. Ta có n55 1999 n 2017 nn 2000 n 2015 2 ()nN Ta thấy: n55 1999 n 2017 nn 2000 n 2015 2 nn( 1)( n 1)( n 2)( n 2) 5 nn ( 1)( n 2) 2000 n 2015 2 ()nN chia 5 dư 2 . Ta nhận xét rằng không có số chính phương nào chia 5 dư 2 . Vậy nn5 1999 2017 ()nN không phải là số chính phương. Bài 94. Vì n là số nguyên dương nên nn2 33. Gọi r là số dư khi chia n cho 3,r {0;1; 2} . Nếu r 0 hoặc r 2 thì nn2 33 . Mâu thuẫn với giả thiết nn2 3 là số nguyên tố. Do đó r 1 hay n chia 3 dư 1. Khi đó 7nn2 6 2017 chia 3 dư 2 . Mà một số chính phương có số dư khi chia cho 3 là 0 hoặc 1. Nên 7nn2 6 2017 không phải số chính phương. Bài 95. Từ: 23xx22 yy (1) 2x22 2 y xy y 2 ( xy )(2 x 2 y 1) y 2 (2) Mặt khác từ (1) ta có: 33x22 y xy x 2 hay (xyx )(3 3 y 1) x2 (xyxy )2 (2 2 1)(3 xy 3 1) xyxy22 (2 2 1)(3 xy 3 1) là số chính phương (3). Gọi (2xy 2 1; 3 xy 3 1) d (2 xy 2 1) dxy ; (3 3 1) d (3x 3 y 1) (2 x 2 y 1) ( x yd ) 2(xyd ) (2 x 2 y 1) 2( xy ) 1 d nên d 1 ( 2xy 2 1; 3 xy 3 1) 1 (4) Từ (3) và (4) 221xy và 331xy đều là số chính phương. Lại có từ (2) (xy )(2 x 2 y 1) là số chính phương suy ra xy cũng là số chính phương. Vậy 23xx22 yy thì x yx;2 2 y 1 và 331xy đều là các số chính phương. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
59 Website:tailieumontoan.com Bài 96. Đặt B (122 2 2017 2 ) (2 22 4 2016 2 ) (1 22 3 2017 2 ) Ta thấy số các số hạng của B là số lẻ là (2017 1) : 2 1 1009 . Do đó B là số lẻ. Suy ra A chia hết cho 2 và không chia hết cho 4 . Vậy A không phải là số chính phương. Bài 97. Nếu ab thì vế trái của (1) nhỏ hơn vế phải nên chỉ xét ab . Với ab thì từ (1) suy ra abc 0 , lúc đó ab 0 là số chính phương (*). Với ab , biến đổi (1) về dạng: b2 2016( a 22 b ) ( ab ) b 2 ( ab )(2016 a 2016 b 1) (2) Đặt d (;) ab thì có a md, b nd ; ( m ; n ) 1, m n t 0 Giả sử (;tnunutumuu )  ,  1 nghĩa là (;tu ) 1 Thay b nd, a b td vào (2) có: n2 d t(2016 dt 4032 dn 1) n 22 d 2016 dt 4032 dnt t (3). Từ (3) ta có: ndt2 ,( tn , ) 1 dt. Mặt khác dt . Lúc đó a b td d 2 là số chính phương ( ). Từ (*) và ( ) có điều phải chứng minh. Vậy ab là một số chính phương. Bài 98. Trước hết ta chứng minh rằng (xz );( yz ) nguyên tố cùng nhau. Giả sử d (; x zy z ) ta có: x zdy; zd ( x z )( y z )  d2 Từ giả thiết suy ra z22 d zd. Khi đó x và y chia hết cho d . Vì (,xy ) 1 d 1. Vậy (xz );( yz ) cùng là số chính phương. Đặt k22 x zm; y z(kN *) Ta có: (x z )( y z ) z2 k 22 m z km Khi đó x y k22 m 2() km k m 2. Mặt khác từ (x zy )( z ) z2 suy ra xy zx y xyz zkm22 zmk 2 () ()() là số chính phương. 22xyz z k m Vậy 2017 2017 ( ) là số chính phương. Bài 99: Ta có xx yy= 11. x 0 y . Mà ta thấy rằng 11 là số nguyên tố và xx yy là một số chính phương nên suy ra xy0 11⇒ 99x ++ xy  11 ⇒+ xy 11. Theo điều kiện đề bài ta có: 0<+≤xy 18 ⇐+= xy 11 ⇒ xy 0 = 99x + 11 ⇒ xyy x = 121(9x + 1) . Từ đó suy ra 9x+ 1 là số chính phương suy ra x = 7 (0<x<10) ⇒=y 4 Vậy số điện thoại đó là 827744. Bài 100: Với mọi số tự nhiên a thì a2 khi chia cho 8 chỉ có các số dư là 0; 1; 4. Số 2019 chia 8 dư 3; 2020 chia 8 dư 4. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
60 Website:tailieumontoan.com Suy ra 2019nn 3 (mod 8) nk2 - Nếu n chẵn thì n 2, kk 2019 3 1 ( mod 8) C 5 ( mod 8) C không thể là số chính phương. nk21 2 k - Nếu n lẻ thì nkk 2 1, 2019 3 3.3  3 ( mod 8) C  7 ( mod 8) C không thể là số chính phương. KL: Không tồn tại n thỏa yêu cầu bài toán. Bài 101: Đặt p32− 4p += 9 t (t ∈ N) Biến đổi thành p() p2 −=− 4 (t 3)(t + 3) (1) ⇒ p|()() t −∨ 3 p| t + 3 Trường hợp 1: Nếu p|t− 3 Đặt t−= 3 pk(k ∈ N) Khi đó thay vào (1) ta có: p() p2− 4 = pk(pk + 6) ⇔ p 22 − pk − 6k −= 4 0 Coi đây là phương trình bậc hai ẩn p điều kiện cần để tồn tại nghiệm của phương trình là: ∆=k4 + 4()6k+ 4 = k 4 + 24k + 16 là một số chính phương. 22 Mặt khác với k3> ta dễ chứng minh được ()()k24<+ k 24k +< 16 k 2 + 4 Suy ra các trường hợp: 2 k4+ 24k += 16() k 22 + 1 ⇔ 2k − 24k −= 15 0 (loại) 2 k4+ 24k + 16 =() k 22 + 2⇔ k − 6k −= 3 0 (loại) 2 k2+ 24k + 16 =() k 22 + 3 ⇔ 6k − 24k −= 7 0 (loại) Do đó phải có k3≤ . Thử trực tiếp được k3= thỏa mãn. Từ đó ta có t= 36; p = 11. Lưu ý: HS có thể làm như sau khi thay vào 1 pp4()2−= pk(t3)k(t3)p +⇔ += 22 −⇒=+ 4 p kt3k4 + Mặt khác ta có (t− 3)2 = p 22 k ⇒ t 2 − 6t += 9 k 2 (kt + 3k + 4) ⇔t2 − t() 6 + k 3 +− 9 3k 32 − 4k = 0 Coi đây là phương trình bậc hai ẩn n điều kiện cần để tồn tại nghiệm của phương trình là: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
61 Website:tailieumontoan.com 2 ∆=+−−−()()()6 k3 4 9 3k 3 4k 2 =+ k 6 24k 3 + 16k 2 = k 24 k ++ 24k 16 là một số chính phương. Muốn vậy thì k4 ++ 24k 16 phải là một số chính phương. Sau đó cách làm giống như trên. Trường hợp 2: Nếu p|t+ 3 Đặt t+= 3 pk(k ∈ N) Khi đó thay vào (1) ta có: p() p2− 4 = pk(pk − 6) ⇔ p 22 − pk + 6k −= 4 0 Coi đây là phương trình bậc hai ẩn p điều kiện cần để tồn tại nghiệm của phương trình là: ∆=k4 − 4()6k− 4 = k 4 − 24k + 16 là một số chính phương. 22 Mặt khác với k 3 ta dễ chứng minh được ()()k24− 4 ++=+ 6 4322 6 9()()() 3 ⇒+ nn 2 3 <<++ 4 Bnn 2 3 1 Do đó B không phải là số chính phương. Bài 103: Ta có: p222+=⇔ a b p 2 =−( b ab )( + a ) . Các ước của p2 là 1, p và p2 ; không xảy ra trường hợp b + a = b ‒ a = p Do đó chỉ xảy ra trường hợp b + a = p2 và b ‒ a = 1. pp22+−11 Khi đó b= vaà = suy ra 2a = (p ‒1)(p + 1). 22 Từ p lẻ suy ra p + 1, p ‒1 là hai số chẵn liên tiếp ⇒ (p ‒1)(p + 1) chia hết cho 8. Suy ra 2a chia hết cho 8 (1) Từ p nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3. Do đó p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2. Suy ra một trong hai số p + 1; p ‒1 chia hết cho 3 . Suy ra 2a chia hết cho 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2a chia hết cho 24 hay a chia hết cho 12 (đpcm). 2 p -1 2 2 Xét 2() p + a + 1 =2 p+ +1 =2p+p +1=() p+1 là số chính phương. 2 Bài 104: Ta phân chia 625 số tự nhiên đã cho thành 311 nhóm như sau : Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
62 Website:tailieumontoan.com Các nhóm nn1, 2 , , n 310 mỗi nhóm gồm 2 số hạng ()kk,625 − tức là mỗi nhóm có hai số hạng có tổng bằng 625 sao cho kk≠≠49, 225 Nhóm 311 gồm 5 số chính phương {}49,225,400,576;625 Nếu trong 311 số được chọn không có số nào thuộc nhóm n311 , như vậy 311 số này thuộc 310 nhóm còn lại thì theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất một trong hai số thuộc cùng một nhóm. Hai số này có tổng bằng 625. Mẫu thuẫn với giả thiết. Vậy chắc chắn trong 311 số được chọn phải có ít nhất một số thuộc nhóm n311 . Số này là số chính phương. Bài 105: Do nnnn22++2 +++ 2 18 9 là số chính phương nên nn2 ++2 18 là số tự nhiên. Đặt n2 ++=2 n 18 kk() ∈ ⇔n22 +2 n + 18 = k ⇔()() kn ++ 1 kn −− 1 = 17 Do kn, đều là số tự nhiên nên kn+ +>11 kn −− kn+ +=1 17 k = 9 Xét ⇔ ⇒++nnnn222 +++== 2 18 9 81 9 2() tm kn− −=11 n = 7 Vậy n = 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài 106: Ta có ab− ba = k22()() k ∈ ⇒9 a −= b k Do đó ab− là một số chính phương ab−=1 ab a b ab Ta lại có −≤9, ≠⇒ −= 4 ab−=9 Với ab− =⇒11 ab = +⇒có 9 số thỏa mãn: 10; 21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98 Với ab−=⇒=+⇒44 ab có 6 số thỏa mãn: 40; 51; 62; 73; 84; 95. Với ab−=⇒99 ab =+⇒có 1 số thỏa mãn: 90 Vậy có tất cả 16 số thỏa mãn: 10; 21; 32; 43; 54; 65; 76; 87;98; 40; 51; 62; 73; 84; 95; 90. 10n − 1 : Bài 107 Chú ý đến biến đổi 111 1 = ta đi phân tích các số a và b về các lũy thừa n so 1 9 2017 10− 1 n của 10. Ta có a =111 1 = và b =1000 05 = 1000 0  += 5 10 + 5. 2017so 1 9 2016so 0 2017 so 0 2 2017 2017 2 102017 −+ 1 ()10+− 4.10 5 102017 2 Khi đó ta được M= ab += 1 .() 10n + 5 += 1 += 1 . 9 93 102017 + 2 Đến đây ta chỉ cần chỉ ra được ∈ N ta ta có điều phải chứng minh. 3 102017 + 2 Tuy nhiên ∈ N hiển nhiên đúng do 102017 + 2 3 . Vậy M= ab + 1 là số chính 3 phương. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
63 Website:tailieumontoan.com • Chú ý. Với dạng toán chứng minh số chính phương như trên ta chú ý đến phép biến đổi: 12 3 n 9=−=− 10 1;99 10 1;999 =− 10 1;999 9 =− 10 1 n so 9 Bài 108. Ta có n n 2 . 1.3.5 ()() 2n-1 . n-4 ! 2() n+ 4! a1=+= 1+ n ()2n ! 2.4.6 2n 2n 1.2.3 n()()()() n++++ 1 n 2 n 3 n 4 =1 + 2n .1.2.3.4 n 2 =++1()()()() n1n2n3n4 + + +=() n2 + 5n5 + 2 2 Do đó ta được an =() n ++ 5n 5 là số chính phương. Bài 109: fxxx() =+++−−4212 x 3 2 xxa 2 2 −−++xxb 2 1 2 =()xx2 +−12 +()() a − xb + + 1 aa−=20 = 2 Để fx() trở thành bình phương của một đa thức thì ⇒ bb+=10 =− 1 Vậy với ab=2, = − 1 thì fx() trở thành bình phương của một đa thức. Bài 110: Ta có: xxyy=11 x 0 y là số chính phương nên xy0 11⇔ 100 xy + 11 ⇔ 99 xxy ++  11 xy+=11 xy == 0 ⇔+xy 11 ⇔ ⇒ xy+=0 xy += 11 Ta có: xxyyxy=11 0 = 11(99 xxy ++ ) = 11(99 x + 11) = 112 (9 x + 1) ⇒+91x là số chính phương. ⇒=⇒=xy74 Vậy xxyy=7744; xxyy = 0000 Bài 111: 23aa22+= bb + ⇔(ab − )(2 a + 2 b += 1) b2 (*) Gọi d là ước chung của (a - b, 2a + 2b + 1) ( d ∈ * ). Thì ()a− bd  ⇒−()()ababdbdb2 ++ 212 ⇒ 22  ⇒d (2ab++ 2 1) d Mà (abd− ) ⇒ ad ⇒+ (2 a 2 bd )  mà (2ab+ 2 + 1) d ⇒ 1 dd ⇒= 1 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
64 Website:tailieumontoan.com Do đó (a - b, 2a + 2b + 1) = 1. Từ (*) ta được ab− và 2ab++ 21 là số chính phương => 2ab++ 21 là số chính phương. Bài 112: Giả sử n2 + m là số chính phương. Đặt n2 + m = k2 (1) (với k nguyên dương) Theo bài ta có 2n2 = mp (p nguyên dương) m= 2: np2 , thay vào (1) ta có: 2 2n 2 n2+=⇒+ k 22222 n p22 pn = p k222 ⇒ n() p += p() pk p 2 Do n2, ()pk chính phương, nên pp2 + 2 phải chính phương. 2 Mặt khác pp22 ⇒9 = 29 + 2 13 + 2nn = 212 9() + 4 + 2− 9 Thấy 12++49 2n− là số lẻ nên A chia hết cho 29 nhưng không chia hết cho 210 nên A không là số chính phương. Xét n = 9 ⇒=A 29 + 2 13 + 2 9 = 2 9() 1 + 2 4 += 1 9.2 10 = 96 2 là số chính phương. Xét nA<⇒9 = 29 + 2 13 + 2nn = 22() 9−− n + 2 13 n + 1 Do 2219−−nn++ 13 là số lẻ và A là số chính phương nên 2n là số chính phương nên n là số * chẵn, n∈ suy ra n∈{}2; 4;6;8 Khi đó A chính phương, 2n chính phương suy ra B =++2219−−nn 13 là số chính phương. Nhận xét số chính phương lẻ chỉ có thể tận cùng là 1; 5; 9. Với n = 2 ⇒B =27 + 2 11 += 1 2177 (loại) Với n = 4 ⇒B =259 + 2 += 1 545, thấy B chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên B không là số chính phương. Với n = 6 ⇒B =237 + 2 += 1 137 (loại) Với n = 8 ⇒B =22 +5 += 135 (loại). Vậy n = 9. 2 2 Bài 114: Giả sử tồn tại các số dương a, b sao cho ()ab+−2 a2 và ()ab+−2 b2 đều là số chính phương. Trong các cặp số nguyên dương (a, b) như vậy, ta xét cặp sao cho a nhỏ nhất. Đặt ()()ab+−222, a22 = x ab +−= 2 b 22 y với x, y nguyên dương. Ta có ()ab+2 −= x222 a nên a + b và x cùng cùng tính chẵn lẻ, suy ra ()ab+−2 2 a2 chia hết cho 4. Từ đó ta có 2a2 chia hết cho 4, suy ra a chia hết cho 2. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
65 Website:tailieumontoan.com Chứng minh tương tự, ta cũng có chia hết cho 2, suy ra x, y chẵn. Từ đó, ta có 2 22 2 22 ab  a x  ab  b y +− 2, =  +−  2 = 22  2 2  22  2 2 ab Đều là số chính phương. Do đó cặp số , cũng thỏa mãn yêu cầu. Điều này mâu 22 thuẫn với cách chọn cặp (a, b). Vậy với mọi a, b nguyên dương, các số A, B không thể đồng thời là số chính phương. Bài 115. Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn 2 a22++= b1 2( ab ++⇔++−+−= a b ) a 22 b 1 2 ab 2 a 2 b 4 a ⇔−+=() a b 1 4 a là số chính phương suy ra a là số chính phương a = x2 (x là số nguyên) 2 ()xb2−+1 = 4 x 22 ⇔ xb −+= 12 x ⇔=bx() −1 2 Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp 3 3 22 Bài 116. Ta có a b+ ab +2 a b + 2 a + 2 b += 10 2 ⇔abab()() + +2 ab + += 10 22 ⇔()()()()ab −1 ab + + abc ++ = 01 2 ab++1 Từ (1) suy ra ab+≠0 và 1−=ab  (đpcm) ab+ 2 Bài 117. 1) Ta có ()mn2−2 ⇔ 11 n > (đúng) nS2 m n (đúng theo giả thiết). 2) Giả sử mn≠ , xét hai trường hợp 2 Với m > n, theo 1) và do S là số chính phương suy ra n2 S=( mn 2 −⇒1) 42 n 32 = mn + 1 (sai) Với m ⇒22 mn > 4 m ⇒()() mn 2 thì ()()n+12 << Sn + (mâu thuẫn với S là số chính phương). Với n = 2 thì S = 8 không phải là số chính phương Vậy phải có m = n. Bài 118. Do xy; là các số nguyên lớn hơn 1 nên xy;2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC